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所属成套资源：2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）
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6.1 等差数列（导与练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）
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这是一份6.1 等差数列（导与练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考），文件包含61等差数列精讲原卷版docx、61等差数列精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
一．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
二．等差中项
如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，由等差数列的定义知2A＝a＋b．
①a，A，b是等差数列的充要条件是2A＝a＋b．
②数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
③若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
三．等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d；an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)
四．等差数列的前n项和公式
1.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和Sn＝ eq \f(n（a1＋an）,2) 或Sn＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2) d．
2.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝ eq \f(d,2) n2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2))) n⇌数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
3.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0)) 的项数m使得Sn取得最大值Sm；
若a1<0，d>0，则满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0)) 的项数m使得Sn取得最小值Sm．
一．等差数列运算问题的通性方法
1.等差数列运算的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
2.等差数列的通项公式及前n项和公式， 共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个。
二．等差数列的判定与证明的常用方法
1.定义法：an＋1－an＝d(d是常数，n∈N*)或an－an－1＝d(d是常数，n∈N*，n≥2)⇔{an}为等差数列．
2.等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．
3.通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．
4.前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔{an}为等差数列．
三．在等差数列{an}中前n项和性质
1.Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，构成等差数列；
2.S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
3.S2n－1＝(2n－1)an．
5.若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd； eq \f(S奇,S偶) ＝ eq \f(an,an＋1) ．
6.若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an； eq \f(S奇,S偶) ＝ eq \f(n,n－1) ．
四．求等差数列前n项和Sn及最值
1，二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.
2.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．
3.项的符号法(邻项变号法)：
①当a1>0，d<0时，满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
数列的单调性
当d>0时，{an}是递增数列；
当d<0时，{an}是递减数列；
当d＝0时，{an}是常数列．
考法一 等差数列基本量的计算
【例1-1】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则 （ ）
A．54B．71C．80D．81
【例1-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列的前项和是，则（ ）
A．B．
C．D．
【例1-3】（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
【一隅三反】
1．（2023·四川雅安·统考三模）已知数列的前项和为．若，则（ ）
A．16B．25C．29D．32
2．（2023春·广东佛山）（多选）若为等差数列，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．－11是数列中的项
C．数列的前n项和D．数列的前7项和最大
3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等差数列为递减数列，且，，则下列结论中正确的有（ ）
A．数列的公差为B．
C．数列是公差为的等差数列D．
4．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，若数列和均为等差数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
考法二 等差数列的判定与证明
【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足．证明：是等差数列，并求出数的通项公式．
【例2-2】（2023·北京）已知数列满足，记．求证：数列是等差数列．
【一隅三反】
1．（2023·安徽）若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（ ）
A．数列，，，…，…为等差数列
B．数列，，，…，，…为等差数列
C．数列为等差数列
D．数列为等差数列
2．（2023·云南）已知等差数列的前项和为，若
(1)求数列的通项公式.
(2)证明:数列为等差数列.
3．（2023·广东）已知数列{}满足．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{}的通项公式．
4．（2023福建）已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，求证：
(1)数列为等差数列；
(2)数列中任意三项均不能构成等比数列.
考法三 等差数列的中项性质
【例3-1】（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（2023·湖北）等差数列中，若，则的前15项和为（ ）
A．1B．8C．15D．30
【一隅三反】
1．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（2023·重庆·校联考三模）已知是等差数列，是等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广东）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
4．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）用表示等差数列的前n项和，若，，则m的值为______．
考法四 等差数列前n项和的性质
【例4-1】（2023·海南）若两个等差数列，的前n项和满足，则（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（2023·云南）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列的前项和为，，则（ ）
A．9B．C．12D．
【例4-4】（2023·全国·高三对口高考）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【例4-5】（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（ ）
A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040
【一隅三反】
1．（2023·山西）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山东）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河北）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0B．C．D．
4．（2023·海南·校考模拟预测）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
考法五 等差数列的最值
【例5-1】（2023·甘肃）设等差数列的前n项和为，已知是方程的两根，则能使成立的n的最大值为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【例5-2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列的公差为，共前项和为，已知，，则下列结论不正确的是（ ）.
A．，B．与均为的最大值
C．D．
【一隅三反】
1．（2023·内蒙古）已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（ ）
A．9B．10C．17D．18
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（ ）
A．10B．11C．20D．21
3．（2023春·重庆·高三统考开学考试）设等差数列的前项和为，满足，则（ ）
A．B．的最小值为
C．D．满足的最大自然数的值为25
考法六 等差数列在实际生活中的应用
【例6-1】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百年后在印度才首次出现，卷中记载“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：“现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（30天）共织390尺布”，假如该女子1号开始织布，则这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为（ ）
A．26B．130C．D．156
【例6-2】（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102B．103C．104D．105
【一隅三反】
1．（2023·河南）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A．3339块B．3402块C．3474块D．3699块
2．（2023·吉林）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ）
A．17B．18C．19D．20
3．（2023·黑龙江）广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年（1845）重修.砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上.塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔.上个世界九十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”.每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，问这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需几步？（ ）
A．352B．387C．332D．368
一．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
二．等差中项
如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，由等差数列的定义知2A＝a＋b．
①a，A，b是等差数列的充要条件是2A＝a＋b．
②数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
③若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
三．等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d；an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)
四．等差数列的前n项和公式
1.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和Sn＝ eq \f(n（a1＋an）,2) 或Sn＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2) d．
2.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝ eq \f(d,2) n2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2))) n⇌数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
3.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0)) 的项数m使得Sn取得最大值Sm；
若a1<0，d>0，则满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0)) 的项数m使得Sn取得最小值Sm．
一．等差数列运算问题的通性方法
1.等差数列运算的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
2.等差数列的通项公式及前n项和公式， 共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个。
二．等差数列的判定与证明的常用方法
1.定义法：an＋1－an＝d(d是常数，n∈N*)或an－an－1＝d(d是常数，n∈N*，n≥2)⇔{an}为等差数列．
2.等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．
3.通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．
4.前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔{an}为等差数列．
三．在等差数列{an}中前n项和性质
1.Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，构成等差数列；
2.S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
3.S2n－1＝(2n－1)an．
5.若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd； eq \f(S奇,S偶) ＝ eq \f(an,an＋1) ．
6.若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an； eq \f(S奇,S偶) ＝ eq \f(n,n－1) ．
四．求等差数列前n项和Sn及最值
1，二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.
2.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．
3.项的符号法(邻项变号法)：
①当a1>0，d<0时，满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
数列的单调性
当d>0时，{an}是递增数列；
当d<0时，{an}是递减数列；
当d＝0时，{an}是常数列．
考法一 等差数列基本量的计算
【例1-1】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则 （ ）
A．54B．71C．80D．81
【例1-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列的前项和是，则（ ）
A．B．
C．D．
【例1-3】（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
【一隅三反】
1．（2023·四川雅安·统考三模）已知数列的前项和为．若，则（ ）
A．16B．25C．29D．32
2．（2023春·广东佛山）（多选）若为等差数列，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．－11是数列中的项
C．数列的前n项和D．数列的前7项和最大
3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等差数列为递减数列，且，，则下列结论中正确的有（ ）
A．数列的公差为B．
C．数列是公差为的等差数列D．
4．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，若数列和均为等差数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
考法二 等差数列的判定与证明
【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足．证明：是等差数列，并求出数的通项公式．
【例2-2】（2023·北京）已知数列满足，记．求证：数列是等差数列．
【一隅三反】
1．（2023·安徽）若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（ ）
A．数列，，，…，…为等差数列
B．数列，，，…，，…为等差数列
C．数列为等差数列
D．数列为等差数列
2．（2023·云南）已知等差数列的前项和为，若
(1)求数列的通项公式.
(2)证明:数列为等差数列.
3．（2023·广东）已知数列{}满足．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{}的通项公式．
4．（2023福建）已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，求证：
(1)数列为等差数列；
(2)数列中任意三项均不能构成等比数列.
考法三 等差数列的中项性质
【例3-1】（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（2023·湖北）等差数列中，若，则的前15项和为（ ）
A．1B．8C．15D．30
【一隅三反】
1．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（2023·重庆·校联考三模）已知是等差数列，是等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广东）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
4．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）用表示等差数列的前n项和，若，，则m的值为______．
考法四 等差数列前n项和的性质
【例4-1】（2023·海南）若两个等差数列，的前n项和满足，则（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（2023·云南）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列的前项和为，，则（ ）
A．9B．C．12D．
【例4-4】（2023·全国·高三对口高考）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【例4-5】（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（ ）
A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040
【一隅三反】
1．（2023·山西）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山东）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河北）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0B．C．D．
4．（2023·海南·校考模拟预测）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
考法五 等差数列的最值
【例5-1】（2023·甘肃）设等差数列的前n项和为，已知是方程的两根，则能使成立的n的最大值为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【例5-2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列的公差为，共前项和为，已知，，则下列结论不正确的是（ ）.
A．，B．与均为的最大值
C．D．
【一隅三反】
1．（2023·内蒙古）已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（ ）
A．9B．10C．17D．18
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（ ）
A．10B．11C．20D．21
3．（2023春·重庆·高三统考开学考试）设等差数列的前项和为，满足，则（ ）
A．B．的最小值为
C．D．满足的最大自然数的值为25
考法六 等差数列在实际生活中的应用
【例6-1】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百年后在印度才首次出现，卷中记载“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：“现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（30天）共织390尺布”，假如该女子1号开始织布，则这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为（ ）
A．26B．130C．D．156
【例6-2】（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102B．103C．104D．105
【一隅三反】
1．（2023·河南）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A．3339块B．3402块C．3474块D．3699块
2．（2023·吉林）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ）
A．17B．18C．19D．20
3．（2023·黑龙江）广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年（1845）重修.砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上.塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔.上个世界九十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”.每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，问这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需几步？（ ）
A．352B．387C．332D．368
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