山东省泰安第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省泰安第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．准线方程为的抛物线的标准方程是( )
A.B.C.D.
2．直线和直线垂直,则( )
A.1B.C.1或D.1或
3．已知在等比数列中,,则的值是( )
A.4B.-4C.D.16
4．如图,在三棱台中,且,设,,,点D在棱上,满足,若,则( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
5．若数列满足,,则( )
A.511B.1023C.1025D.2047
6．已知圆,直线,圆上恰有3个点到直线l的距离等于1,则圆与圆的位置关系是( )
A.内切B.相交C.外切D.相离
7．已知圆上有一动点P,双曲线的左焦点为F,且双曲线的右支上有一动点Q,则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．数列满足,前12项和为158,则的值为( )
A.4B.5C.6D.7
二、多项选择题
9．已知,,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
10．已知直线,圆,点P为圆C上的任意一点,下列说法正确的是( )
A.直线l恒过定点
B.直线l与圆C恒有两个公共点
C.直线l被圆C截得最短弦长为
D.当时,点P到直线l距离最大值是
11．设等差数列的前n项和为，，且，则( )
A.是等比数列B.是递增的等差数列
C.当时，n的最大值为28D.，，
12．已知抛物线的焦点为F,准线l与x轴交于点M,过M的直线l与抛物线C相交于,两点,点D是点A关于x轴的对称点,则下列说法正确的是( )
A.B.的最小值为10
C.B,F,D三点共线D.
三、填空题
13．已知三个顶点是,,,则边AB上的高所在直线的方程为________.
14．已知正方体的所有棱长均为1,E为线段BC的中点,则A到平面的距离为__________.
15．已知数列满足,,则的通项公式__________.
16．设,是椭圆的左､右焦点,点P,Q为椭圆C上的两点,且满足,,则椭圆C的离心率为__________.
四、解答题
17．已知等差数列的前n项和为,数列为等比数列,,,.
（1）求,的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
18．如图,在长方体中,,,点E,F分别为棱AB,的中点,
（1）求证：平面BCF;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知动点P与两个定点,的距离的比是2.
（1）求动点P的轨迹C的方程;
（2）直线l过点,且被曲线C截得的弦长为,求直线l的方程.
20．已知数列的前n项和为,且,．
（1）求数列的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和．
21．如图,在三棱锥中,,,O为AC的中点．
（1）证明：平面ABC;
（2）若点E在线段BC上（异于点B,C）,平面PAE与平面PAC的夹角为,求的值．
22．已知双曲线C的中心为坐标原点,上顶点为,离心率为.
（1）求双曲线C的渐近线方程;
（2）记双曲线C的上､下顶点为,,P为直线上一点,直线与双曲线C交于另一点M,直线与双曲线C交于另一点N,求证：直线MN过定点,并求出定点坐标.
参考答案
1．答案：D
解析：,又抛物线开口向下,所以抛物线的方程为,
D正确.
2．答案：C
解析：或,
C正确.
3．答案：C
解析：,,
C正确.
4．答案：A
解析：
,
又,,,,A正确.
5．答案：B
解析：因为,即,
所以.
故选：B.
6．答案：B
解析：圆上3个点到直线的距离是1,则圆心到直线的距离应是,,则,
圆的圆心为,半径是2,圆的圆心为,半径是1,则,所以两圆的位置关系是相交.B正确.
7．答案：D
解析：圆心,取双曲线的左焦点,
,,则
的最小值为,
D正确.
8．答案：B
解析：
9．答案：ACD
解析：,选项A正确,,选项B错误;
,选项C正确;
,,选项D正确,
正确答案是：ACD.
10．答案：ABD
解析：直线,所以恒过定点.选项A正确;
因为定点在圆C内,所以直线l与圆C恒有两个公共点.选项B正确;
l被圆C截得的最短弦长,选项C错误;
当时,,点P到直线l的距离的最大值是,选项D正确.
正确答案是：ABD.
11．答案：AD
解析：设等差数列的公差为d，因为，所以，又，所以，.
对于A选项，，所以是以为首项，为公比的等比数列，故A正确.
对于B选项，易知，则，所以是以为首项，为公差的等差数列，又，故是递减的等差数列，故B错误.
对于C选项，因为，所以；因为，所以，故当时，n的最大值为29，故C错误.
对于D选项，因为，，，，由基本不等式知，当且仅当时取等号，所以，故D正确.故选AD.
12．答案：CD
解析：设直线,联立方程组
,,则,
选项A不正确;
,所以
当且仅当时等号成立,所以的最小值为9,选项B不正确;
,设,联立方程组,,
则,所以,
即直线BD过点F,选项B正确;
对于D选项,,,
,选项D正确.
正确答案是：CD.
13．答案：
解析：,,
则
故边AB上的高所在直线的斜率为2 ,所求直线过点,
故边AB上的高所在直线的方程为
即
故答案为：.
14．答案：
解析：如图建立空间直角坐标系,
则,,,,
则,,,
设面的法向量为,
取得
则A到平面的距离为.
故答案为：.
15．答案：,
解析：
16．答案：
解析：如图,
过作,连接,因为,
所以,设,则
,,,,
在中,,
即,化简得,,,
所以,所以离心率.
17．答案：（1）;
（2）
解析：
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,所在直线为z轴建立空间直角坐标系,
,,,,,,,
所以,,平面BCF;
（2）,,设平面的法向量为,
则,所以取,
又,
.
直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设点,则,
化简得,所以动点P的轨迹C的方程为;
（2）由（1）可知点P的轨迹C是以为圆心,2为半径的圆,可计算得圆心到直线l的距离,
①当直线l的斜率不存在时,圆心到直线l的距离是3,不符合条件,
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,即,
所以,化简得,解得或,
所以直线l的方程是或.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
①当时,②,
②-①化简得：,
当时,,满足,
所以是以3为首项,3为公比的等比数列,
所以的通项公式.
（2）由（1）得 ,
所以,
得,
两式相减得：,
化简得：.
21．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:连接BO,
因为,,所以,
所以三角形ABC是等腰直角三角形,而O为斜边AC的中点,
所以,且,
因为,O是AC的中点,
所以,
所以在 中,,,,
所以,即,
又O是AC的中点,
则,又AC,面ABC,
所以平面ABC.
(2)由(1)可知,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,设,
所以,,
设平面PAE的法向量为,
则,
即,
令,则,,
即,
平面PAC的一个法向量为,
所以,
解得:或(舍去),
所以,又,
则,,
即,
所以.
22．答案：（1）
（2）定点
解析：（1）设双曲线方程为,由上顶点坐标可知,
则由可得,,
双曲线的渐近线方程为.
（2）由（1）可得,,设,,
设直线MN的方程为,
与联立可得,且,
则,,
,
设,,,
,,得
,,
化简得.
解得,所以直线MN过定点.