2023-2024学年河北省衡水市景县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省衡水市景县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了下列运算中，正确的是，下列各式中添括号正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．3x2+2x3＝5x5B．a•a2＝a3
C．3a6÷a3＝3a2D．（ab）3＝a3b
3．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000023米．用科学记数法表示0.000000023为（ ）
A．23×10﹣10B．2.3×10﹣10C．2.3×10﹣9D．2.3×10﹣8
4．现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10
C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
D．
6．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
7．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．65°B．65°或80°C．50°或65°D．40°
8．下列各式中添括号正确的是（ ）
A．﹣x﹣3y＝﹣（x﹣3y）B．2x﹣y＝﹣（2x+y）
C．8m﹣m2＝8m（1﹣m）D．3﹣4x＝﹣（4x﹣3）
9．若一个凸多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的内角和是（ ）
A．1080°B．1260°C．1440°D．1620°
10．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝8，AC＝7，BC＝9，则△APC周长的最小值是（ ）
A．15B．16C．17D．15.5
11．已知关于x的分式方程﹣1＝的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜4且m≠3B．m＜4C．m≤4且m≠3D．m＞5且m≠6
12．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（ ）
A．30B．34C．40D．44
13．如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（ ）
A．线①处B．线②处C．线③处D．线④处
14．近年来特色农业在我市蓬勃发展，可以向外地运送很多蔬菜，一运送蔬菜车开往距离出发地600千米的目的地，出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．设原计划速度为x千米/小时，则方程可列为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）（请填序号）
①△ACD≌△CBF；②∠BDM＝∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF．
A．①②③B．①②④C．①③④D．①④
16．有n个依次排列的整式：第1个整式是x2，第2个整式是x2﹣2x+1，用第2个整式减去第1个整式，所得之差记为m1，记m2＝m1+2；将第2个整式与m2相加作为第3个整式，记m3＝m2+2，将第3个整式与m3相加记为第4个整式，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将得到四个结论：①m5＝﹣2x+9；②当x＝3时，第3个整式的值为25；③若第5个整式与第4个整式之差为15，则x＝﹣4；④第2024个整式为（x﹣2023）2；⑤当n＝100时，；以上正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二.填空题（本大题共4个小题，共15分.其中17、18、19小题每小题3分，20小题每空2分）
17．若（x﹣2）0＝1成立，则x的取值范围是 ．
18．计算：1232﹣122×124＝ ．
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为 ．
20．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm，如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，
（1）BP＝ 厘米，CP＝ 厘米．（用含t的代数式表示）
（2）若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为 ．
三.解答题（本大题6个小题，共63分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．按要求解答下列各题．
（1）分解因式：x3﹣4x2y+4xy2．
（2）计算：（2y﹣x）（x﹣y）+（2x3y+4xy3）÷2xy．
（3）解分式方程：
①；
②．
22．先化简，再从﹣1，1，3中选择一个适当的数作头x的值代入求值．
23．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标（点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1）；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的距离最短，在图中作出点P的位置．
24．为了帮助湖北省武汉市防控新冠肺炎，某爱心组织筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物资共2000件送往灾区，已知每件甲种物资的价格比每件乙种物资的价格贵10元，用350元购买甲种物资的件数恰好与用300元购买乙种物资的件数相同．
（1）求甲、乙两种救灾物资每件的价格各是多少元？
（2）经调查，灾区对甲种物资的需求量不少于乙种物资的1.5倍，该爱心组织共需要购买2000件物资，请问乙种物资最多能购买多少件？
25．综合与实践．
学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为（a+b）的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 ．
（2）图3是由若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，观察图形，可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为 ．
（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若Q＝S1﹣S2，且Q为定值，则a与b有什么关系？请说明理由．
26．如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FG⊥AC交于G点，求证：AG＝EC；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若AC＝BC＝4，AG＝3，求证：E点为BC中点；
（3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若，求的值是 ．
参考答案
一.选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．3x2+2x3＝5x5B．a•a2＝a3
C．3a6÷a3＝3a2D．（ab）3＝a3b
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．
解：A、3x2+2x3，无法计算，故此选项错误；
B、a•a2＝a3，正确；
C、3a6÷a3＝3a3，故此选项错误；
D、（ab）3＝a3b3，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000023米．用科学记数法表示0.000000023为（ ）
A．23×10﹣10B．2.3×10﹣10C．2.3×10﹣9D．2.3×10﹣8
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000000023＝2.3×10﹣8，
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．
解：四条木棒的所有组合：2，3，5和2，3，6和2，5，6和3，5，6；
只有2，5，6和3，5，6能组成三角形．
故选：B．
【点评】考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．
5．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10
C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
D．
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形即为因式分解，据此进行判断即可．
解：x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x中，等号右边不是积的形式，则A不符合题意；
（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10是乘法运算，则B不符合题意；
x2﹣8x+16＝（x﹣4）2符合因式分解的定义，则C符合题意；
x2+1＝x（x+）中，不是分式，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握其定义是解题的关键．
6．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
7．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．65°B．65°或80°C．50°或65°D．40°
【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×＝65°；
当50°是底角时亦可．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
8．下列各式中添括号正确的是（ ）
A．﹣x﹣3y＝﹣（x﹣3y）B．2x﹣y＝﹣（2x+y）
C．8m﹣m2＝8m（1﹣m）D．3﹣4x＝﹣（4x﹣3）
【分析】根据添括号法则，逐一进行判断即可．
解：A、﹣x﹣3y＝﹣（x+3y），选项错误，不符合题意；
B、2x﹣y＝﹣（﹣2x+y），选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、3﹣4x＝﹣（4x﹣3），选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查添括号．熟练掌握添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号，是解题的关键．
9．若一个凸多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的内角和是（ ）
A．1080°B．1260°C．1440°D．1620°
【分析】根据多边形外角和为360°可得多边形的边数＝360°÷36°＝10，再利用多边形内角和180°（n﹣2）计算多边形的内角和．
解：360°÷36°＝10，
（10﹣2）•180°＝1440°．
所以多边形的内角和为1440°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形外角和为360°；内角和180°（n﹣2）．
10．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝8，AC＝7，BC＝9，则△APC周长的最小值是（ ）
A．15B．16C．17D．15.5
【分析】根据垂直平分线的性质BP＝PC，所以△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP≥AC+AB＝9．
解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝PC，
∴△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP，
∵两点之间线段最短，
∴AP+BP≥AB，
∴△APC的周长＝AC+AP+BP≥AC+AB，
∵AC＝7，AB＝8，
∴△APC周长最小为AC+AB＝15，
故选：A．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短．解题的关键是能得出AP+BP≥AB．
11．已知关于x的分式方程﹣1＝的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜4且m≠3B．m＜4C．m≤4且m≠3D．m＞5且m≠6
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
解：方程两边同时乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）+2＝0，
解得x＝4﹣m．
∵x为正数，
∴4﹣m＞0，解得m＜4．
∵x≠1，
∴4﹣m≠1，即m≠3．
∴m的取值范围是m＜4且m≠3．
故选：A．
【点评】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
12．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（ ）
A．30B．34C．40D．44
【分析】由图可得阴影部分面积为4个直角三角形面积的和．
解：如图，
∵a﹣b＝2，ab＝26，
∴a2﹣2ab+b2＝4，
∴a2+b2＝4+2ab＝4+52＝56，
阴影部分的面积＝S△ABC+S△CDM+S△AEF+S△GHM
＝2×（a﹣b）×a+2×b×b
＝a（a﹣b）+b2
＝a2+b2﹣ab
＝56﹣26
＝30．
故选：A．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解决本题的关键．
13．如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（ ）
A．线①处B．线②处C．线③处D．线④处
【分析】根据分式的基本性质解决此题．
解：＝＜1．
∵x为正整数，
∴x最小值为1．
∴当x＝1时，取最小值．
∴．
∴分式的值落在线②处．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的基本性质、分式的值，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
14．近年来特色农业在我市蓬勃发展，可以向外地运送很多蔬菜，一运送蔬菜车开往距离出发地600千米的目的地，出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．设原计划速度为x千米/小时，则方程可列为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“一运送物资车开往距离出发地600千米的目的地”，则原计划的时间为：，根据“出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶”，则实际的时间为：，根据“实际比原计划提前40分钟到达目的地”，列出关于x的分式方程即可．
解：由题意可得，
，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系，列出分式方程是解题的关键．
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）（请填序号）
①△ACD≌△CBF；②∠BDM＝∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF．
A．①②③B．①②④C．①③④D．①④
【分析】由“ASA”可证△ACD≌△CBF，由“SAS”可证△BDM≌△BFM，利用全等三角形的性质依次判断可求解．
解：∵BF⊥BC，CE⊥AD，
∴∠AEC＝∠CBF＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ACE＝∠BCF+∠ACE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCF，
又∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBF（ASA）；故①正确；
∴∠ADC＝∠F，CD＝BF，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
∴BD＝BF，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∵∠CBF＝90°，
∴∠FBM＝45°，
∴∠DBM＝∠FBM，
又∵BM＝BM，
∴△BDM≌△BFM（SAS），
∴∠BDM＝∠F，DM＝MF，
∴∠BDM＝∠ADC；故②正确；
∵DM＝MF，DB＝BF，
∴AB垂直平分DF，故④正确，
由题意无法证明△ACF是等边三角形，故③错误，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
16．有n个依次排列的整式：第1个整式是x2，第2个整式是x2﹣2x+1，用第2个整式减去第1个整式，所得之差记为m1，记m2＝m1+2；将第2个整式与m2相加作为第3个整式，记m3＝m2+2，将第3个整式与m3相加记为第4个整式，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将得到四个结论：①m5＝﹣2x+9；②当x＝3时，第3个整式的值为25；③若第5个整式与第4个整式之差为15，则x＝﹣4；④第2024个整式为（x﹣2023）2；⑤当n＝100时，；以上正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据题意可以得出规律，第n项为[x﹣（n﹣1）]2，mn＝﹣2x+2n﹣1，根据规律逐项求解判断即可．
解：由题意可知，第1个整式为（x﹣0）2，第2个整式为（x﹣1）2，
∴，
∴m2＝﹣2x+3＝﹣2x+2×2﹣1，
∴m3＝﹣2x+3+2＝﹣2x+5＝﹣2x+2×3﹣1，
∴m5＝m4+2＝m3+2+2＝﹣2x+5+2+2＝﹣2x+9＝﹣2x+2×5﹣1，
．
∴mn＝﹣2x+2n﹣1，故①正确；
∵将第2个整式与m2相加作为第3个整式，
∴第3个整式为x2﹣2x+1+（﹣2x+3）＝x2﹣2x+1﹣2x+3＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
当x＝3时，（x﹣2）2＝1，故②错误；
∵将第3个整式与m3相加作为第4个整式，
∴第4个整式为x2﹣4x+4+（﹣2x+5）＝x2﹣4x+4﹣2x+5＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
以此类推，第n个整式为[x﹣（n﹣1）]2，
∴第4个整式为（x﹣4）2，
∵第5个整式与第4个整式之差为15，
∴（x﹣4）2﹣（x﹣3）2＝15，
解得x＝﹣4，故③正确；
∵第n个整式为[x﹣（n﹣1）]2，
∴第2024个整式为（x﹣2023）2，故④正确；
∵mn＝﹣2x+（2n﹣1），
∴m1+m2+…+m100
＝（﹣2x+2×1﹣1）+（﹣2x+2×2﹣1）+（﹣2x+2×3﹣1）+...+（﹣2x+2×100﹣1）
＝100×（﹣2x）+2（1+2+3+...+100）﹣100
＝﹣200x+2×50×101﹣100
＝﹣200x+10000，故⑤正确．
综上，正确的有①③④⑤，共4个．
故选：D．
【点评】本题主要考查数据的规律类问题．解题的关键是根据题意可以得出规律，第n项为[x﹣（n﹣1）]2，mn＝﹣2x+2n﹣1．
二.填空题（本大题共4个小题，共15分.其中17、18、19小题每小题3分，20小题每空2分）
17．若（x﹣2）0＝1成立，则x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据任何不为零的数的零次幂都等于1进行解题即可．
解：∵（x﹣2）0＝1成立，
∴x﹣2≠0，
则x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查零指数幂，掌握底数不为零的条件是解题的关键．
18．计算：1232﹣122×124＝ 1 ．
【分析】首先根据122＝（123﹣1），124＝（123+1），对原式进行变形，1232﹣（123﹣1）（123+1），然后运用平方差公式进行乘法运算，最后再进行加减法计算即可．
解：原式＝1232﹣（123﹣1）（123+1）
＝1232﹣（1232﹣1）
＝1232﹣1232+1
＝1．
故答案为1．
【点评】本题主要考查平方差公式的应用，去括号法则的应用，关键在于正确的对原式进行变形，认真的进行计算．
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为 10° ．
【分析】根据轴对称的性质可知∠CA′D＝∠A＝50°，然后根据外角定理可得出∠A′DB．
解：由题意得：∠CA′D＝∠A＝50°，∠B＝40°，
由外角定理可得：∠CA′D＝∠B+∠A′DB，
∴可得：∠A′DB＝10°．
故答案为：10°．
【点评】本题考查轴对称的性质，属于基础题，注意外角定理的运用是解决本题的关键．
20．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm，如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，
（1）BP＝ 4t 厘米，CP＝ （10﹣4t） 厘米．（用含t的代数式表示）
（2）若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为 4.8或4 ．
【分析】（1）根据路程与速度的关系求解即可；
（2）分两种情形，利用全等三角形的性质构建方程求解即可．
解：（1）点 P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，运动的时间为 t秒，
∴BP＝4tcm，
∵BP+CP＝BC＝10cm，
∴CP＝10﹣BP＝（10﹣4t）cm，
故答案为：4t，（10﹣4t）；
（2）∵点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，运动的时间为t秒，
∴CQ＝at，
当△BPE≌△CPQ时，
∴BP＝CP，BE＝CQ，即4t＝10﹣4t，at＝6，即8t＝10，
∴，
∴，
解得：a＝4.8；
当△BPE≌△CQP时，
∴BP＝CQ，BE＝PC，即4t＝at，10﹣4t＝6，
∴﹣4t＝﹣4，
∴t＝1，
∴4＝a
即a＝4，
综上，以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为4.8或4，
故答案为：4.8或4．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，一元一次方程等知识，分类讨论的思想思考问题．
三.解答题（本大题6个小题，共63分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．按要求解答下列各题．
（1）分解因式：x3﹣4x2y+4xy2．
（2）计算：（2y﹣x）（x﹣y）+（2x3y+4xy3）÷2xy．
（3）解分式方程：
①；
②．
【分析】（1）先提取公因式x，再利用公式法分解因式即可；
（2）先根据多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则展开，再合并同类项即可；
（3）先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，最后检验即可得出答案．
解：（1）x3﹣4x2y+4xy2
＝x（x2﹣4xy+4y2）
＝x（x﹣2y）2；
（2）（2y﹣x）（x﹣y）+（2x3y+4xy3）÷2xy
＝2xy﹣2y2﹣x2+xy+2x3y÷2xy+4xy3÷2xy
＝2xy﹣2y2﹣x2+xy+x2+2y2
＝3xy；
（3）①，
x+3＝2x+2（2x﹣6），
﹣5x＝﹣15，
x＝3，
经检验x＝3不是原方程的解，
所以原方程无解；
②，
2+x（x+2）＝x2﹣4，
2x＝﹣6，
x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是原方程的解，
所以原方程的解为：x＝﹣3．
【点评】本题考查了提公因式及公式法分解因式、整式的混合运算以及解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解答本题的关键．
22．先化简，再从﹣1，1，3中选择一个适当的数作头x的值代入求值．
【分析】根据分式混合运算法则，将分式化简为．
解：
＝，
＝，
＝，
＝，
要使分式有意义，则x≠±1，0．
可取x＝3，
则原式＝．
【点评】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，掌握分式混合运算法则是关键．
23．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标（点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1）；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的距离最短，在图中作出点P的位置．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）作出点A关于x轴的对称点A′，再连接A′B，与x轴的交点即为所求．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
由图知，A1（﹣1，1），B1（﹣4，2）C1（﹣3，4），
故答案为：﹣1，1；﹣4，2；﹣3，4；
（2）如图所示，点P即为所求，其坐标为（2，0）．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是根据轴对称的性质作出变换后的对应点．
24．为了帮助湖北省武汉市防控新冠肺炎，某爱心组织筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物资共2000件送往灾区，已知每件甲种物资的价格比每件乙种物资的价格贵10元，用350元购买甲种物资的件数恰好与用300元购买乙种物资的件数相同．
（1）求甲、乙两种救灾物资每件的价格各是多少元？
（2）经调查，灾区对甲种物资的需求量不少于乙种物资的1.5倍，该爱心组织共需要购买2000件物资，请问乙种物资最多能购买多少件？
【分析】（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，由题意列出分式方程，即可得出结果；
（2）设购买乙种物品件数为m件，由题意列出不等式，即可得出结果．
【解答】解（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，
∴x+10＝60+10＝70，
答：甲、乙两种救灾物资每件的价格分别为70元、60元；
（2）设购买乙种物品件数为m件，
根据题意得：2000﹣m≥1.5m，
解得：m≤800，
∴乙种物资最多能购买800件．
答：乙种物资最多能购买800件．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式，注意分式方程要检验．
25．综合与实践．
学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为（a+b）的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ．
（2）图3是由若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，观察图形，可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为 （a+3b）（a+2b） ．
（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若Q＝S1﹣S2，且Q为定值，则a与b有什么关系？请说明理由．
【分析】（1）依据题意，用两种方法表示图2的面积，即可得出公式；
（2）依据题意，观察图形紧扣长乘以宽得面积，进而可以得解；
（3）依据题意，设MN长为x，求出S1，S2即可解决问题．
解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，
方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）由题意得，图3中长方形的长是a+3b，宽是a+2b，
∴a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）．
故答案为：（a+3b）（a+2b）．
（3）设MN长为x．
∵S1＝a[x﹣（a+b）]＝ax﹣a2﹣ab，S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab，
∴Q＝S1﹣S2＝（a﹣3b）x﹣a2+2ab，
由题意得，若Q为定值，则Q将不随x的变化而变化，
可知当a﹣3b＝0时，即a＝3b时，Q＝﹣a2+2ab为定值．
【点评】本题考查完全平方公式，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
26．如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FG⊥AC交于G点，求证：AG＝EC；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若AC＝BC＝4，AG＝3，求证：E点为BC中点；
（3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若，求的值是 ．
【分析】（1）易证∠CAE＝∠F，即可证明△AGF≌△ECA，即可解题；
（2）过F点作FD⊥AC交AC于D点，首先证得△FDG≌△BCG（AAS），可得DG＝GC＝1，CE＝AD＝2，BE＝BC﹣CE＝2，进而得到CE＝EB，即E点为BC中点；
（3）过F作FG⊥AD的延长线交于点G，易证＝，由（1）（2）可知△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，可得CD＝DG，AG＝CE，即可求得的值，即可解题．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠CAE+∠FAG＝90°
∴∠FAG＝∠AEC，
∵FG⊥AC，
∴∠FGA＝90°＝∠ACE，
在△AGF和△ECA中，
，
∴△AGF≌△ECA（AAS）；
∴AG＝EC；
（2）证明：如图2，过点F作FD⊥AC于D，
∵AC＝4，AG＝3，
∴CG＝4﹣3＝1，
由（1）可知，△FAD≌△AEC，
∴CE＝AD，FG＝AC＝BC，
在△FDG 和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG＝GC＝1，
∴CE＝AD＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝2，
∴CE＝EB，即E点为BC中点；
（3）解：过F作FG⊥AD的延长线交于点G，如图3，
∵＝，BC＝AC，CE＝CB+BE，
∴＝，
由（1）（2）知：△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，
∴CD＝DG，AG＝CE，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AGF≌△ECA和△DGF≌△DCB是解题的关键．