6.3 利用递推公式求通项（导与练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）

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公式法求通项
1.条件特征：前n项和与项或项数的关系
2.解题思路
①当n＝1时，由a1＝S1求a1的值．
②当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式
③检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an．
④写出an的完整表达式．
累加法
条件特征：a后−a前=f(n)
解题思路
累乘法
1.条件特征：
2.解题思路
四．构造法
1.形如an＋1＝pan＋q，p≠0，其中a1＝a型
(1)若p＝1，数列{an}为等差数列；
(2)若q＝0，数列{an}为等比数列；
(3)若p≠1且q≠0，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．
方法如下：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ，
又an＋1＝pan＋q，所以(p－1)λ＝q，即λ＝ eq \f(q,p－1) (p≠1)，所以an＋1＋ eq \f(q,p－1) ＝p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋\f(q,p－1))) ，
即 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋\f(q,p－1))) 构成以a1＋ eq \f(q,p－1) 为首项，以p为公比的等比数列．
2.形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型
（1）一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得 eq \f(an＋1,qn＋1) ＝ eq \f(p,q) · eq \f(an,qn) ＋ eq \f(1,q) ，引入辅助数列{bn} eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中bn＝\f(an,qn))) ，得bn＋1＝ eq \f(p,q) ·bn＋ eq \f(1,q) ，再用待定系数法解决；
（2）也可以在原递推公式两边同除以pn＋1，得 eq \f(an＋1,pn＋1) ＝ eq \f(an,pn) ＋ eq \f(1,p) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(q,p))) eq \s\up12(n) ，引入辅助数列{bn} eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中bn＝\f(an,pn))) ，得bn＋1－bn＝ eq \f(1,p) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(q,p))) eq \s\up12(n) ，再利用叠加法(逐差相加法)求解．
3.形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型
可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．
4. 形如an＋1＝ eq \f(pan,ran＋s) 型
两边同时取倒数转化为 eq \f(1,an＋1) ＝ eq \f(s,p) · eq \f(1,an) ＋ eq \f(r,p) 的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出 eq \f(1,an) 的表达式，再求an．
考法一 公式法求通项
【例1-1】（2022·四川·什邡中学）数列的前项和，则它的通项公式是_______．
【例1-2】（2023春·安徽合肥）已知数列的前项和，则的通项公式
【例1-3】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列满足，，则数列的通项公式为___________.
【一隅三反】
1．（2023陕西）已知数列前项和为，且，则求数列的通项公式；.
2．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，若，则______
3．（2023云南）已知正项数列的前项和为，且满足求的通项公式：
4．（2023春·安徽）在数列中，当时，，则其通项公式为___．
考法二 累加法求通项
【例2-1】（2023春·北京）若数列满足，则通项公式为__________.
【例2-2】（2023春·安徽马鞍山）在数列中，，，则
【例2-3】（2023江苏）已知数列满足，，求数列的通项公式 ；
【一隅三反】
1．（2023春·江苏盐城）设等差数列满足，，且，，则
2．（2023北京）设数列满足，则=_______.
3．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
考法三 累乘法求通项
【例3-1】（2023海南）已知在数列中，，求数列的通项公式
【例3-2】（2023春·广东佛山·）已知，，则数列的通项公式是
【一隅三反】
1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，则的通项公式为___________．
2．（2023黑龙江）设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式______.
3．（2023·广东深圳）数列满足：，，则数列的通项公式
考法四 构造等比数列
【例4-1】（2023·吉林）已知数列中，，且（，且），则数列的通项公式为__________．
【例4-2】（2023·北京）已知数列满足，则数列的通项公式为_____________.
【例4-3】（2023·辽宁抚顺市）已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式 ；
【一隅三反】
1．（2023广西）若数列满足，且，则数列的通项公式为_________.
2.（2023黑龙江）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式 ；
3（2023湖北）设为数列的前项和，，且，数列的通项公式 ；
考法五 构造等差数列
【例5-1】（2023春·云南临沧）已知数列中，数列的通项公式
【例5-2】（2023河北）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为
A．B．C．D．
【例5-3】（2022·江西）已知数列满足：，（，），则___________.
【一隅三反】
1．（2023·安徽）已知数列满足，求数列的通项公式 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，．求数列的通项公式 ；
3（2023广东湛江）已知数列中，，，求数列的通项公式 .