1.3 复数（精练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）

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A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，故，
所以的虚部为.
故选：A.
2．（2023·广东广州·统考二模）若为实数，且，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，，故选：C．
3．（2023·山西·高三校联考阶段练习）复数z满足，则=（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】∵，
∴.故选：A
4．（2023·吉林延边·统考二模）已知复数满足，给出下列四个命题其中正确的是（ ）
A．B．的虚部为C．D．
【答案】B
【解析】∵，∴，故z的虚部为，
则，，，所以B正确，A，C，D不正确.
故选：B.
5．（2023·安徽·校联考二模）的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据复数的四则运算法则化简可得，，
所以的虚部为，故选：B
6．（2023春·河北·高三统考阶段练习）设复数，则（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】A
【解析】，故.故选：A
7．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测） 是虚数单位，已知与互为共轭复数，则（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
【答案】D
【解析】，
与互为共轭复数，，.故选：D.
8．（2023·江苏常州·校考二模）1977年是高斯诞辰200周年，为纪念这位伟大的数学家对复数发展所做出的杰出贡献，德国特别发行了一枚邮票，如图，这枚邮票上印有4个复数，设其中的两个复数的积，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，因此，而，
则，所以.
故选：D
9．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以,故选：D
10．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）设为虚数单位，且，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【解析】由题意，，
根据复数相等运算法则，则且，解得.故选：D.
11．（2023·河南郑州·统考一模）已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】由题意，复数满足，
可得，
所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.
12．（2023春·河南平顶山·高三校联考阶段练习）已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】．故选：C.
13．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，
所以，所以，解得：，
所以.故选：C
14．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，则，，
所以在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：D
15．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）复数z满足，则的虚部为（ ）．
A．1B．C．D．3
【答案】B
【解析】依题意，，所以，其虚部为.
故选：B
16．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】由，
其在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，
故选：A.
17．（2023·湖南·校联考二模）已知i为虚数单位，，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】∵，∴的对应点为，在第一象限，
故选：A．
18．（2023·广东梅州·统考二模）已知复数，，且为纯虚数，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】复数，，则，
依题意，，解得，即，
所以.
故选：C
19．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）已知复数满足 ，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
可得，所以.
故选：C.
20．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知复数z满足，是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，
，
，
，解得，
.
故选：B.
21．（2023·重庆·统考模拟预测）设复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，
则
，，
.
故选：B.
22．（2023·江西宜春·统考一模）若复数满足为纯虚数，且，则的虚部为（ ）
A．1B．C．D．1
【答案】B
【解析】设，
为纯虚数，，，
又，，解得：，
的虚部为.
故选：B.
23．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】B
【解析】由，得，整理得．
设，则，
所以，，所以，所以.
故选：B
24．（2023·全国·高三专题练习）已知，且为实数，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【解析】因为为实数，所以.
故选：A
25．（2023·全国·高三专题练习）“”是“复数为纯虚数”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，
时是纯虚数，充分；是纯虚数，则，不必要．
故选：A
26．（2023·陕西汉中·统考二模）已知复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】若复数为纯虚数，则，解得，
则，
故复数在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：A.
27．（2023·全国·浮梁县第一中学校联考模拟预测）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】∵，又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部复数”，
∴，解得，
∴，∴，即，
∴复数在复平面内对应的点是，位于第四象限.
故选：D.
28．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）（多选）已知复数满足，则（ ）
A．B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．D．满足方程
【答案】AD
【解析】对于A：，，故A正确；
对于B：在复平面内对应的点位于第四象限，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；．
故选：AD．
29．（2023·山西·校联考模拟预测）（多选）若复数满足，则（ ）
A．的虚部为B．
C．D．z在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】BC
【解析】因为，
对于A，的虚部为，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，z在复平面内对应的点位于第一象限，故D错误；
故选：BC．
30．（2023·全国·高三专题练习）____________
【答案】/
【解析】，，
.
故答案为：
1．（2023·山东聊城·统考模拟预测）若在复数范围内分解为，则在复数平面内，复数对应的点位于（ ）
A．实轴上B．虚轴上C．第一象限D．第二象限
【答案】B
【解析】由，得，
当，时，，，
所以；
当，时， ，
综上，复数对应的点位于虚轴上.
故选：B．
2．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）在复平面内，已知复数对应的向量为，现将向量绕点逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量，设对应的复数为，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】依题意，，将向量绕点逆时针旋转90°所得向量坐标为，，
则有，解得，因此，即，
所以.
故选：A
3．（2023·北京延庆·统考一模）若，则“”是“复数是纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】，
当时，复数，是纯虚数；
复数是纯虚数时，有，解得.
则“”是“复数是纯虚数”的充分必要条件.
故选：C
4．（2023春·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）复数z满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．在复平面内对应的点位于第四象限D．
【答案】D
【解析】由可得，
所以，故A错误；
由 知，故B错误；
在复平面内对应的点位于第三象限，故C错误；
由知，故D正确.
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点所在区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令且，则，
所以，
所以复数在复平面内对应的点所在区域是圆和圆围成的圆环，
所以点所在区域的面积为.
故选：C.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知复数（，），满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知可得，，
又，所以，即有，
所以，点在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心为，
则，，所以.
又，所以，.
故选：D.
7．（2023·辽宁丹东·统考一模）（多选）在复平面内，为坐标原点，复数、对应的点、都在单位圆上，则（ ）
A．为直角三角形B．对应的点在单位圆上
C．直线与虚轴垂直D．
【答案】BC
【解析】设，则，
因为复数、对应的点、都在单位圆上，则，
所以，，解得，所以，或.
对于A选项，由复数的几何意义可知，
所以，为等边三角形，A错；
对于B选项，当时，，
则，
当时，，
则，
所以，对应的点在单位圆上，B对；
对于C选项，若，则、，此时直线与虚轴垂直，
若，则、，此时直线与虚轴垂直，C对；
对于D选项，当时，，
当时，，D错.
故选：BC.
8．（2023·吉林·统考三模）（多选）已知复数，，下列说法正确的是（ ）
A．若纯虚数，则
B．若为实数，则，
C．若，则或
D．若，则m的取值范围是
【答案】ABC
【解析】对于A，复数是纯虚数，则，A正确；
对于B，若为实数，则，则，，B正确；
对于C，若，则，则，
解得或，C正确；
对于D，若，则，且，则，D错误，
故选：ABC
9．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．复数的虚部为
B．在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限
C．若为虚数单位，n为正整数，则
D．若，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为
【答案】CD
【解析】选项A：复数的虚部为，故A错误；
选项B：在复平面内，复数的共轭复数为，
对应的点的坐标为，位于第二象限，故B判断错误；
选项C：，故C判断正确；
选项D：设，，对应的点的坐标为，由得，所以在以原点为圆心1为半径的圆内（含圆周），在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为，故D判断正确.
故选：CD
10．（2023·全国·高三专题练习）（多选）设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则z的虚部为－2i
B．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
C．若点Z坐标为（－1，3），且z是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q＝12
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
【答案】CD
【解析】A选项：因为，所以的虚部为-2，故A错；
B选项：设，则可以得到，即，有好多种情况，例如，，，此时，故B错；
C选项：若的坐标为，则，又是关于的实系数方程的一个根，所以，所以，解得，，故C正确；
D选项：设，则，即，所以的集合所构成的图形为环形，如下所示：
所以面积为，故D正确.
故选：CD.
11．（2023·全国·高三专题练习）__________．
【答案】/
【解析】由，，，
，，，
则，，
所以
，
故答案为：.
12．（2023·全国·高三专题练习）设且，满足，则的取值范围为____．
【答案】
【解析】设，
，则，
所以，
，所以，
即对应点在以为圆心，半径为的圆上.
，对应点为，
与关于对称，
所以点在以为圆心，半径为的圆上，
表示与两点间的距离，
圆与圆相交，圆心距为，如图所示，
所以的最小值为，最大值为，
所以的取值范围为.
故答案为：
13．（2023·上海·高三专题练习）如果复数满足 ， 那么 的最大值是_____.
【答案】5
【解析】设，，则，
变形为，两边平方后得到，
两边平方后得到，将代入，
即，故，
则，
当时，取得最大值，最大值为5
故答案为：5
14．（2023·全国·高三专题练习）如果复数z满足，那么的最大值是______ ．
【答案】2＃＃＋2
【解析】设复数z在复平面中对应的点为
∵，则点到点的距离为2，即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆
表示点到点的距离，结合图形可得
故答案为：．