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3.4 对数运算及对数函数(导与练)-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破(新高考)
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一.对数的概念
(1)一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=lgaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)常用对数与自然对数
二.对数的性质与运算性质
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M >0,N >0,那么
①lga(MN)=lgaM+lgaN;②lga eq \f(M,N) =lgaM-lgaN;③lgaMn=nlgaM (n∈R);④lgamMn= eq \f(n,m) lgaM.
(2)对数的性质:①algaN=N;②lgaaN=N(a>0且a≠1).
(3)对数的重要公式
①换底公式:lgbN= eq \f(lgaN,lgab) (a,b均大于零且不等于1);
②lgab= eq \f(1,lgba) ,推广lgab·lgbc·lgcd=lgad.
三.对数函数的图象与性质
四.反函数
指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
对数运算
1.将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
2.将同底对数的和、差、倍合并.
3.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
二.对数函数的图象
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
三.比较对数值大小的方法
四.简单对数不等式
1.解决简单的对数不等式,应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解.
2.对数函数的单调性和底数a的值有关,在研究对数函数的单调性时,要按01
00;当0
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