湖南省长沙市长郡教育集团联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份湖南省长沙市长郡教育集团联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
2．2024的相反数是（ ）
A．B．C．2024D．
3．元旦假期哈尔滨旅游总收入达59.14亿元，南泥北搓成了新时尚．将数据59.14亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为1，1，4，5，1，4，有关这一组数，下列说法错误的是（ ）
A．中位数为4.5B．平均数为C．众数是1D．极差是4
6．下列命题正确的是（ ）
A．方程没有实数根
B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．“对角线互相平分”是矩形、菱形、正方形都具有的性质
7．如图，和内接于，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到．若点恰好在线段BC的延长线上，且，则旋转角的度数为（ ）
A．60°B．70°C．100°D．110°
10．如图，抛物线与轴交于、两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内一动点，且满足，是线段的中点，连结．则线段的最大值是（ ）．
A．3B．C．D．5
二、填空题
11．因式分解： .
12．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
13．把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若，则 ．
14．一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ．
15．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
16．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组:
19．七中育才中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走7米到处再测得点的仰角为，已知、、在同一条直线上．
(1)求的度数；
(2)求新教学楼的高度．(参考数据：，，，结果精确到m)．
20．打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．

根据图中信息，请回答下列问题；
(1)条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度；
(2)若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
(3)甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
21．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，OC交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝，求图中阴影部分的面积．
22．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?
23．如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G．
(1)求的值．
(2)若，
①求证：．
②求证：．
24．我们不妨约定，如果点满足，那么称这个点为“郡系点”． 如果一个函数的图象经过一个“郡系点”，那么称这个函数为“郡系函数”．
(1)对下面的结论进行判断，请在正确结论的后面的括号中打“√”，错误结论后面的括号中打“×”．
①点为“郡系点”（ ）；
②已知（m为常数，且），它的图象经过的“郡系点”的坐标为，则（ ），（ ）
(2)已知点和，那么线段上是否存在“郡系点”？如果存在，请表示出来；如果不存在，请说明理由．
(3)已知关于x的二次函数（a，b均为正整数）为“郡系函数”，其图象满足下面两个条件：（I）图象经过四个象限；（Ⅱ）M，N是图象上的两个“郡系点”，且，试求该二次函数的解析式和它的“郡系点”M，N的坐标．
25．已知抛物线过点和点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点在线段上（与点不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标；
(3)如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点不重合），使得，求的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题．
【详解】解：由题意得：A、B、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有C选项；
故选C．
【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查相反数，掌握只有符号不同的两个数叫互为相反数，特别地，0的相反数是0是解题的关键．根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：2024的相反数是，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：59.14亿，
故选：B．
4．A
【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂除法，完全平方公式逐一进行计算，即可得到答案．
【详解】解：A、，故此选项算正确，符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算错误，不符合题意，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂除法，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
5．A
【分析】根据中位数定义，将这一组数重新排序后得到1，1，1，4，4，5，则中位数应该为2.5，而不是4.5，故A错误；根据平均数定义，平均数为，故B正确；根据众数定义及极差定义得到众数为1，极差为，故C，D均正确．
【详解】解：将这一组数按照由小到大重新排序1，1，1，4，4，5，
中位数应该，故A错误；平均数为，故B正确；
众数为1，极差为，故C，D均正确，
故选：A．
【点睛】本题考查统计量定义及求法，涉及中位数、平均数、众数、极差的定义及求法，熟记相关统计量的定义及求法是解决问题的关键．
6．D
【分析】根据一元二次方程根的判别式可以判断A；根据全等三角形的判定方法可以判断B；根据垂径定理的逆定理即可判断C；根据矩形、菱形、正方形的性质可判定D．
【详解】解：A．∵，
∴方程有两个不相等的实数根，故A错误；
B．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故B错误；
C．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故C错误；
D．“对角线互相平分”是矩形、菱形、正方形都具有的性质，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、垂径定理的逆定理、三角形全等的判定、矩形、菱形、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质和判定．
7．C
【分析】根据圆周角定理得，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8．C
【分析】根据一次函数和反比例函数的图像与系数的关系，即可判断各选项是否正确．
【详解】解：∵与y轴的交点为（0，1）
∴可排除B、D选项；
当时，的图像y随x的增大而增大，不经过第四象限，在第一、三象限；C符合；
当时，的图像y随x的增大而减小，不经过第三象限，的图像在第二、四象限，无选项符合；
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，分类讨论是本题的解题关键．
9．C
【分析】旋转得全等，即角等和边等，得出等腰三角形，直接代值求解即可．
【详解】绕点按逆时针方向旋转，得到
，，
，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，以及等腰三角形的性质和判定，解题关键是推出等腰三角形．
10．C
【分析】解方程x2−8x＋15＝0得A（3，0），利用抛物线的性质得到C点为AB的中点，再根据圆周角定理得到点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（−4，0），接着计算出AQ＝5，⊙Q的半径为2，延长AQ交⊙Q于F，此时AF的最大值为7，连接AP，利用三角形的中位线性质得到CM＝AP，从而得到CM的最大值．
【详解】解方程x2−8x＋15＝0得x1＝3，x2＝5，则A（3，0），
∵抛物线的对称轴与x轴交于点C，
∴C点为AB的中点，
∵∠DPE＝90°，
∴点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（−4，0），
AQ＝＝5，⊙Q的半径为2，
延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为2＋5＝7，
连接AP，
∵M是线段PB的中点，
∴CM为△ABP为中位线，
∴CM＝AP，
∴CM的最大值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和圆周角定理．
11．
【分析】利用提取公因式法，分解因式，即可.
【详解】
【点睛】本题主要考查提取公因式法因式分解，准确找到各项的公因式，是解题的关键；注意，因式分解时，要分解到不能分解为止.
12．且/且
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴且；
∴x的取值范围是且；
故答案为：且．
【点睛】本题考查代数式有意义．熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，是解题的关键．
13．/度
【分析】先根据平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，由此利用平角的定义求出的度数即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，正确求出的度数是解题的关键．
14．10
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，
，
解得．
所以这个多边形的边数是10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
15．
【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案．
【详解】解：设红球有个，
则，
答：红球的个数约为个．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数．
16．6
【分析】先根据根与系数关系得出，再把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【详解】解：是一元二次方程的实数根，
，
．
，是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
17．
【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了绝对值的意义、负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数值、二次根式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
18．.
【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解．
【详解】
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞-4，
所以不等式组的解集为：-4＜x＜1．
【点睛】此题考查解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19．(1)；
(2)23.3米．
【分析】（1）根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义列出方程，解方程求出．
【详解】（1）是的外角，
；
（2）在中，，
则，
米，
米，
在中，，
，
，
解得：，
答：新教学楼的高度约为23.3米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．(1)18，6，
(2)480人
(3)
【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数减去A，B，C ，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角；
（2）利用样本估计总体思想求解；
（3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算．
【详解】（1）解：参与调查的总人数为：（人），
，
，
文学类书籍对应扇形圆心角，
故答案为：18，6，；
（2）解：（人），
因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人；
（3）解：画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种，
因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理．
21．（1）相切，理由见解析；（2）．
【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据圆的切线的判定定理即可得出结论；
（2）先根据直角三角形的性质、勾股定理可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后在中，利用勾股定理可得，最后根据阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积即可得．
【详解】解：（1）直线与的位置关系是相切，理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
又∵是的半径，
∴直线与的位置关系是相切；
（2）∵，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，即，
解得或（不符题意，舍去），
则图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、圆的切线的判定定理、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的切线的判定定理和扇形的面积公式是解题关键．
22．(1)A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
(2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【详解】（1）解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
23．(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理的和性质定理是解题的关键，
（1）根据平行四边形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到即可；
（2）①设，根据题意用表示出、，证明，根据相似三角形的对应角相等证明即可；
②证明，根据相似三角形的性质列式计算即可证明结论．
【详解】（1）因为在中，，，
又∵，
∴，
∴，
（2）①证明：∵，
可设，则，
由（1）知：，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
24．(1)①√；②×，√
(2)当时，线段上存在“郡系点”，坐标为；
点或时，线段上不存在“郡系点”
(3)二次函数的解析式为，坐标为、或、
【分析】（1）①根据“郡系点”定义即可判断点为“郡系点”；②点为“郡系点”可求得，结合点过即可求得；
（2）利用待定系数法求得线段的解析式为，假设线段上是否存在“郡系点”，联立方程可解得x与y，结合x的范围即可求得有“郡系点”c的范围和对应点坐标；
（3）根据题意解得a的值，则二次函数的解析式，设点和的坐标，根据“郡系点”可得，联立方程利用根与系数的关系有，结合距离公式即可求得b的值，即可求得函数解析式和点和的坐标．
【详解】（1）解：①∵根据“郡系点”定义知点满足，
∴点为“郡系点”；
②∵的图象经过的“郡系点”的坐标为，
∴，解得，
∴，解得；
故答案为：①√；②×，√．
（2）设线段的解析式为，将点和代入得，
，解得，
则线段的解析式为，
假设线段上是否存在“郡系点”，则，解得，
∵，
∴，解得，
那么当时，线段上存在“郡系点”；当或时，线段上不存在“郡系点”．
（3）∵图象经过四个象限，且a为正整数，
∴，解得，
∴，
则，
设点，，则，，
那么，，
由，解得，
则，
∵，
∴，
∴，
则，解得，
那么，二次函数的解析式，
由，解得或，
则“郡系点”M，N的坐标和，
综上所述，二次函数的解析式为，坐标为、或、．
【点睛】本题主要考查新定义下的有理数混合运算、图象上点的性质、待定系数法求解析式、解二元一次方程组、解一元一次不等式组、根与系数的关系、两点之间的距离和解一元二次方程，解题的关键是理解新定义和熟悉二次函数与一元二次方的相互转化．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线的解析式为，设，过点作交的延长线于点，则，则的坐标为，得出是等腰直角三角形，设，则，证明，相似三角形的性质得出，则，可得，当面积是面积的3倍时，即，即，在中，，解方程即可求解；
（3）根据三角形外角的性质，结合已知条件得出，证明，则，设交轴于点，过点作轴于点，求得直线的解析式为，联立，得出，勾股定理求得的长，根据相似三角形的性质得出关于的二次函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点和点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，则，
∵，
∴，，
∵点是的中点，则，
∴，
设直线的解析式为，
∵点和点，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
设，
如图所示，过点作交的延长线于点，则，则的坐标为，

∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴
即
∵
∴
即，
∴，
∴
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴的面积为，
∵的面积为
当面积是面积的3倍时
即
即
在中，
∴
∴
解得：或（舍去）
∴；
（3）∵，
又，
∴，
∴，
∴，
设交轴于点，过点作轴于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，
整理得：，
∵在线段上（与点不重合），
∴,
∴，
∴当时，取得的最大值为，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，面积问题，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．