5.1 三角函数的定义（导与练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）

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一．任意角
1.定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．分类：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角；,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
3.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
4.象限角与轴线角

易错点：终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同
二．弧度制
1．定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
2．公式
易错点：利用上表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
三．任意角的三角函数
一．判断象限角的方法
1.图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
2.转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
二．三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
三．三角函数的定义
1，已知角α的终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；
2.已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角α的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；
3.已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．
方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意应对a的符号分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．
考法一 任意角
【例1-1】（2023春·青海）下列命题中正确的是（ ）
A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系
B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角
C．终边相同的角的弧度制表示相差
D．终边相同的角的弧度都相同
【例1-2】（2023·山东德州）亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
【例1-3】（2023春·辽宁）下列与终边相同角的集合中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023春·上海闵行）下列说法正确是（ ）
A．角60和角600是终边相同的角
B．第三象限角的集合为
C．终边在轴上角的集合为
D．第二象限角大于第一象限角
2．（2023春·广东清远）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．B．第一象限的角是锐角
C．1弧度的角比1°的角大D．锐角是第一象限的角
3．（2023·海南）设，且的终边与角的终边相同，则__________.
考法二 扇形的弧长与面积
【例2-1】（2023·安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144°，半径为cm，则扇形的面积为______cm2．
【例2-2】（2023·天津河东·一模）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（ ）
A．4B．C．2D．1
【例2-3】（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（ ）（参考数值：）
A．20.10mB．19.94mC．19.63mD．19.47m
【一隅三反】
1．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）（精确到）

A．B．C．D．
2．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）一个表面积为的圆锥，其侧面展开图是一个中心角为的扇形，设该扇形面积为，则为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·模拟预测）通用技术课上，张老师要求同学们从一个半径为的圆形纸片上剪出一个扇形，制作成一个圆锥形无盖漏斗，当它的容积最大时，扇形圆心角的大小为（ ）
A．B．C．D．
考法三 三角函数的定义
【例3-1】（2023·上海·统考模拟预测）已知为角α终边上一点，则=______．
【例3-2】．（2023·四川·校联考模拟预测）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】（2023·全国·高三对口高考）如果点P在角的终边上，且，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【例3-4】．（2023春·江西南昌·高一南昌市第十九中学校考阶段练习）在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，若的终边与圆交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河南开封·统考三模）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tanα=（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，的值为（ ）

A．B．C．D．
4．（2023秋·山东菏泽）单位圆上一点从出发，顺时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
考法四 三角函数值的正负判断
【例4-1】（2023春·安徽）已知角的顶点与原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，是第几象限角（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【例4-2】（2023·浙江杭州）若，且，则角是第（ ）象限角．
A．二B．三C．一或三D．二或四
【例4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【一隅三反】
1．（2023春·辽宁）点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2023·广东）若满足，则的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）坐标平面内点的坐标为，则点位于第（ ）象限.
A．一B．二C．三D．四
4．（2023·四川成都）若是第三象限角，则下列各式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·高三对口高考）已知角的终边落在直线上，则__________.
考法五 三角函数线的应用
【例5-1】（2023·天津）设，使且同时成立的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】．（2023·全国·高三专题练习）如果，那么下列不等式成立的是
A．B．
C．D．
【例5-3】．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023·上海）的大小关系为
A．B．C．D．
2．（2023·湖北黄冈）关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲: 是第三象限角，乙：.丙: ，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
3．（2023·广西·校联考模拟预测）的值所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝lg(2sinx－1)＋的定义域为__________________.
5（2023·全国·高三对口高考）若点在第一象限，则在内的取值范围是________．
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(l表示弧长)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f(π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．把r＝|OP|
sin α＝eq \f(y,r)
cs α＝eq \f(x,r)
tan α＝eq \f(y,x)
定义域
R
R
函数
值在
各象
限的
符号
一
＋
＋
＋
二
＋
－
－
三
－
－
＋
四
－
＋
－