江苏省泰州市兴化市2024届高三上学期期末适应性考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省泰州市兴化市2024届高三上学期期末适应性考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若集合,,则的元素的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
2．欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来,在复变函数中占有非常重要的地位,根据欧拉公式,复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．八卦是中国文化的基本学概念,图1是八卦模型图,其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH,其中给出下列结论,其中正确的结论为( )
A.与的夹角为
B.
C.
D.在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）
4．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为( )
A.26B.28C.30D.32
5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为,其中O表示鱼的耗氧量的单位数.某条鲑鱼想把游速提高,则它的耗氧量的单位数与原来的耗氧量的单位数之比是( )
A.3B.9C.27D.81
6．己知函数在上是单调递增函数,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于,两点,则( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8．函数,若恰有6个不同实数解,正实数的范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．某校1500名学生参加数学竞赛,随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分）,成绩的频率分布直方图如图所示,则( )
A.频率分布直方图中a的值为0.005
B.估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75
C.估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80
D.估计总体中成绩落在内的学生人数为225
10．已知数列中,,,则下列结论正确的是( )
A.B.是递增数列C.D.
11．在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且,,则以下四个命题中正确的是( )
A.满足条件的不可能是直角三角形
B.面积的最大值为
C.当时,的内切圆的半径为
D.若为锐角三角形,则
12．已知棱长为1的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球O,点M为球面上的动点,则下列说法正确的是( )
A.球O的表面积为
B.球O在正方体外部的体积大于
C.球O内接圆柱的侧面积的最大值为
D.若点M在正方体外部（含正方体表面）运动,则
三、填空题
13．写出满足“直线：与圆：相切”的一个m的值___________.
14．袋子中有10个大小相同的小球,其中7个白球,3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下,第2次摸到白球的概率为____________.
15．设奇函数的定义域为R,且是偶函数,若,则_____________.
16．已知双曲线的左、右焦点分别为,,倾斜角为的直线与双曲线C在第一象限交于点P,若,则双曲线C的离心率的取值范围为___________.
四、解答题
17．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求B的大小;
（2）若,求c.
18．已知数列是等差数列,其前n项和为,且,.
（1）求的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
19．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系,某实验小组做了调查,得到一些数据（表一）．
表一
（1）请根据所给数据求出x,y的经验回归方程,并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：,,的方差为200）
（2）基于上述调查,某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后,抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计,得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验,分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
表二
附：,,．
20．如图,在三棱锥中,AB是外接圆的直径,PC垂直于圆所在的平面,D、E分别是棱PB、PC的中点．
（1）求证：平面PAC;
（2）若二面角为,,求AE与平面ACD所成角的正弦值．
21．已知是椭圆的左顶点,且M经过点.
（1）求M的方程;
（2）若直线与M交于,两点,且,求弦AB的长.
22．已知函数,为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点;
（2）有且仅有2个零点．
参考答案
1．答案：A
解析：由题意得,
,
故,即的元素的个数是1个,
故选：A.
2．答案：B
解析：由题意可得：对应的点为,
,则,
故位于第二象限.
故选：B.
3．答案：C
解析：,所以的夹角为,A选项错误.
由于四边形ODEF不是平行四边形,所以,
是等腰直角三角形,所以,,
所以,C选项正确.
结合图像可知在上的投影向量与的方向相反,所以D选项错误.
故选：C.
4．答案：B
解析：由于,而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,
所以正四棱锥的体积为,
截去的正四棱锥的体积为,
所以棱台的体积为.
故选：B.
5．答案：D
解析：设鲑鱼原来的游速为耗氧量的单位数为,现在的游速为耗氧量的单位数为,
由题意得：,即,
所以,
故选：D.
6．答案：C
解析：因为函数在上是单调递增函数,
所以对任意恒成立,所以,
令,则,
所以在内为减函数,
所以,则．
故选：C.
7．答案：D
解析：将,两点分别代入抛物线方程,
可得,解得,则,
,解得,则,
又抛物线的焦点,
由题意可得,A,F,B三点共线,
则,即,解得.
故选：D.
8．答案：D
解析：由题知,
的实数解可转化为或的实数解,
即,
当时,
所以时,,单调递增,
时,,单调递减,
如图所示：
所以时有最大值：
所以时,由图可知与无交点,即方程无解,
与有两个不同交点,即方程有2个解,
当时,因为,,
所以,
令,则
则有且,如图所示：

因为时,已有两个交点,
所以只需保证与及与有四个交点即可,
所以只需,解得．
故选：D.
9．答案：AD
解析：由,可得,故A正确;
前三个矩形的面积和为,
所以这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为80,故B错误;
由成绩的频率分布直方图易知,这40名学生的竞赛成绩的众数为75,故C错误;
总体中成绩落在内的学生人数为,故D正确.
故选：AD.
10．答案：BD
解析：由,可得,则,
又由,可得,所以数列表示首项为,公比为的等比数列,
所以,所以,
由,所以A不正确;
由,即,所以是递增数列,所以B正确;
由,所以C错误;
由,,所以,所以D正确.
故选：BD.
11．答案：BC
解析：,则,
对选项A：取,则,,故,是直角三角形,错误;
对选项B：设,则,,,
,当时,S最大为,正确;
对选项C：时,,,,
,故,设内切圆的半径为r,
则,解得,正确;
对选项D：为锐角三角形,则,即,解得,
且,即,解得,故,错误;
故选：BC.
12．答案：ABD
解析：对于A．如图所示,
正方体的棱切球O的半径,则球O的表面积为,故A正确;
对于B．若球体､正方体的体积分别为,．
球O在正方体外部的体积,故B正确;
对于C,球O的半径,设圆柱的高为h,
则底面圆半径,
所以,
当时取得最大值,且最大值为,所以C项错误;
对于D,取AB中点E,可知E在球面上,可得,
所以,
点M在球O上且在正方体外部（含正方体表面）运动,
所以（当ME直径时,）,
所以．故D正确．
故选ABD．
13．答案：0（或,答案不唯一）
解析：由已知圆：的圆心为,半径,
又直线：与圆：相切,
所以圆心到直线的距离,
解得或,
故答案为：0（或,答案不唯一）.
14．答案：
解析：记事件A为第1次摸到白球,事件B为第2次摸到黑球,
则,
所以.
故答案为：.
15．答案：-7
解析：因为是奇函数,且是偶函数,
所以,
所以,即,
故是4为周期的周期函数,且有,
则.
故答案为：-7.
16．答案：
解析：因为倾斜角为的直线与双曲线C在第一象限交于点P,
可知直线的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角,
即,
设,则,根据可知,
在中,由余弦定理可知,
即,
则,
故
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以,
即,所以,
因为,所以,所以,
又,所以.
（2）因为,所以.
因为,
所以.
18．答案：（1）
（2）.
解析：（1）设等差数列的公差为d,又,,
所以,解得,,
所以的通项公式.
（2）由（1）知,
所以
.
19．答案：（1）,140.5分
（2）可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
解析：（1）,
,又的方差为,
所以,
,故,当时,,
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．
（2）零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．
根据数据,计算得到：
,
因为,
所以依据独立性检验,可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为AB是圆的直径,所以,
因为PC垂直于圆所在的平面,平面ABC,所以,
又因为,平面PAC,平面PAC,
所以平面PAC,因为D,E分别是棱PB,PC的中点,
所以,从而有平面PAC;
（2）由（1）可知,平面PAC,AE,平面PAC,
所以,,平面DAE,平面DEC,
所以为二面角的平面角,
从而有,则,
又,得,
以C为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,,
,,,,,
所以,,,
设是平面ACD的一个法向量,
则,即,可取,
设AE与平面ACD所成角为
故,
所以AE与平面ACD所成角的正弦值为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意可得,
解得,
所以M的方程为.
（2）联立,消去y得,
则,.
因为经过定点,且点在M的内部,所以恒成立.
由,
解得.
所以,
所以.
22．答案：（1）见解析;
（2）见解析
解析：（1）由题意知：定义域为：且
令,
,
上单调递减,在上单调递减
在上单调递减
又,
,使得
当时,;时,
即在上单调递增;在上单调递减
则为唯一的极大值点
即：在区间上存在唯一的极大值点.
（2）由（1）知：,
①当时,由（1）可知在上单调递增
,在上单调递减
又
为在上的唯一零点
②当时,在上单调递增,在上单调递减
又,
在上单调递增,此时,不存在零点
又
,使得
在上单调递增,在上单调递减
又,
在上恒成立,此时不存在零点
③当时,单调递减,单调递减
在上单调递减
又,
即,又在上单调递减
在上存在唯一零点
④当时,,
即在上不存在零点
综上所述：有且仅有2个零点.
编号
1
2
3
4
5
学习时间x
30
40
50
60
70
数学成绩y
65
78
85
99
108
没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末不在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828