新疆乌鲁木齐市米东区四校联考2023届高三下学期3月月考数学（文）试卷(含答案)

这是一份新疆乌鲁木齐市米东区四校联考2023届高三下学期3月月考数学（文）试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,,则( )
A.B.C.D.
2．下列命题是真命题的有( )
A.有甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样调查,如果抽取的乙个体数为9,则样本容量为32
B.数据1,2,3,3,4,5的平均数､众数､中位数相同
C.若甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,则这两组数据中较稳定的是甲
D.一组数7,6,5,4,3,3,3,2,2,1的70%分位数为4
3．已知复数z满足(i为虚数单位),则( )
A.B.5C.D.2
4．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A.B.C.D.
5．将函数的图象向右平移φ个单位,得到的图象关于原点对称,则的最小正值为( )
A.B.C.D.
6．《易传·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图,洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一,六在后,二,七在前,三,八在左,四,九在右,五,十背中.如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阳数和阴数中各取一数,则其差的绝对值为3的概率为( )
A.B.C.D.
7．已知函数的图象可能为( )
A.B.
C.D.
8．若函数在上的最大值为,则实数m的值为( )
A.4B.3C.2D.1
9．在直三棱柱中,已知,.M是BC中点,则直线与平面ABC所成角的正切值为( )
A.B.2C.D.3
10．如图是底面半径为3的圆锥,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身恰好滚动了3周,则( )
A.圆锥的母线长为18
B.圆锥的表面积为
C.圆锥的侧面展开图扇形圆心角为
D.圆锥的体积为
11．已知焦点坐标为,,且过点的椭圆方程为( )
A.B.C.D.
12．下列大小关系正确的是( )
A.B.
C.D.
二、填空题
13．设,,,若,则实数的值等于__________.
14．设点M在直线上,与y轴相切,且经过点,则的半径为__________.
15．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若的面积为,则双曲线的离心率为______.
16．若,,则的最大值是______.
三、解答题
17．为加强素质教育,提升学生综合素养,立德中学为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课.为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关,调查了高一年级1500名学生的选择倾向,随机抽取了100人,统计选择两门课程人数如下表:
（1）补全列联表;
（2）依据小概率值的独立性检验,能否认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关?
参考附表:
参考公式:,其中.
18．已知正项数列的前n项和为,且和满足:.
（1）求的通项公式;
（2）设数列,求的前n项和.
19．如图所示,在长方体中,已知,,.
（1）求:凸多面体的体积;
（2）若M为线段的中点,求点M到平面的距离;
（3）若点E,F分别在棱,AB上滑动,且线段EF的长恒等于2,线段EF的中点为P
①试证:点P必落在过线段的中点M且平行于底面ABCD的平面上;
②试求点P的轨迹.
20．已知函数.
（1）若,求函数,的最小值;
（2）若在处的切线斜率与m无关,求a.
21．已知过点的直线与抛物线交于,两点,且,其中为坐标原点.
（1）求p的值;
（2）当最小时,求直线l的方程.
22．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于A,B两点,且,求AB所在的直线方程.
23．已知,,.
（1）若,求证:;
（2）若,求证:.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意得,,
故选:A.
2．答案：B
解析：对A:甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样,故乙占了,
样本容量为,故A不正确;
对B:数据1,2,3,3,4,5,的平均数为,
众数为3,中位数为,故B正确;
对C:乙组数的平均数为,
方差为.
,
乙组数据更稳定,故C错误;
对D:将这组数据从小到大排列:1,2,2,3,3,3,4,5,6,7;又,则这组数据的70%分位数是第七个数与第八个数的平均数,为4.5,故D错误.
故选:B.
3．答案：A
解析：由题意,
所以,
故选:A.
4．答案：A
解析：根据三视图,可知该图形是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的,
圆锥的底面半径为2,高为2,
圆柱的地面半径为1,高为4,
所以圆锥的体积为,
圆柱的体积为,
所以该几何体的体积是.
故选:A.
5．答案：A
解析：函数的图像向右平移个单位得到,
故,,解得:,,
当时,取得最小正值为,
故选:A.
6．答案：C
解析：因为阳数:1,3,5,7,9,阴数:2,4,6,8,10,所以从阳数和阴数中各取一数有:种,满足差的绝对值为3的有:,,,,,,共7种,则.
故选:C.
7．答案：A
解析：先利用判断出函数的奇偶性,再结合0右侧附近函数值的正负得到答案.
解析：因为,所以为偶函数,
又,所以A选项正确.
故选:A.
8．答案：C
解析：试题分析:,由得,或.又,,,,得.
9．答案：B
解析：因为平面ABC,所以为直线与平面ABC所成角.
在中,,,
.
故选B
10．答案：D
解析：设圆锥的母线长为l,以S为圆心,SA为半径的圆的面积为,
又圆锥的侧面积,
因为圆锥在平面内转到原位置时,圆锥本身滚动了3周,
所以,解得,
所以圆锥的母线长为9,故选项A错误;
圆锥的表面积,故选项B错误;
因为圆锥的底面周长为,
设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为,
则,解得,
所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120°,故选项C错误;
圆锥的高,
所以圆锥的体积为,故选项D正确.
故选:D.
11．答案：B
解析：由题意,椭圆焦点坐标为,,可得椭圆的焦点在y轴,且,
又由过点,则,所以,
所以椭圆的标准方程为.
故选B.
12．答案：A
解析：,正确,
故选A.
13．答案：
解析：由题意可得:,
结合向量垂直的充要条件可得:,
求解关于实数的方程可得:.
14．答案：1或5/5或1
解析：由点M在直线上,设.
又与y轴相切,且经过点,
半径,且.
解得或.则的半径为1或5.
故答案为:1或5
15．答案：2
解析：因为双曲线的两条渐近线为,抛物线的准线为,所以,,因为的面积为,
所以,,,
故答案为:2
16．答案：
解析：设,则,根据面积公式得,①
根据余弦定理得,,
将其代入①式得,
,
由三角形三边关系有,解得,
故当时,取得最大值
17．答案：（1）列联表见解析
（2）能
解析：（1）根据题意补全列联表,如下:
（2）零假设为:选择“书法”或“剪纸”与性别无关.
根据列联表中数据,得,
根据小概率的独立性检验,推断不成立,即有95%的把握认为选“书法”或“剪纸”与性别有关.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,解得:,
当且时,,
,
整理可得:,
,,,
数列以2为首项,4为公差的等差数列,
∴.
（2）由（1）知,,.
则,
.
19．答案：（1）10;
（2）
（3）①证明见解析;
②点P的轨迹为以点M为圆心,为半径的圆在长方体内部的部分.
解析：（1）因为多面体的体积是长方体的体积与三棱锥体积的差,
所以,
所以;
（2）因为点M到平面的距离即为点A到平面的距离,即为点A到直线BD的距离,
所以过A作交BD于N,则由三角形的等面积法得,所以,所以,
于是点M到平面的距离为;
（3）①因为点P到底面ABCD的距离为定值,所以点P必在过的中点M,
且平行于底面ABCD的平面上;
②连接EA,由于,,
所以点P的轨迹为以点M为圆心,为半径的圆在长方体内部的部分.
故得解.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,
在上单调递减,在上单调递增.
当时,最小值为
（2）
在处的切线斜率与m无关
在处的值与m无关;
令,
在单调递减,在单调递增
当时,(小于0趋于0),且,
当时,与m无关.
故.
21．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设直线l的方程为
,得
设,,所以,
因为,所以
又,所以,又因为,所以.
（2）根据抛物线定义,得,
所以,当且仅当时等号成立.
将代入,得(负值舍去).
将代入,得,即点
将点代入,得
所以直线l的方程为,即.
22．答案：或
解析：由题意得抛物线的焦点为.
当直线AB的斜率不存在时,由条件可得,不合题意;
所以直线AB的斜率存在,设其方程为.
由消去x整理得,
直线AB与抛物线交于两点,
.
设,,
则,
,
由条件得,
解得.满足.
直线AB的方程为或.
23．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）,当且仅当时等号成立,
所以成立;
（2）
又,,,,,,
所以,
则,当且仅当,即,,时等号成立,
,即得证.
选书法
选剪纸
共计
男生
40
50
女生
共计
30
0.100
0.050
0.025
2.706
3.841
5.024
选书法
选剪纸
共计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
共计
70
30
100