人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精练，共21页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19979" 【题型1 求圆的标准方程】 PAGEREF _Tc19979 \h 1
\l "_Tc10286" 【题型2 求圆的一般方程】 PAGEREF _Tc10286 \h 2
\l "_Tc20765" 【题型3 二元二次方程表示圆的条件】 PAGEREF _Tc20765 \h 3
\l "_Tc21560" 【题型4 圆过定点问题】 PAGEREF _Tc21560 \h 3
\l "_Tc9570" 【题型5 点与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc9570 \h 4
\l "_Tc26086" 【题型6 圆有关的轨迹问题】 PAGEREF _Tc26086 \h 5
\l "_Tc32261" 【题型7 与圆有关的对称问题】 PAGEREF _Tc32261 \h 6
【知识点1 圆的方程】
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
【题型1 求圆的标准方程】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）过A0,0，B1,1，C4,2三点的圆的一般方程是（ ）
A．x2+y2+8x+6y=0B．x2+y2−8x−6y=0
C．x2+y2+8x−6y=0D．x2+y2−8x+6y=0
【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知P10,2、P24,4两点，若圆M以P1P2为直径，则圆M的标准方程为（ ）
A．x−22+y−32=5B．x−22+y−32=5
C．x−12+y−42=5D．x−12+y−42=5
【变式1-2】（2023春·湖北襄阳·高二校考开学考试）过点A1,−1，B−1,1，且圆心在直线x+y−2=0上的圆的方程是（ ）
A．x−12+y−12=4B．x+32+y−12=4
C．x−32+y+12=4D．x+12+y+12=4
【变式1-3】（2023秋·河北石家庄·高二校考期末）已知圆的圆心为(−2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A．x2+y2+4x−2y=0B．x2+y2−4x+2y−5=0
C．x2+y2+4x−2y−5=0D．x2+y2−4x+2y=0
【题型2 求圆的一般方程】
【例2】（2022秋·天津和平·高二校考阶段练习）已知圆C经过原点O(0,0)，A(4,3)，B(1,−3)三点，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2−4x−3y=0B．x2+y2−x+3y=0
C．x2+y2−5x−5=0D．x2+y2−7x+y=0
【变式2-1】（2022·全国·高二专题练习）与圆x2+y2−2x+4y+3=0同圆心，且过点1,−1的圆的方程是（ ）
A．x2+y2−2x+4y−4=0B．x2+y2−2x+4y+4=0
C．x2+y2+2x−4y−4=0D．x2+y2+2x−4y+4=0
【变式2-2】（2023春·天津武清·高二校考开学考试）已知圆C经过两点A0,2，B4,6，且圆心C在直线l:2x−y−3=0上，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2−6x−6y−16=0B．x2+y2−2x+2y−8=0
C．x2+y2−6x−6y+8=0D．x2+y2−2x+2y−56=0
【变式2-3】（2022秋·全国·高二专题练习）已知A2,0,B3,3,C−1,1，则△ABC的外接圆的一般方程为（ ）
A．x2+y2−2x+4y=0B．x2+y2−2x+4y+2=0
C．x2+y2−2x−4y=0D．x2+y2−2x−4y+1=0
【知识点2 二元二次方程与圆的方程】
1．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是
【题型3 二元二次方程表示圆的条件】
【例3】（2023春·广东湛江·高二统考期末）已知x2+y2+2kx−4y+k2+k−2=0表示的曲线是圆，则k的值为（ ）
A．6，+∞B．−6,+∞C．−∞,6D．−∞,6
【变式3-1】（2023春·河南·高三阶段练习）“a0对称，则ab的最大值为（ ）
A．2B．1C．12D．14
专题2.6 圆的方程【七大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19979" 【题型1 求圆的标准方程】 PAGEREF _Tc19979 \h 1
\l "_Tc10286" 【题型2 求圆的一般方程】 PAGEREF _Tc10286 \h 3
\l "_Tc20765" 【题型3 二元二次方程表示圆的条件】 PAGEREF _Tc20765 \h 5
\l "_Tc21560" 【题型4 圆过定点问题】 PAGEREF _Tc21560 \h 6
\l "_Tc9570" 【题型5 点与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc9570 \h 8
\l "_Tc26086" 【题型6 圆有关的轨迹问题】 PAGEREF _Tc26086 \h 10
\l "_Tc32261" 【题型7 与圆有关的对称问题】 PAGEREF _Tc32261 \h 11
【知识点1 圆的方程】
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
【题型1 求圆的标准方程】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）过A0,0，B1,1，C4,2三点的圆的一般方程是（ ）
A．x2+y2+8x+6y=0B．x2+y2−8x−6y=0
C．x2+y2+8x−6y=0D．x2+y2−8x+6y=0
【解题思路】设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入已知点得方程组，求解可得圆的方程.
【解答过程】解：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为A0,0，B1,1，C4,2三点在圆上，所以F=0,D+E+F+2=0,4D+2E+F+20=0,解得D=−8,E=6,F=0,于是所求圆的一般方程是x2+y2−8x+6y=0.
故选：D.
【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知P10,2、P24,4两点，若圆M以P1P2为直径，则圆M的标准方程为（ ）
A．x−22+y−32=5B．x−22+y−32=5
C．x−12+y−42=5D．x−12+y−42=5
【解题思路】求出圆心M坐标以及圆M的半径，即可得出圆M的标准方程.
【解答过程】由题意可知，圆心M的横坐标为0+42=2，纵坐标为2+42=3，即点M2,3，
圆M的半径为MP1=2−02+3−22=5，
因此，圆M的标准方程为x−22+y−32=5.
故选：A.
【变式1-2】（2023春·湖北襄阳·高二校考开学考试）过点A1,−1，B−1,1，且圆心在直线x+y−2=0上的圆的方程是（ ）
A．x−12+y−12=4B．x+32+y−12=4
C．x−32+y+12=4D．x+12+y+12=4
【解题思路】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线x+y−2=0上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程．
【解答过程】因为过点A1,−1与B−1,1，
所以线段AB的中点坐标为0,0，kAB=1−−1−1−1=−1，
所以线段AB的中垂线的斜率为k=1，
所以线段AB的中垂线的方程为y=x，
又因为圆心在直线x+y−2=0上，
所以x+y−2=0y=x，解得x=1y=1，
所以圆心为1,1，r=1−12+1+12=2
所以圆的方程为x−12+y−12=4.
故选：A.
【变式1-3】（2023秋·河北石家庄·高二校考期末）已知圆的圆心为(−2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A．x2+y2+4x−2y=0B．x2+y2−4x+2y−5=0
C．x2+y2+4x−2y−5=0D．x2+y2−4x+2y=0
【解题思路】根据中点坐标公式求出直径两端点的坐标，然后求出半径，再求出圆的方程即可.
【解答过程】设直径的两个端点分别A(a,0),B(0,b)，
圆心C为点(−2,1),由中点坐标公式，得a+02=−2,0+b2=1，解得a=−4,b=2.
∴半径r=−2+42+1−02=5，
∴圆的方程是(x+2)2+(y−1)2=5,即x2+y2+4x−2y=0.
故选：A.
【题型2 求圆的一般方程】
【例2】（2022秋·天津和平·高二校考阶段练习）已知圆C经过原点O(0,0)，A(4,3)，B(1,−3)三点，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2−4x−3y=0B．x2+y2−x+3y=0
C．x2+y2−5x−5=0D．x2+y2−7x+y=0
【解题思路】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2−4F>0，
解方程组16+9+4D+3E+F=01+9+D−3E+F=0F=0即得解.
【解答过程】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2−4F>0，
把点O(0,0)，A(4,3)，B(1,−3)代入得
16+9+4D+3E+F=01+9+D−3E+F=0F=0，
解得D=−7，E=1，F=0，
所以圆的方程是x2+y2−7x+y=0．
故选：D．
【变式2-1】（2022·全国·高二专题练习）与圆x2+y2−2x+4y+3=0同圆心，且过点1,−1的圆的方程是（ ）
A．x2+y2−2x+4y−4=0B．x2+y2−2x+4y+4=0
C．x2+y2+2x−4y−4=0D．x2+y2+2x−4y+4=0
【解题思路】根据同圆心,可设圆的一般式方程为x2+y2−2x+4y+m=0,代入点即可求解.
【解答过程】设所求圆的方程为x2+y2−2x+4y+m=0，由该圆过点1,−1，得m＝4，
所以所求圆的方程为x2+y2−2x+4y+4=0.
故选：B.
【变式2-2】（2023春·天津武清·高二校考开学考试）已知圆C经过两点A0,2，B4,6，且圆心C在直线l:2x−y−3=0上，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2−6x−6y−16=0B．x2+y2−2x+2y−8=0
C．x2+y2−6x−6y+8=0D．x2+y2−2x+2y−56=0
【解题思路】先将圆的一般方程写出，然后利用待定系数法即可求解.
【解答过程】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心坐标为−D2,−E2，
因为圆C经过两点A0,2，B4,6，且圆心C在直线l:2x−y−3=0上，
所以2×−D2−−E2−3=00+22+2E+F=042+62+4D+6E+F=0，解得D=−6E=−6F=8，
所以圆C的方程为x2+y2−6x−6y+8=0.
故选：C.
【变式2-3】（2022秋·全国·高二专题练习）已知A2,0,B3,3,C−1,1，则△ABC的外接圆的一般方程为（ ）
A．x2+y2−2x+4y=0B．x2+y2−2x+4y+2=0
C．x2+y2−2x−4y=0D．x2+y2−2x−4y+1=0
【解题思路】设△ABC外接圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，然后将A,B,C三点坐标代入解方程组求出D,E,F的值，从而可求出△ABC的外接圆的一般方程.
【解答过程】设△ABC外接圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由题意可得：22+02+2D+0⋅E+F=032+32+3D+3E+F=0−12+12−D+E+F=0，解得：D=−2E=−4F=0，
即△ABC的外接圆的方程为：x2+y2−2x−4y=0．
故选：C.
【知识点2 二元二次方程与圆的方程】
1．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是
【题型3 二元二次方程表示圆的条件】
【例3】（2023春·广东湛江·高二统考期末）已知x2+y2+2kx−4y+k2+k−2=0表示的曲线是圆，则k的值为（ ）
A．6，+∞B．−6,+∞C．−∞,6D．−∞,6
【解题思路】方程配方后得x+k2+y−22=6−k，根据圆的半径大于0求解.
【解答过程】由方程x2+y2+2kx−4y+k2+k−2=0可得x+k2+y−22=6−k，
所以当r=6−k>0时表示圆，解得k0，解得a>9或a0对称，则ab的最大值为（ ）
A．2B．1C．12D．14
【解题思路】由圆的方程求出圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，由基本不等式即可求出ab的最大值.
【解答过程】解：由题意
在圆x2+y2−2x+4y+4=0中，
x−12+y+22=1
∴圆心为A1,−2，半径为1
在直线2ax−by−2=0a>0,b>0中，
圆关于该直线对称
∴直线过圆心A1,−2，
∴2a+2b−2=0，即：a+b=1
∵a+b=1≥2ab
解得：ab≤14
当且仅当a=b=12时等号成立
∴ab的最大值为14.
故选：D.位置关系
判断方法
几何法
代数法(标准方程)
代数法(一般方程)
点在圆上
|MA|=r
(x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
点在圆内
|MA|r2
位置关系
判断方法
几何法
代数法(标准方程)
代数法(一般方程)
点在圆上
|MA|=r
(x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
点在圆内
|MA|r2