吉林省辽源市龙山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份吉林省辽源市龙山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．－1C．1或－1D．0
2．有4条线段，分别为，，，，从中任取3条，能构成直角三角形的概率是（ ）．
A．B．C．D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28°B．30°C．36°D．56°
5．如图，将绕着点O顺时针旋转，得到（点C落在外），若，，则最小旋转角度是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
6．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．方程的解是 ．
8．如图，内接于，，，则 ．
9．若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
10．如图，二次函数的图象经过原点，那么a的值是 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABO边AB平行于y轴，反比例函数 的图像经过OA中点C和点B，且△OAB的面积为9，则k=
12．天水市某校从三名男生和两名女生中选出两名同学做为“伏羲文化节”的志愿者，则选出一男一女的概率为 ．
13．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，此时点C恰好在线段上，若，则的度数为 ．
14．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．

三、解答题
15．解方程：x（x﹣5）＝5﹣x ． 小滨的解答如下：
解：原方程可化简为x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），
方程两边同时除以x﹣5，得x＝﹣1，
小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．
16．已知关于的方程
（1）当m取何值时，方程有两个实数根；
（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．
17．一只不透明袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外都相同．小明搅匀后从中意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率．
18．方格纸中，若三角形的个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形．在如图的方格纸中，画出与成中心对称的格点三角形．
19．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．
(1)求这一函数的解析式；
(2)当气体体积为时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到）
20．如图，四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．求证：．

21．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F．
（1）若点B的坐标是（﹣4，0），请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标．
（2）当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．
22．如图所示，抛物线与直线y=﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，且抛物线的对称轴为直线x=4．
(1)求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标；
(2)试确定抛物线的解析式．
23．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
(1)求AB的长；
(2)若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
24．如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？
25．如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
26．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程解的定义得到，再解关于a的方程，然后根据一元二次方程定义确定a的值．
【详解】解：把代入一元二次方程得，
解得，
而，
的值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
2．C
【分析】列举出所有情况，让能构成直角三角形的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】解：4条线段的全部组合有，共四组．能构成直角三角形的组合只有一组，
（能构成直角三角形）．
故选：C．
【点睛】本题考查了用列举法求概率，解题关键是列出所有可能，能熟练运用概率公式求解．
3．A
【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．
【详解】解：∵为抛物线的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键．
4．A
【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小．
【详解】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠AOB＝86°−30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°．
故选A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．C
【分析】直接利用已知得出∠AOC的度数，再利用旋转的性质得出对应边之间夹角，得出答案即可．
【详解】∵∠AOB= 30°，∠BOC = 10°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COB = 30°+ 10°= 40°
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴最小旋转角为∠AOC = 40°．
故选： C．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，正确得出∠AOC的度数是解题关键．
6．C
【分析】利用三角形面积公式得出，进而得出答案．
【详解】解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，
∴，
∴y与x的函数关系式为：．
故选C．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
7．，
【分析】把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：，
∴，
解得：，；
故答案为：，
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．
8．
【分析】根据已知条件，利用三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，结合已知条件， 得出，得出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得是解题的关键．
9．6
【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．
【详解】∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．
10．
【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，抛物线经过原点，代入可求得，解得a的值，再根据图像开口向下，确定a的值，理解二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线经过原点，
∴，解得，
∵图像开口向下，，
∴，
故答案为．
11．6
【分析】延长AB交x轴于D，根据反比例函数（x＞0）的图象经过点B，设B，则OD＝m，根据△OAB的面积为9，列等式可表示AB的长，表示点A的坐标，根据线段中点坐标公式可得C的坐标，从而得出结论．
【详解】解：延长AB交x轴于D，如图所示：
∵轴，
∴AD⊥x轴，
∵反比例函数（x＞0）的图像经过OA中点C和点B，
∴设B，则OD＝m，
∵△OAB的面积为9，
∴，即AB•m＝9，
∴AB＝，
∴A（m，），
∵C是OA的中点，
∴C，
∴，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，线段的中点坐标公式，三角形面积公式，解本题的关键是设未知数建立方程解决问题．
12．
【详解】试题分析：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出一男一女的有12种情况，
∴选出一男一女的概率为：．
故答案为．
考点：列表法与树状图法求概率
13．
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质．由旋转的性质得出得出，，再根据，得出是等边三角形，得出，在中由三角形外角性质即可求出的度数．
【详解】由旋转的性质得，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
14．，
【分析】由图知，抛物线对称轴，与轴交于点，设另一个交点为，根据对称性，可求，得解为或；
【详解】解：由图知，抛物线对称轴，与轴交于点，设另一个交点为，则，解得
∴的解为或；
故答案为：，
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的联系；理解函数与方程的联系是解题的关键．
15．不正确，见解析
【分析】方程解答不正确，两边除以(x-5)时，没有考虑为的情况，写出正确过程即可．
【详解】解：不正确．
正确的解答过程如下：，
，
，
则或，
解得，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程一因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．（1）m≥—；（2）x1=0,x2=2.
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△＝b2−4ac≥0，从而建立关于m的不等式，求出实数m的取值范围．
（2）答案不唯一，方程有两个不相等的实数根，即△＞0，可以解得m＞−，在m＞−的范围内选取一个合适的整数求解就可以．
【详解】解:(1)△=[-2（m+1)]²-4×1×m²
=8m+4
∵方程有两个实数根
∴△≥0，即8m+4≥0
解得，m≥-
（2）选取一个整数0，则原方程为，
x²-2x=0 解得x1=0,x2=2.
【点睛】此题主要考查了根的判别式，以及解一元二次方程，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
17．.
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的只有1种情况，
∴两次摸出的球都是红球的概率为：.
考点：列表法与树状图法．
18．见解析
【分析】可以将方格纸的中心看做对称中心，这样可以清楚的看到△ABC中心对称的格点三角形．画出即可．
【详解】解：如图所示，即为所求．
【点睛】本题主要考查了画中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形定义．
19．(1)
(2)96
(3)不少于
【分析】（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式；
（2）把V＝1代入（1）得到的函数解析式，可得P；
（3）把＝140代入得到V即可．
【详解】（1）解：设，
由题意知，所以，故；
（2）解：当m时，；
（3）解：当时，（m）．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于 m．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义是解题的关键．
20．见解析
【分析】依据题意，证明即可得证
【详解】证明：由旋转可知，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
即，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形判定和性质，等边三角形的性质等知识，掌握旋转的性质是解题的关键．
21．（1）E（3，3），F（3，﹣1）；（2）答案不唯一，如：（﹣2，0）．
【详解】试题分析：（1）△AOB绕点A逆时针旋转90°后得到△AEF，所以AO⊥AE，AB⊥AF，BO⊥EF，AO=AE，AB=AF，BO=EF，据此在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标即可；
（2）由点F落在x轴的上方，可得EF＜AO；由EF=OB，得出出OB＜3，即可求出一个符合条件的点B的坐标．
试题解析：（1）∵△AOB绕点A逆时针旋转90°后得到△AEF，∴AO⊥AE，AB⊥AF，BO⊥EF，AO=AE，AB=AF，BO=EF，∴△AEF在图中表示为：
∵AO⊥AE，AO=AE，∴点E的坐标是（3，3），∵EF=OB=4，∴点F的坐标是（3，﹣1）；
（2）∵点F落在x轴的上方，∴EF＜AO，又∵EF=OB，∴OB＜AO，AO=3，∴OB＜3，∴一个符合条件的点B的坐标是：答案不唯一，如：（﹣2，0）．
考点：1．作图-旋转变换；2．开放型．
22．(1)A(2，0)；B(6，0)
(2)
【分析】（1）根据抛物线y=与直线y=-x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，可以求得点B、C两点的坐标，由图象可知抛物线y=与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x=4，从而可以求得点A的坐标；
（2）根据抛物线过点A、B、C三点，从而可以求得抛物线的解析式．
【详解】（1）解：∵抛物线y=与直线y=﹣x+6分别交于x轴上同一点B，
∴将y=0代入y=﹣x+6，得x=6，
∴点B的坐标是（6，0），
∵抛物线y=与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x=4，
∴点A的坐标为（2，0），
即抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标分别是（2，0），（6，0）．
（2）解：∵将x=0代入y=﹣x+6得，y=6，
∴点C的坐标是（0，6），
∵抛物线y=过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=．
【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，一次函数与两坐标轴的交点，根据题意求出点B的坐标，是解题的关键．
23．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出的度数，进而根据特殊的锐角三角函数值求得AD的长，最后由垂径定理可得AB的长．
（2）由于点B在圆上，可根据“连半径，证垂直”可证得PB是⊙O的切线．
【详解】（1）
解：如图所示，连接OA、OB，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
由OP⊥AB于D，则，
又∵OP⊥AB
∴，
（2）证明：由（1）知∠BOC=60°，从而∠OBC=∠OCB=60°，
C是OP的中点，CP=CO=CB，从而．
∴∠OBP=90°（OB⊥BP），
∴PB是⊙О的切线．
【点睛】本题主要考查了圆的性质，其中熟知圆的垂径定理以及圆的切线常用证明方法是解决本题的关键．
24．（1）y=-2x+4x+16；（2）2米
【分析】（1）若BE的长为x米，则改造后矩形的宽为米，长为米，求矩形面积即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意可令函数值为16，解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）∵BE边长为x米，
∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x
苗圃的面积=AE×AG=(4-x)(4+2x)
则苗圃的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=-2x+4x+16
（2）依题意，令y=16 即-2x+4x+16=16
解得：x=0(舍）x=2
答：此时BE的长为2米．
【点睛】本题考查的知识点是列函数关系式以及二次函数的实际应用，难度不大，找准题目中的等量关系式是解此题的关键．
25．(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
(3)(或，)．
【分析】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明和全等的三个条件．题型较好．
（1）①已知已有两直角相等和，再由同角的余角相等证明即可证明；
②由全等三角形的对应边相等得到，，从而得证；
（2）根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据证出和全等，再由全等三角形的对应边相等得到，，从而得证；
（3）同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系．
【详解】（1）①证明：∵，，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴；
②由①知，，
∴，，
∵，
∴；
（2）证明：∵于D，于E，
∴，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴．
∴，，
∴．
（3）解：同（2）理可证．
∴，，
∵
∴，即；
当旋转到图3的位置时，、、所满足的等量关系是(或，)．
26．(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．
故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，
∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．