湖北省武汉市汉阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份湖北省武汉市汉阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列词语所描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．拔苗助长B．刻舟求剑C．守株待兔D．竹篮打水
2．已知点与点关于原点对称，则的值是（ ）
A．2B．C．D．4
3．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，将绕点逆时针旋转到位置（其中点和点，点和点分别对应）．若，则的大小（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，圆心在上，与相切，为切点．则的（ ）．
A．B．C．D．
6．将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（ ）
A．B．
C．D．
7．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“关联数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“关联数”的概率（ ）
A．B．C．D．
8．若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则两根之积是（ ）
A．B．5C．或5D．2或
9．如图，圆中互相垂直的弦，与圆心的距离分别为，，这时圆内被分为①②③④四个部分．如果用，，，分别表示这四个部分的面积，则可表示（ ）
A．B．C．D．0
10．边长为2的正方形的顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．抛物线的顶点坐标为 ．
12．小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外和各区域边缘）：
依此估计空白部分的面积可能是 ．
13．读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为 ．
14．如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径为 ．
15．二次函数（，是常数，的图象过点．现有以下结论：
①；
②若，则随的增大而增大；
③若该抛物线过点，在抛物线上，则在时，；
④若该抛物线与直线没有交点，则；
其中，正确的结论是 ．
16．古代数学家阿基米德曾经提出一个定理：一个圆中一条由两条长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图（1），弦，是的一条折弦，点是的中点，过点作于，则．根据这个定理解决问题：
如图（2），边长为的等边内接于，点为优弧上的一点．，则的周长是 ．
三、解答题
17．已知是一元二次方程的一个根，求的值及方程另一个根．
18．如图，分别以的边，为边向形外作等边三角形和等边三角形，连，．求证：．
19．在不透明的袋子里装有2个红球、1个蓝球（除颜色外其余都相同）．
（1）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到一红一蓝的概率．
（2）若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为，求后来放入袋中的蓝球个数．
20．如图，是圆的内接三角形，点在弦上，平分，．
(1)求证：平分；
(2)若为直径，且，，求的长．
21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．，两点为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

(1)如图（1），点是格点，先画的角平分线，再在劣弧上画点，使；
(2)如图（2），所对的圆心角是，先画等边三角形，再过点画此圆的切线．
22．如图，某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高出湖面的喷头中向同一侧喷出，每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物线．若记水柱上某一位置与喷头的水平距离为，喷出水流与湖面的垂直高度为．
下表中记录了一个喷头喷出水柱时与的几组数据：
(1)如图，以喷泉与湖面的交点为原点，建立如图平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
(2)现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇，顶棚每一处离湖面的距离为．顶棚刚好接触到水柱，求该皮划艇顶棚的宽度．
(3)现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游客被喷泉淋湿，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于，已知游船顶棚宽度为，顶棚到湖面的高度为，那么公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动多少才能符合要求？（直接写出结果）
23．在中，，以斜边为边向形外作等边三角形．
(1)将线段绕点逆时针旋转，画出对应线段，并连．
(2)在（1）的条件下，
①求的大小；
②若，直接写出的最大值．
投石子的总次数
50次
150次
300次
600次
石子落在空白区域内的次数
14次
85次
199次
400次
石子落在空白区域内的频率
0
1
2
3
4.5
1
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查随机事件的概念，它与必然事件，不可能事件相对．
解题的关键是熟练掌握各个概念“随机事件是可能发生也可能不发生的事件；必然事件就是一定发生的事件；不可能事件就是一定不发生的事件”；据此解答即可．
【详解】解：A，B，D都是不可能事件．
所以是随机事件的是守株待兔．
故选：C．
2．A
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的对应横纵坐标符号相反可得．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是掌握坐标的变化规律．
3．C
【分析】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】解：
故选：C．
4．B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，旋转的性质，等边对等角，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再由旋转的性质可得，进而根据等边对等角和三角形内角和定理得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键．
如图：连接，由圆周角定理可得，再根据切线的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答．
【详解】解：如图：连接，则，
∴，
∴，
∵与相切，为切点，
∴,
∴．
故选C．
6．A
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【详解】解：将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是，即．
故选：A．
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
7．B
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件A或的结果数目，然后根据概率公式计算事件A或事件的概率．
先画树状图得出所有等可能结果数，从中找到“关联数”的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图，
由图可知，所有可能组成的数有123、132、213、231、312、321，共有6种，其中恰好是“关联数”的有123、321，共 2种，
所以恰好是“关联数”的概率为，
故选：B．
8．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．设方程的两根分别为，利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再由两根互为相反数，可得，即可求解．
【详解】解：设方程的两根分别为，
∴，
∵一元二次方程的两根互为相反数，
∴，
解得：，
当时，原方程为，
此时方程无解，故不符合题意，舍去；
当时，原方程为，
此时，
即两根之积是．
故选：A
9．A
【分析】本题考查了圆的性质，矩形的性质；将，平移至，设交点分别为，则四边形是矩形，依题意，，根据中心对称的性质得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，将，平移至，设交点分别为，则四边形是矩形，依题意，，
根据中心对称的性质可得，如图所示，
∴
故选：A．
10．D
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是利用正方形的性质及直角三角形的性质求出点B的坐标．
过点B向x轴引垂线，交点为点E，连接，可得的长度，再求出的长度，进而得到点B的坐标，代入二次函数解析式即可求解．
【详解】解：如图，作轴于点E，连接，
正方形绕顶点顺时针旋转，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
把点B抛物线得：，
解得：，
故选：D．
11．
【分析】本题主要考查了求二次函数图象的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式的性质是解题关键．
根据二次函数的解析式的顶点式的性质即可解答．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为：．
故答案为：．
12．4
【分析】本题主要是利用频率估计概率、概率的应用等知识点，掌握当实验次数越多时，某事件的频率越接近于该事件的概率是解题的关键．
根据投在空白区域内的频率得到概率的大小，由此计算空白区域的面积即可．
【详解】解：由表格可知：
当投石子的次数越来越多时，石子落在空白区域的频率越接近，即空白区域的面积占总面积的，
∴空白部分的面积=．
故选答案为4．
13．
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找等量关系，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
先分别表示出第二个月和第三个月的进书院人次，再根据第一个月的进书院人次加第二和第三个月的进书院人次等于2850，列方程即可．
【详解】解：设进书院人次的月平均增长率为，则第二个月进书院人次为，三个月的进书院人次为，由题意得：
．
故答案为：．
14．
【分析】由∠A=得到BC是圆的直径，根据求出AB，设圆锥的底面圆的半径为Rm，利用弧长公式等于底面圆的周长求出R．
【详解】解：∵∠A=
∴BC是圆的直径，
∴BC=1m，
∵AB=AC，
∴m，
设圆锥的底面圆的半径为Rm，
∴,
解得R=m，
故答案为：．
【点睛】此题考查了弧长公式，圆周角定理，勾股定理，由圆周角定理及勾股定理求出AB的长是解题的关键．
15．①②③④
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．先求出，可得，故①正确；再求出抛物线的对称轴为直线，可得若，则随的增大而增大，故②正确；求出抛物线的解析式为，可得当时，函数有最小值，最小值为，从而得到时，，故③正确；，由该抛物线与直线没有交点，可得，从而得到，故④正确．
【详解】解：∵二次函数的图象过点．
∴，即，
∵，
∴，
∴，故①正确；
根据题意得：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴若，则随的增大而增大，故②正确；
∵该抛物线过点，在抛物线上，
∴，
∵，
∴，
∴抛物线的解析式为，
当时，函数有最小值，最小值为，
∴时，，故③正确；
联立得∶，即，
整理得：，
∵该抛物线与直线没有交点，
∴，
解得：，故④正确；
故答案为：①②③④．
16．
【分析】过点Q作于T，在上截取，连接，，先求出，得到等腰直角，利用勾股定理求得，再证明，得，从而利用等腰三角形三线合一性质得出，即可得出，则，即可由三角形周长公式求解．
【详解】解：如图，过点Q作于T，在上截取，连接，，
∵等边
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴，
由题意可得：，，
在和中，
，
，
，
，
，
∴
∴
∴的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
17．的值是，另一个根是
【分析】本题考查了根与系数的关系，将一根代入原方程，转化为关于m的方程，解出m的值,再根据根与系数的关系求出另一根．由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值，然后根据根与系数的关系可以求出方程的另一根．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，
∴，
设另一个根为，则，
∴，
∴的值是，另一个根是．
18．见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定等知识点，掌握“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是解题的关键．
由等边三角形的性质可得，进而得到，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴．
19．（1） ；（2）9个
【分析】（1）根据题意画出树状图后，数出可能的结果总数及两次摸到不同颜色球的结果数，再根据概率的意义可得解；
（2）设放入x个蓝球，再根据概率的意义得到方程，解方程后可以得解．
【详解】解：(1)如图所示，
共有6种可能结果，每种结果发生的可能性相等；
其中两次摸到不同颜色球包含其中4种结果，
所以两次摸到不同颜色球的概率为；
(2)设放入x个蓝球，
由题意，得： ，
解得： x=9，
经检验， x=9 是原方程的解，
所以，放入袋中的蓝球为9个．
【点睛】本题考查概率的应用，熟练掌握概率的意义、树状图求概率的方法及方程思想方法的应用是解题关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分内线的定义，可得，再由，可得，然后根据三角形外角的性质可得，再根据圆周角定理可得，即可求证；
（2）分别过点A，D作，垂足分别为F，G，设交于点P，为直径，可得，根据勾股定理可得，再由可得，，，然后根据，可得，，从而得到，然后根据，可得，再由勾股定理可得，，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即平分；
（2）解：如图，分别过点A，D作，垂足分别为F，G，设交于点P，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了圆周角定理，格点作图，网格的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
（1）首先找到的中点G，然后连接交于点D，即为的角平分线；根据网格的特点作交圆于点E即可为所求；
（2）首先根据网格的特点作出的垂直平分线交圆于点F，连接，即可画出等边三角形；延长，交于点E，延长，交于点H，连接，交延长线于点G，作直线即为所求．
【详解】（1）解：如图，角平分线，点E即为所求；

∵点G是的中点
∴
∴
∴是的角平分线；
∵
∴
∴
∴；
（2）如图所示，等边，切线即为所求；

∵所对的圆心角是，
∴所对的圆周角是，即
∵垂直平分线
∴
∴是等边三角形；
∴
∵垂直平分线
∴是圆的直径
∴
∵四边形是圆内接四边形
∴
∴
∴
∴
∴点A是的中点
同理可证，点B是的中点
∴
∵是等边三角形
∴是等边三角形；
∵垂直平分线
∴垂直平分线
∴点G是的中点
∵点B是的中点
∴
∵是等边三角形
∴经过点B的直径垂直
∴经过点B的直径垂直
∵点B在圆上
∴是圆的切线．
22．(1)
(2)
(3)公园应将水管高度至少向上调节米才能符合要求．
【分析】本题主要考查了运用待定函数求函数解析式、二次函数图像的平移、二次函数的应用等知识点，将实际问题转化成二次函数问题是解题的关键．
（1）在表格中取三组数据，然后运用待定系数法解答即可；
（2）令，求得对应x的值，然后确定两个x之间的距离即可解答；
（3）设出二次函数图像平移后的解析式，根据题意列出不等式求解即．
【详解】（1）解：由表格可知：函数图像经过点，
设函数解析式为：，
则有：，解得：，
所以函数解析式为：．
（2）解：令，则有，解得：，
所以该皮划艇顶棚的宽度为．
（3）解：设公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动才能符合要求，则调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于，
∴，解得：，
∴水管高度至少向上调节米，
∴公园应将水管高度至少向上调节米才能符合要求．
23．(1)作图见解析
(2)①，②3
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；
（1）根据题意作图即可；
（2）①先利用证明，则有，由，即，再根据周角为，即可求解；
②根据，要使有最大值，则A、B、E三点共线，则可求出，进而可求得，根据全等三角形的性质则有，即可解答．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：①，
，
在和中，
，
，
又，
，
，
，
；
②，
要使有最大值，则A、B、E三点共线，
，
，
在，，
，
，
．