2023-2024学年河北省石家庄市裕华区七年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市裕华区七年级（上）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．生产厂家检测4个足球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最标准的足球是（ ）
A．B．
C．D．
2．在一条沿直线l铺设的电缆两侧有P，Q两个小区，要求在直线l上的某处选取一点M，向P、Q两个小区铺设电缆，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的电缆，则所需电缆材料最短的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．﹣|﹣2|与﹣（﹣2）B．﹣2﹣3与﹣2÷
C．﹣3+7与﹣4D．﹣54与（﹣5）4
4．如图，点C在线段BD上，过A，B，C，D中的两点可以画一条直线，其中过点C的直线有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
5．下列关于代数式的意义不正确的是（ ）
A．表示a的3倍与4的和的一半
B．2（a+5）表示a与5的和的2倍
C．2a+5表示a的2倍与5的和
D．（a+b）2表示a与b的和的平方
6．在a﹣（2b﹣3c）＝﹣□中的□内应填的代数式为（ ）
A．﹣a﹣2b+3cB．a﹣2b+3cC．﹣a+2b﹣3cD．a+2b﹣3c
7．小亮正确完成了以下两道作图题：①“延长线段AB到C，使BC＝AB“；②“反向延长线段DE到F，使点D是线段EF的一个三等分点”．针对小亮的作图，小莹说：“点B是线段AC中点”．小轩说：“DE＝2DF”．下列说法正确的是（ ）
A．小莹、小轩都对B．小莹不对，小轩对
C．小莹、小轩都不对D．小莹对，小轩不对
8．下列说法正确的是（ ）
A．﹣πab的次数为3
B．2a+ab﹣12是二次三项式
C．的系数为5
D．﹣a3b和ab3同类项
9．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：
（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q
（2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D
（3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F
（4）作⊕，∠DEF即为所求作的角
A．●表示点EB．◎表示PQ
C．⊙表示OQD．⊕表示射线EF
10．在计算时，有四位同学给出了以下四种计算步骤，其中正确的是（ ）
A．原式＝
B．原式＝
C．原式＝
D．原式＝
11．如图，△ABC绕点P逆时针旋转一个角度得到△DEF，则下面选项中不能表示旋转角的是（ ）
A．∠CPDB．∠APDC．∠BPED．∠CPF
12．下列等式变形中，正确的是（ ）
A．若3x﹣2＝5，则3x＝﹣7B．若﹣8x＝4，则x＝﹣2
C．若，则2x＝6D．若5x+2＝﹣6，则5x＝﹣8
13．如图、用圆圈按照一定的规律拼图案，其中第（1）个图案有5个圆圈，第（2）个图案有8个圆圈，第（3）个图案有11个圆圈，…，按此规律拼下去，则第（7）个图案中圆圈的个数为（ ）
A．20B．23C．26D．29
14．如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（ ）
A．90°＜α＜180°
B．0°＜α＜90°
C．α＝90°
D．α随折痕GF位置的变化而变化
15．学校在一次研学活动中，有n位师生乘坐m辆客车，若每辆客车乘50人，则还有12人不能上车；若每辆客车乘55人，则最后一辆车空了8个座位．下列四个等式：①50m+12＝55m﹣8；
②50m+12＝55m+8；
③；
④．
其中正确的有（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
16．按下面的程序计算：
若输n＝100，输出结果是501；若输入n＝25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
二、填空题：（本大题有3个小题，17-18题每小题3分，19题每空2分，共10分.）
17．已知x＝2是关于x的一元一次方程2x+k﹣1＝0的解，则k等于 ．
18．如图，∠AOC＝90°，OC平分∠DOB，∠DOC＝25°35'，∠BOA度数是
19．如图，线段AO、OB、BC三条线段首尾相接，组成折线段，AO＝OB＝10，BC＝7．动点P从点A出发，沿着A→O→B→C的方向运动，点P在AO上以2个单位长度/秒的速度运动，在OB上运动速度变为原来的一半，在BC上又恢复为2个单位长度/秒的速度运动；点P出发的同时，动点Q从点C出发，始终以1个单位长度/秒的速度沿着C→B→O→A的方向运动．当点P运动至点C时，点Q也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）动点P从点A运动至点C需要 秒；
（2）当P，Q两点相遇时，相遇点M与点B相距 个单位长度．
三、解答题（本大题有7个小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中AB＝2，BC＝1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以C为原点，写出点A，B所对应的数，计算p的值；
（2）若p的值是﹣1，求出点A，B，C所对应的数；
（3）在（2）的条件下，在数轴上表示|﹣0.5|、（﹣1）3和A，B，C所对应的数，并把这5个数进行大小比较，用“＜”连接．
21．（20分）（1）7+（﹣14）﹣（﹣9）﹣（+12）；
（2）；
（3）（2a﹣b）﹣（2b﹣3a）﹣2（a﹣2b）；
（4）；
（5）（3a2+2a﹣1）﹣2（3﹣4a+2a2），其中a＝﹣2．
22．如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示，单位：米）留下一个“T”型图形（阴影部分）．
（1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的周长；
（2）若此图作为某施工图，“T”型图形的周边需围上单价为每米20元的栅栏，原长方形周边的其余部分需围上单价为每米15元的栅栏．若x＝1，y＝3，请计算整个施工所需的造价．
23．若a+b＝1，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）6与 是关于1的平衡数；
（2）x﹣1与 是关于1的平衡数；
（3）若a＝2（3x2﹣x）﹣5，b＝x﹣（6x2﹣x﹣5），试判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由．
24．如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，且EC：CB＝1：4，AC＝12cm．
（1）求AB的长；
（2）若F为CB的中点，求EF长．
25．某玩具工厂出售一种玩具，其成本价为每件28元．如果直接由厂家门市销售，每件产品售价为35元，同时每月还要支出其他费用2100元；如果委托商场销售，那么出厂价为每件32元．
（1）若用x表示每月销售该种玩具的件数，请你用含x的式子分别表示这两种销售方式所得的利润．
（2）在两种销售方式下，每个月销售多少件时，所得利润相等？
（3）若每个月的销售量为1000件时，采用哪种销售方式获得利润较多？其利润是多少？
26．如图，O为直线MN上一点，将一副直角三角尺（分别含45°、45°、90°和30°、60°、90°的角）按图中方式放在点O处，使∠AOC＝150°．将三角尺AOB绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转180°后停止设运动时间为t秒．
（1）当t＝5时，∠BOC＝ °；
（2）若在三角尺AOB开始旋转的同时，三角尺COD也绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转，当三角尺AOB停止旋转时，三角尺COD也停止旋转．
①在线段OA与OC第一次相遇前，t为何值时，OA平分∠COD；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠AOD＝2∠BOC．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题有16个小题，每小题2分，共32分.在每小题给出的四个题项中，只有一项是符合题目要求的）
1．生产厂家检测4个足球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最标准的足球是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据绝对值最小的最接近标准，可得答案．
解：|+2.5|＝2.5，|+0.7|＝0.7，|﹣3.5|＝3.5，
0.7＜2.5＜3.5，
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，利用绝对值的意义是解题关键．
2．在一条沿直线l铺设的电缆两侧有P，Q两个小区，要求在直线l上的某处选取一点M，向P、Q两个小区铺设电缆，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的电缆，则所需电缆材料最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】连接PQ，交l于点M，点M就是所求的点，理由是连接P、Q的所有线中，线段最短．
解：根据线段的性质可知，连接PQ，交l于点M，点M就是所求的点，符合题意的画法是C．
故选：C．
【点评】本题考查线段的性质：两点之间线段最短，利用两点之间线段最短是解决问题关键，学会将实际问题转化为数学知识．
3．下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．﹣|﹣2|与﹣（﹣2）B．﹣2﹣3与﹣2÷
C．﹣3+7与﹣4D．﹣54与（﹣5）4
【分析】先计算各式，然后再进行比较即可解答．
解：A、﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（﹣2）＝2，
∴﹣|﹣2|与﹣（﹣2）不相等，
故A不符合题意；
B、﹣2﹣3＝﹣5，﹣2÷＝﹣2×＝﹣5，
∴﹣2﹣3＝﹣2÷，
故B符合题意；
C、∵﹣3+7＝4，
∴﹣3+7与﹣4不相等，
故C不符合题意；
D、∵﹣54＝﹣625，（﹣5）4＝625，
∴﹣54与（﹣5）4不相等，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．如图，点C在线段BD上，过A，B，C，D中的两点可以画一条直线，其中过点C的直线有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【分析】根据两点确定一条直线即可求解．
解：观察图形可知，过点C线有AC，BD，一共2条．
故选：A．
【点评】本题考查了直线的性质，关键是熟悉两点确定一条直线的知识点．
5．下列关于代数式的意义不正确的是（ ）
A．表示a的3倍与4的和的一半
B．2（a+5）表示a与5的和的2倍
C．2a+5表示a的2倍与5的和
D．（a+b）2表示a与b的和的平方
【分析】根据列代数式的规则，先说先算进行求解．
解：A：a的3倍与4的和的一半表示为：，故A符合题意；
B：a与6 的和的2倍表示为：2（a+6），故B不符合题意；
C：a的2倍与5的和表示为：2a+5，故C不符合题意；
D：a与b的和的平方表示为：（a+b）2，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了列代数式，掌握列代数式的规则是解题的关键．
6．在a﹣（2b﹣3c）＝﹣□中的□内应填的代数式为（ ）
A．﹣a﹣2b+3cB．a﹣2b+3cC．﹣a+2b﹣3cD．a+2b﹣3c
【分析】先去括号，然后再添括号即可．
解：a﹣（2b﹣3c）＝a﹣2b+3c＝﹣（﹣a+2b﹣3c），
故选：C．
【点评】本题考查了去括号与添括号的知识，解答本题的关键是熟记去括号及添括号的法则．
7．小亮正确完成了以下两道作图题：①“延长线段AB到C，使BC＝AB“；②“反向延长线段DE到F，使点D是线段EF的一个三等分点”．针对小亮的作图，小莹说：“点B是线段AC中点”．小轩说：“DE＝2DF”．下列说法正确的是（ ）
A．小莹、小轩都对B．小莹不对，小轩对
C．小莹、小轩都不对D．小莹对，小轩不对
【分析】根据叙述画出相应的图形，根据图形得出结论即可．
解：①“延长线段AB到C，使BC＝AB“，如图①所示，此时点B是AC的中点；②“反向延长线段DE到F，使点D是线段EF的一个三等分点”如图所示，有两种情况，有DE＝2DF或DE＝DF，
因此小莹说得对，小轩说得不对．
故选：D．
【点评】本题考查两点间的距离，理解线段中点的定义以及线段三等分点的定义是正确判断的关键．
8．下列说法正确的是（ ）
A．﹣πab的次数为3
B．2a+ab﹣12是二次三项式
C．的系数为5
D．﹣a3b和ab3同类项
【分析】根据同类项的定义、单项式系数及次数的定义进行解答即可．
解：A、﹣πab的次数为﹣π，原说法错误，不符合题意；
B、2a+ab﹣12是二次三项式，正确，符合题意；
C、系数是，原说法错误，不符合题意；
D、﹣a3b和ab3不是同类项，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是同类项，单项式及多项式，熟知以上知识是解题的关键．
9．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：
（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q
（2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D
（3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F
（4）作⊕，∠DEF即为所求作的角
A．●表示点EB．◎表示PQ
C．⊙表示OQD．⊕表示射线EF
【分析】根据尺规作图作一个角等于已知角的方法即可判断．
解：作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
所以A，B，C选项都错误，D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一个角等于已知角）是解题的关键．
10．在计算时，有四位同学给出了以下四种计算步骤，其中正确的是（ ）
A．原式＝
B．原式＝
C．原式＝
D．原式＝
【分析】根据有理数的混合运算顺序“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的，乘法运算律在有理数范围依旧适用”即可解答．
解：，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序是解题的关键．
11．如图，△ABC绕点P逆时针旋转一个角度得到△DEF，则下面选项中不能表示旋转角的是（ ）
A．∠CPDB．∠APDC．∠BPED．∠CPF
【分析】旋转角是指旋转中心与旋转前后的对应点连线的夹角，由此即可判断．
解：由旋转角的定义知∠APD，∠BPE、∠CPE都是旋转角，故B、C、D不符合题意；
因为C旋转后的对应点是F，因此∠CPD不是旋转角，故A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查旋转的性质，关键是掌握旋转角的定义．
12．下列等式变形中，正确的是（ ）
A．若3x﹣2＝5，则3x＝﹣7B．若﹣8x＝4，则x＝﹣2
C．若，则2x＝6D．若5x+2＝﹣6，则5x＝﹣8
【分析】根据等式的性质逐一判断即可．
解：A选项错误，移项，得3x＝7，故错误，不符合题意；
B选项错误，两边同时除以﹣8得，x＝﹣，故错误，不符合题意；
C选项错误，两边同时除以﹣，得x＝﹣3，故错误，不符合题意；
D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握去分母、移项、化一次项系数为1的方法．
13．如图、用圆圈按照一定的规律拼图案，其中第（1）个图案有5个圆圈，第（2）个图案有8个圆圈，第（3）个图案有11个圆圈，…，按此规律拼下去，则第（7）个图案中圆圈的个数为（ ）
A．20B．23C．26D．29
【分析】根据前3个图中的个数找到规律，再求解．
解：第（1）个图案中有2+1×3＝5个圆圈，
第（2）个图案中有2+2×3＝8个圆圈，
第（3）个图案中有2+3×3＝11个圆圈，
...，
则第（7）个图案中圆圈的个数为：2+7×3＝23，
故选：B．
【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．
14．如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（ ）
A．90°＜α＜180°
B．0°＜α＜90°
C．α＝90°
D．α随折痕GF位置的变化而变化
【分析】根据折叠的性质可以得到△GCF≌△GEF，即∠CFG＝∠EFG，再根据FH平分∠BFE即可求解．
解：∵∠CFG＝∠EFG且FH平分∠BFE，
∴∠GFH＝∠EFG+∠EFH＝∠EFC+∠EFB＝（∠EFC+∠EFB）＝×180°＝90°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了折叠的性质，注意在折叠的过程中存在的相等关系．
15．学校在一次研学活动中，有n位师生乘坐m辆客车，若每辆客车乘50人，则还有12人不能上车；若每辆客车乘55人，则最后一辆车空了8个座位．下列四个等式：①50m+12＝55m﹣8；
②50m+12＝55m+8；
③；
④．
其中正确的有（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案．
解：根据总人数列方程，应是50m+12＝55m﹣8，
根据客车数列方程，应该为＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，能够根据不同的等量关系列方程．
16．按下面的程序计算：
若输n＝100，输出结果是501；若输入n＝25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【分析】根据最后输出的结果可以列出关于x的方程5n+1＝656，通过解方程可得它前面的那个数，接下来可求出符合题意的正整数．
解：由题意可知：
5n+1＝656，n＝131，
5n+1＝131，n＝26，
5n+1＝26，n＝5，
5n+1＝5，n＝0.8，
∵n值为正整数，
∴n＝0.8不符合题意．
n的值可取131，26，5，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查了代数式求值以及一元一次方程的应用，关键是找出题中的等量关系．
二、填空题：（本大题有3个小题，17-18题每小题3分，19题每空2分，共10分.）
17．已知x＝2是关于x的一元一次方程2x+k﹣1＝0的解，则k等于 ﹣3 ．
【分析】把x＝2代入已知方程，列出关于k的方程并解答．
解：把x＝2代入2x+k﹣1＝0得4+k﹣1＝0，
解得k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
18．如图，∠AOC＝90°，OC平分∠DOB，∠DOC＝25°35'，∠BOA度数是 64°25'
【分析】利用角平分线的定义得出∠DOC＝∠BOC，再利用互余的关系求得结论．
解：∵OC平分∠DOB，
∴∠BOC＝∠DOC＝25°35'，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BOA＝90°﹣∠BOC＝90°﹣25°35'＝64°25'．
故答案为：64°25'．
【点评】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，度分秒的换算．利用互为余角的关系进行计算是解题的关键．
19．如图，线段AO、OB、BC三条线段首尾相接，组成折线段，AO＝OB＝10，BC＝7．动点P从点A出发，沿着A→O→B→C的方向运动，点P在AO上以2个单位长度/秒的速度运动，在OB上运动速度变为原来的一半，在BC上又恢复为2个单位长度/秒的速度运动；点P出发的同时，动点Q从点C出发，始终以1个单位长度/秒的速度沿着C→B→O→A的方向运动．当点P运动至点C时，点Q也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）动点P从点A运动至点C需要 18.5 秒；
（2）当P，Q两点相遇时，相遇点M与点B相距 4 个单位长度．
【分析】（1）根据“时间＝路程÷速度”列式计算；
（2）根据“两点的路程和＝总路程”列方程求解．
解：（1）10÷2+10÷1+7÷2＝18.5（秒），
故答案为：18.5；
（2）当P运动到点O时需要的时间为：10÷2＝5（秒），
此时点Q运动了5×1＝5个单位，
设再过x秒两点相遇，
则x+x＝10+（7﹣5），
解得：x＝6，
此时相遇点M与点B的距离为10﹣6×1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
三、解答题（本大题有7个小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中AB＝2，BC＝1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以C为原点，写出点A，B所对应的数，计算p的值；
（2）若p的值是﹣1，求出点A，B，C所对应的数；
（3）在（2）的条件下，在数轴上表示|﹣0.5|、（﹣1）3和A，B，C所对应的数，并把这5个数进行大小比较，用“＜”连接．
【分析】（1）根据以C为原点，则B表示﹣1，A表示﹣3，进而得到p的值；
（2）根据P的值求出B为原点，则进而得到A表示﹣2，C表示1；
（3）把各个数在数轴上画出表示出来，根据数轴上的数右边的数总是大于左边的数，即可把各个数按由大到小的顺序“＜”连接起来．
解：（1）若以C为原点，
∵AB＝2，BC＝1，
∴B表示﹣1，A表示﹣3，
此时，p＝（﹣3）+（﹣1）+0＝﹣4；
（2）设B对应的数为x，
∵AB＝2，BC＝1，
则A点表示的数为x﹣2，C表示的数为x+1，
p＝x+x+1+x﹣2＝﹣1；
x＝0，则B点为原点，
∴A表示﹣2，C表示1；
（3）如图所示：
故﹣2＜（﹣1）3＜0＜|﹣0.5|＜1．
【点评】此题综合考查了数轴的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
21．（20分）（1）7+（﹣14）﹣（﹣9）﹣（+12）；
（2）；
（3）（2a﹣b）﹣（2b﹣3a）﹣2（a﹣2b）；
（4）；
（5）（3a2+2a﹣1）﹣2（3﹣4a+2a2），其中a＝﹣2．
【分析】（1）根据有理数的混合运算法则计算即可．
（2）根据有理数的混合运算法则计算即可．
（3）先去括号，再合并同类项即可．
（4）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1计算即可．
（5）先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将a的值代入计算即可．
解：（1）7+（﹣14）﹣（﹣9）﹣（+12）
＝7﹣14+9﹣12
＝﹣10．
（2）
＝9×﹣（﹣4）
＝2+4
＝6．
（3）（2a﹣b）﹣（2b﹣3a）﹣2（a﹣2b）
＝2a﹣b﹣2b+3a﹣2a+4b
＝3a+b．
（4）去分母得：3（x﹣1）﹣6＝2（2x+2），
去括号得：3x﹣3﹣6＝4x+4，
移项、合并同类项得：﹣x＝13，
系数化1得：x＝﹣13．
（5）原式＝3a2+2a﹣1﹣6+8a﹣4a2
＝﹣a2+10a﹣7．
当a＝﹣2时，原式＝﹣4﹣20﹣7＝﹣31．
【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值、有理数的混合运算、解一元一次方程，熟练掌握运算法则、一元一次方程的解法是解答本题的关键．
22．如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示，单位：米）留下一个“T”型图形（阴影部分）．
（1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的周长；
（2）若此图作为某施工图，“T”型图形的周边需围上单价为每米20元的栅栏，原长方形周边的其余部分需围上单价为每米15元的栅栏．若x＝1，y＝3，请计算整个施工所需的造价．
【分析】（1）根据周长的定义，结合图形可得答案；
（2）整个施工所需的造价为20（6x+6y）+15×4y，化简后将x、y的值代入计算即可．
解：（1）“T”型图形的周长为x+2y+4x+4y+x＝（6x+6y）米；
（2）整个施工所需的造价为20（6x+6y）+15×4y
＝120x+120y+60y
＝120x+180y，
当x＝1，y＝3时，
整个施工所需的造价为120×1+180×3
＝120+540
＝660（元）．
【点评】本题主要考查代数式的求值和列代数式，解题的关键是根据图形列出其周长的代数式．
23．若a+b＝1，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）6与 ﹣5 是关于1的平衡数；
（2）x﹣1与 2﹣x 是关于1的平衡数；
（3）若a＝2（3x2﹣x）﹣5，b＝x﹣（6x2﹣x﹣5），试判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由．
【分析】（1）根据平衡数的定义即可求出答案．
（2）根据平衡数的定义即可求出答案．
（3）根据平衡数的定义以及整式的加减运算法则，用a+b，进行计算，即可求出答案．
解：（1）∵6+（﹣5）＝1
∴6与﹣5是关于1的平衡数，
故答案为：﹣5．
（2）∵1﹣（x﹣1）＝1﹣x+1＝2﹣x，
∴x﹣1与2﹣x是关于1的平衡数；
故答案为：2﹣x．
（3）∵a＝2（3x2﹣x）﹣5，b＝x﹣（6x2﹣x﹣5）
∴a+b＝2（3x2﹣x）﹣5+x﹣（6x2﹣x﹣5）
＝6x2﹣2x﹣5+x﹣6x2+x+5
＝0
∴a与b不是关于1的平衡数．
【点评】本题考查整式的混合运算；有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数混合运算法则．
24．如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，且EC：CB＝1：4，AC＝12cm．
（1）求AB的长；
（2）若F为CB的中点，求EF长．
【分析】（1）由线段的和差倍分，线段的中点，方程解得AB的长20cm；
（2）由线段的中点，线段的和差计算出EF长为6cm．
解：如图所示：
（1）设EC的长为x，
∵EC：CB＝1：4，
∴BC＝4x，
又∵BE＝BC+CE，
∴BE＝5x，
又∵E为线段AB的中点，
∴AE＝BE＝，
∴AE＝5x，
又∵AC＝AE+EC，AC＝12cm，
∴6x＝12，
解得：x＝2，
∴AB＝10x＝20cm；
（2）∵F为线段CB的中点，
∴，
又∵EF＝EC+CF
∴EF＝3x＝6cm．
【点评】本题综合考查了线段的和差倍分，线段的中点等知识点，重点掌握两点间距离计算方法．
25．某玩具工厂出售一种玩具，其成本价为每件28元．如果直接由厂家门市销售，每件产品售价为35元，同时每月还要支出其他费用2100元；如果委托商场销售，那么出厂价为每件32元．
（1）若用x表示每月销售该种玩具的件数，请你用含x的式子分别表示这两种销售方式所得的利润．
（2）在两种销售方式下，每个月销售多少件时，所得利润相等？
（3）若每个月的销售量为1000件时，采用哪种销售方式获得利润较多？其利润是多少？
【分析】（1）根据利润＝售价﹣成本即可得到答案；
（2）根据利润相等列方程求解即可得到答案；
（3）将数量代入利润代数式求出值进行比较即可得到答案．
解：（1）由题意可得，
若用x表示每月销售该种玩具的件数，则直接由厂家门市部销售的利润为（35﹣28）x﹣2100＝（7x﹣2100）元；
委托商场销售的利润为（32﹣28）x＝4x（元）；
（2）由题意及题（1）得，7x﹣2100＝4x，
解得：x＝700，
答：在两种销售方式下，每月销售700件时，所得利润相等；
（3）由题意及题（1）得，
当x＝1000时，7x﹣2100＝7×1000﹣2100＝4900（元），
当x＝1000时，4x＝4×1000＝4000（元），
∵4900元＞4000元，
∴当每个月的销售量为1000件时，直接由厂家门市部销售获得的利润较多，利润为4900元．
【点评】本题考查列代数式及一元一次方程解决销售利润问题，解题的关键是根据题意得到等量关系式．
26．如图，O为直线MN上一点，将一副直角三角尺（分别含45°、45°、90°和30°、60°、90°的角）按图中方式放在点O处，使∠AOC＝150°．将三角尺AOB绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转180°后停止设运动时间为t秒．
（1）当t＝5时，∠BOC＝ 80 °；
（2）若在三角尺AOB开始旋转的同时，三角尺COD也绕点O以每秒10°的速度逆时针旋转，当三角尺AOB停止旋转时，三角尺COD也停止旋转．
①在线段OA与OC第一次相遇前，t为何值时，OA平分∠COD；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠AOD＝2∠BOC．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1，记B旋转后的位置为B'，先计算旋转前的∠BOC的值，求解t＝5时的旋转的角度∠BOB'，然后根据∠B'OC＝∠BOC﹣∠BOB'计算求解即可；
（2）①如图2，记A，C，D旋转后的位置分别为A'，C'，D'，在线段OA与OC第一次相遇前，OA平分∠COD，则有，∠AOA'+∠A'OC'+∠COC'＝150°，即5°t+15°+10°t＝150°，计算求解即可；②由题意知，，∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝120°，当∠A'OD'＝2∠B'OC'，分三种情况求解：情况一：如图3﹣1，当B在C左侧，A在D左侧；情况二：如图3﹣2，当B在C右侧，A在D左侧；情况三：如图3﹣3，当B在C右侧，A在D右侧；分别表示出∠A'OD'，∠B'OC'，然后令∠A'OD'＝2∠B'OC'，计算求解满足要求的t值即可；
解：（1）如图1，记B旋转后的位置为B'，
由题意知，∠AOB＝45°，
∵∠AOC＝150°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝105°，
当t＝5时，此时∠BOB'＝5×5°＝25°，
∴∠B'OC＝∠BOC﹣∠BOB'＝105°﹣25°＝80°，
故答案为：80；
（2）解：①如图2，记A，C，D旋转后的位置分别为A'，C'，D'，
∵线段OA与OC第一次相遇前，OA平分∠COD，
∴，
∴∠AOA'+∠A'OC'+∠COC'＝150°，即5°t+15°+10°t＝150°，
解得t＝9，
∴在线段OA与OC第一次相遇前，t＝9时，OA平分∠COD；
②解：存在，t＝6或；
由题意知，，∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝120°，当∠A'OD'＝2∠B'OC'，分三种情况求解：
情况一：如图3﹣1，当B在C左侧，A在D左侧时，
∠A'OD'＝∠AOD﹣∠A'OA﹣∠DOD'＝120°﹣5°t﹣10°t＝120°﹣15°t，
∠B'OC'＝∠BOC﹣∠B'OB﹣∠COC'＝105°﹣5°t﹣10°t＝105°﹣15°t；
令∠A'OD'＝2∠B'OC'，即120°﹣15°t＝2（105°﹣15°t），
解得t＝6；
情况二：如图3﹣2，当B在C右侧，A在D左侧时，
∠A'OD'＝∠AOD﹣∠A'OA﹣∠DOD'＝120°﹣5°t﹣10°t＝120°﹣15°t，
∠B'OC'＝∠B'OB+∠COC'﹣∠BOC＝5°t+10°t﹣105°＝15°t﹣105°；
令∠A'OD'＝2∠B'OC'，即120°﹣15°t＝2（15°t﹣105°），
解得；
情况三：如图3﹣3，当B在C右侧，A在D右侧时，
∠A'OD'＝∠A'OA+∠DOD'﹣∠AOD＝5°t+10°t﹣120°＝15°t﹣120°，
∠B'OC'＝∠B'OB+∠COC'﹣∠BOC＝5°t+10°t﹣105°＝15°t﹣105°；
令∠A'OD'＝2∠B'OC'，即15°t﹣120°＝2（15°t﹣105°），
解得（不合题意，舍去）；
综上所述，存在，当t＝6或时，使∠AOD＝2∠BOC．
【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线，三角板中的角度计算等知识，解题的关键在于准确表示出旋转后的角．