河南省漯河市召陵区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份河南省漯河市召陵区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件为必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面向下B．在一个装有10只红球的袋子中摸出一个白球
C．任意画一个三角形，它的内角和为D．如果，那么
3．在中，，，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
5．如图，在中，，，若将绕点逆时针旋转后得到，连接和，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，与位似，点是位似中心，且，若，则（ ）

A．2B．3C．4D．5
7．受油价上涨等因素刺激，传统燃油汽车市场进入“寒冬”期，但新能源汽车迎来了销量春天．据统计，2020年我国新能源汽车累计销量为150万辆，销量逐年增加，预计到2022年销量达到486万辆．若2020年到2022年的年平均增长率为x，则x的值为（ ）
A．80%B．120%C．112%D．150%
8．已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．无法计算
10．如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交反比例函数，的图象于点A，B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（ ）
A．4B．6C．9D．
二、填空题
11．反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是 ．
12．党的二十大报告中的“深入实施种业振兴行动”将为“中国种”的选育和发展打下一针强心剂．山西农业大学（省农科院）玉米研究所育种的“晋糯20号”已在全国26个省市推广种植，大获丰收．下面是科研小组在相同的实验条件下，对该粮食种子发芽率进行研究时所得到的部分数据：
依据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是 ．（结果精确到0.01）
13．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，已知的半径为2，则的内接正六边形的面积为 ．
14．如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线与相交于点，交的延长线于点，若，则的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．

三、解答题
16．解方程：
(1) ；
(2)．
17．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图：

(1)作出关于坐标原点O成中心对称的；
(2)作出以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到的
18．因国家对体育健康的重视程度不断提高，某校对九年级学生的喜好安排体育延时社团活动，分别有：足球、篮球、乒乓球、跑步、铅球、跳绳，每位学生只能选其中一项作为延时社团活动．为了了解学生对这几种运动具体的喜爱情况，该校的某位数学刘老师在自己所教的九年级七班进行了调查，被调查的学生必须从足球、篮球、乒乓球、跑步、铅球、跳绳中选择自己最喜爱的运动项目，根据调查结果绘制成如下图所示的不完整的统计图：
请根据图中信息解答下列问题：
(1)在这项调查中，共调查了___________名学生，________，_________．
(2)将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中跳绳所在扇形圆心角的度数；
(3)若从九年级七班喜欢足球和铅球的学生中选出两名学生，请用列表法或画树状图的方法求出选出的两名学生喜欢的运动项目相同的概率．
19．某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，，测得米，米，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为，即（此时点、、在同一直线上）．（参考数据：）
(1)求这个车库的斜坡的长；
(2)求斜坡改进后的起点与原起点的距离（结果精确到米）．
20．2023年12月17日进行的WTT女子总决赛女单决赛中，孙颖莎夺得女单冠军．某商家看准商机，进行乒乓球拍的销售，每副乒乓球拍进价40元．规定销售单价不低于44元，且不高于60元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300副，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10副．
(1)求当每副乒乓球拍的销售单价是多少元时，商家每天获利2640元；
(2)将乒乓球拍的销售单价定为多少元时，商家每天销售乒乓球拍获得的利润元最大？最大利润是多少元？
21．如图，以的边为直径作交边于点，恰有．
(1)求证：与相切；
(2)在上取点，使得．
①求证：；
②若，，求阴影部分的面积．
22．请用学过的方法研究一类新函数（k为常数，）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象；
（2）对于函数，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
（3）在坐标系中画出函数的图象，并结合图象，求当时，x的取值范围．
23．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB= °，AB= ．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．
种子数
30
75
130
210
480
856
1250
2300
发芽
28
72
125
200
457
814
1187
2185
参考答案：
1．C
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、是中心对称图形，此选项符合题意；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
故答案为：．
【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合．
2．C
【分析】本题考查了事件的分类：事件分为必然事件、随机事件与不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据三类事件的含义进行判断即可．
【详解】解：抛掷一枚硬币，正面向下，是随机事件；在一个装有10只红球的袋子中摸出一个白球，是不可能事件；任意画一个三角形，它的内角和为，是必然事件；如果，那么，是随机事件；
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，求特殊角三角函数值，根据正弦为的锐角是30度求出，再根据30度角的余弦值为即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
故选B．
4．D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的概念；由题意得，求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且；
故选：D．
5．B
【分析】由已知条件可求出的度数，根据旋转的性质可得为等边三角形，可求出、的度数以及得到，进而求出的度数，由角的和差关系可得的度数．
【详解】由旋转得：，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，依据性质求角度是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了位似的性质及相似三角形的性质；由与位似，且，可得相似比为；由此即可求得的长．
【详解】解：∵与位似，且，
∴，与的相似比为，
∴，
∴；
故选：C．
7．A
【分析】根据题意列出一元二次方程，然后求解即可．
【详解】解：2020年到2022年的年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：x=0.8或x=-2.8（舍去）
∴平均增长率为80%，
故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键．
8．D
【分析】图象开口向下，得a<0， 对称轴为直线，得b=2a，则b<0，图象经过，根据对称性可知，图象经过点，故c>0，当x=1时，a+b+c=0，将b=2a代入，可知3a+c=0．
【详解】解：∵图象开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为直线，
∴b=2a，
∴b<0，故A不符合题意；
根据对称性可知，图象经过，
∴图象经过点，
当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意；
∴c=-a-b，
∴c>0，故B不符合题意；
将b=2a代入，可知3a+c=0，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的图象特征是解决问题的关键．
9．B
【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，对称的性质；作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，当点P与D重合时，最小，利用勾股定理即可求得最小值．
【详解】解：如图，作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，
则，；
∵点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，
∴，，
∴；
∵，
∴当点P与D重合时，最小，最小值为线段的长；
在中，，
由勾股定理得：，
即的最小值为；
故选：B．
10．A
【分析】根据题意，设点，则，从而得出点C到直线的距离为a，，最后根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图：设点，
∵直线轴，
∴点B的横坐标为a，则，
∴点C到直线的距离为a，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象k的几何意义，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数k的几何意义．
11．
【分析】根据反比例函数的图象在第一、三象限可知，即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查反比例函数的图象，解题的关键是理解时反比例函数图象在一、三象限；时反比例函数图象在二、四象限．
12．
【分析】利用频率估计概率求解即可．
【详解】解：由题意知，
估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．6
【分析】连接、，根据正多边形和圆的关系可判断出为等边三角形，过点作于点，再利用勾股定理即可求出长，进而可求出的面积，最后利用的面积约为即可计算出结果．
【详解】解：如图，连接、，
由题意可得：，
，
为等边三角形，
，
过点作于点，则，
在中，，
，
的面积约为．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查正多边形与圆、勾股定理等，正确应用正六边形的性质是解题关键．
14．3
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，设，则，，根据平行四边形的性质可得，，，根据平行线分线段成比例即可解决问题．
【详解】解：设，
由，则，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
15．
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．
∴，
当抛物线经过点时，则，
当抛物线经过时，，
观察图象可知，抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是，
故答案为：．
16．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用配方法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是学会根据方程的特征确定解方程的方法，属于中考常考题型．
【详解】（1）
∴，；
（2）
∴或
∴，．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据中心对称的性质，作出的对称点，依次连接即可．
（2）根据旋转性质确定旋转后的点位置，依次连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
．
（2）解：如图，即为所求．
．
【点睛】本题主要考查了旋转变换图形的方法，图形的中心对称问题，考查了利用直角坐标系解决问题的能力．
18．(1)60，35，10
(2)统计图见解析，
(3)
【分析】（1）用喜欢篮球的人数除以其人数占比即可求出总人数，再求出a的值，进而求出喜欢乒乓球的人数，从而求出喜欢跳绳的人数，最后用喜欢跳绳的人数除以总人数即可求出b；
（2）根据（1）所求补全统计图即可；用360度乘以跳绳的人数占比即可得到答案；
（3）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：名，
∴在这项调查中，共调查了60名学生；
∵，
∴，
∴最喜爱乒乓球的人数为名，
∴最喜爱跳绳的人数为名，
∴，
∴，
故答案为：60，35，10；
（2）解：补全统计图如下所示：
扇形统计图中跳绳所在扇形圆心角的度数为
（3）解：喜欢足球的用A、B、C表示，喜欢铅球的用D、E、F，列表如下：
由表格可知一共有30种等可能性的结果数，其中两名学生喜欢的运动项目相同的结果数有12种，
∴两名学生喜欢的运动项目相同的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．
19．(1)米
(2)米
【分析】（1）在中，勾股定理即可求解；
（2）在中，根据，求得，进而根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴（米）
答：这个车库的斜坡的长米；
（2）解：在中，，
∴（米）
∴（米）
斜坡改进后的起点与原起点的距离约为米．
【点睛】本题考查了直角三角形的应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．
20．(1)52元
(2)当每销售单价定为57元时,利润最大，最大利润是2890元
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用与二次函数的实际应用，根据题意正确列出一元二次方程与二次函数是关键．
（1）设每副乒乓球拍的销售单价上涨元，根据一副乒乓球拍的利润与每天的销售数量之积等于每天利润，列出方程即可求解；
（2）根据利润等于一副乒乓球拍的利润与每天的销售数量之积列出函数式，求出最大值及每副乒乓球拍的售价．
【详解】（1）解：设每副乒乓球拍的销售单价上涨元，根据题意，得
，
解得．
销售单价不高于60元，
而时，（元），不合题意，
．
答：当每副乒乓球拍的销售单价是52元时，商家每天获利2640元；
（2）解：根据题意，得
．
，二次函数图像开口向下，对称轴为直线，
当时，最大，最大值为2890．
,
当每副乒乓球拍的销售单价定为57元时，商家每天销售乒乓球拍获得的利润最大，最大利润是2890元．
21．(1)见解析；
(2)①见解析；②．
【分析】（1）根据圆周角定理得到，得到，根据切线的判定定理证明；
（2）①根据圆周角定理得到，进而得到，证明；
②连接，证明为等边三角形，求出，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴与相切；
（2）①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②解：如图，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理、扇形面积计算、垂径定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）①时，当，y随x增大而增大，时，y随x增大而减小．②时，当，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大；（3）图象见解析，或
【分析】（1）利用描点法可以画出图象．
（2）分和两种情形讨论增减性即可；
（3）画出函数的图象，根据图象即可求得．
【详解】（1）函数的图象，如图所示，
（2）①时，当，y随x增大而增大，时，y随x增大而减小．
②时，当，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大；
（3）由图象可知，当时，x的取值范围是或．
【点评】本题考查反比例函数图象、正比例函数的图象，反比例函数的性质，解题的关键是掌握描点法画函数图象，学会利用函数图象说明函数增减性．
23．（1）75；4；（2）CD=4．
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．
【详解】解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴．
又∵AO=3，
∴OD=AO=，
∴AD=AO+OD=4．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=4．
故答案为75，4
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴．
∵BO：OD=1：3，
∴．
∵AO=3，
∴EO=，
∴AE=4．
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2，
解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，
解得：CD=4．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．
A
B
C
D
E
F
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
（F，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
（E，B）
（F，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
（E，C）
（F，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（E，D）
（F、D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）
（F、E）
F
（A，F）
（B，F）
（C，F）
（D，F）
（E，F）