云南省昆明市盘龙区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份云南省昆明市盘龙区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．下面具有美好寓意的“福”、“禄”、“寿”、“禧”四个字的剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．水中捞月B．瓜熟蒂落C．守株待兔D．旭日东升
3．已知是关于的一元二次方程的解，则等于（ ）
A．1B．-2C．-1D．2
4．如图，，为上一点，且，于点，以点为圆心，半径为1的圆与的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．以上三种情况均有可能
5．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．1B．－1C．4D．－4
6．要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是( )
A．向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
B．向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
C．向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
D．向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝80°，则∠BCD的度数是（ ）
A．80°B．120°C．130°D．140°
8．如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．某热播电影上映以来，全国票房创佳绩．据不完全统计，第一天票房收入约亿元，第三天票房收入达3亿元、设票房收入平均每天的增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．儿童游乐园的“欢乐海洋球池”内共有万个形状、大小相同的各种颜色塑料小球．某同学为了估计其中红球的个数，从中随机摸出一部分小球，统计出红球的频率为，据此可估计该球池内红球大约有（ ）个
A．万个B．万个C．万个D．万个
11．抛物线中，与的部分对应值如下表：
下列结论中，正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而增大
D．当时，y随x的增大而减小
12．杭州第19届亚运会会徽名为“潮涌”，会徽主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，下方是主办城市名称与举办年份的印鉴，绘制了如图的扇面示意图，扇面弧所对的圆心角为，小扇形半径为，则此扇面中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
13．如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b至少为（ ）
A．B．C．D．
14．如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系．则小球从飞出到落地瞬间所需要的时间为（ ）
A．2秒B．3秒C．4秒D．5秒
15．如图，正方形的边长为1，点P在上，以P为圆心的扇形与边相切于点T，与正方形两边交于点E，F，若，则弧的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
16．若圆锥的底面圆的半径为3 cm，母线长为8 cm，则这个圆锥的侧面积为 cm2．
17．若是关于x的二次函数．则m的值为 ．
18．某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，则花圃的宽为 米．
19．在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 步．
三、解答题
20．如图，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出将绕点A顺时针旋转得到的，则点D的坐标为______；
(2)请在图中作出的外接圆，并写出圆心M的坐标．
21．解方程：
(1) ；
(2)．
22．元旦假期，小明和小亮去大理旅游，他们除了游览苍山、洱海等著名景点外，以下是非遗文化体验馆的体验项目．
(1)若从中任意选择一个体验项目，选到“B．扎染”的概率是______；
(2)小明和小亮分别在以上三个体验项目中任选一项，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求出两人恰好选到同一个体验项目的概率．
23．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如，该方程变形为，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题：
已知：，且，求的值．
24．2023年9月17日，中国“普洱景迈山古茶林文化景观”申遗成功，成为全球首个茶主题世界文化遗产．景迈山古树茶成本为每饼400元，当售价为每饼480元时，每月可销售100饼．为庆祝申遗成功，让更多的人了解景迈山古树茶，商家决定降价销售．据市场调查反映：销售单价每降5元，则每月多销售10饼．设每饼古树茶的售价为x元，每月的销售量为y饼．
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)设每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大．
25．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE ．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
26．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过猜想探究图形的变化规律，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．如图1，在等边中，点，分别在边，上，，连接，，点，，分别是，，的中点．
(1)观察猜想
图1中的形状是______；
(2)探究证明
把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，的形状是否发生改变？并说明理由．
27．）如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，抛物线的对称轴为直线，点是二次函数图象的顶点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若将二次函数的顶点向右平移个单位后得到．在点的平移过程中，是否存在一个合适的位置，使是一个以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，是轴下方线段上一点，过点分别作轴的垂线和平行线，垂足为点，平行线交直线于点．当面积最大时，在轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标，并直接写出点的坐标和的最大值．
0
1
2
3
4
0
1
0
参考答案：
1．B
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、原图既不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、原图既是轴对称图形又是中心对称图形；
C、原图是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、原图既不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A、水中捞月是不可能事件；
B、瓜熟蒂落是必然事件；
C、守株待兔是随机事件；
D、旭日东升是必然事件；
故选：A．
3．C
【分析】方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把x=-1代入方程就得到一个关于m+n的方程，就可以求出m+n的值．
【详解】将x=1代入方程式得1+m+n=0，
解得m+n=-1．
故选：C．
【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于把求未知系数的问题转化为解方程的问题．
4．C
【分析】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、直线与圆的位置关系等知识，正确地求出的长是解题的关键．
由，，，得，而的半径为1，则的圆心到直线的距离大于的半径，所以与相离，于是得到问题的答案．
【详解】解：于点，
，
，，
，
的半径为1，且，
的圆心到直线的距离大于的半径，
与相离，
故选：C．
5．A
【分析】根据根的判别式的意义得到△＝（-2）2−4•a＝0，然后解方程即可．
【详解】根据题意得△＝（-2）2−4•a＝0，
解得a＝1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
6．D
【分析】原抛物线顶点坐标为（-1，2），平移后抛物线顶点坐标为（0，0），由此确定平移规律．
【详解】y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x2的顶点坐标是（0，0），
则平移的方法可以是：将抛物线y=x2+2x+3向右移1个单位，再向下平移2个单位．
故选D．
【点睛】本题考查抛物线的平移，熟记抛物线平移的规律是解题的关键.
7．D
【分析】根据圆周角定理求出∠A，再利用圆内接四边形性质得出∠BCD＋∠A＝180°，即可求出∠BCD的度数．
【详解】解：∵∠BOD＝80°，
∴∠A＝∠BOD＝40°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＋∠A＝180°，
∴∠BCD＝140°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质是解答此题的关键．
8．D
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
根据旋转可得，，得，根据，进而可得的度数．
【详解】解：，，
，
将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，
，，
，
．
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
第一天为亿元，根据增长率为x得出第二天为亿元，第三天为亿元，根据“第三天票房收入约达到3亿元”，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设增长率为x，
依题意，得．
故选：B．
10．C
【分析】本题考查根据数据描述求频数，弄清题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
因为统计出红球的频率为，所以红球所占的比例也就是，根据总数可求出红球个数．
【详解】解：估计该球池内红球的个数大约为（万个）．
故选：C．
11．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可．
【详解】解：由图可知，和时对应的函数值相等，
抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值，
抛物线开口向下，故选项A、B错误，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
故选项C错误，选项D正确，
故选：D．
12．A
【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
由扇形面积的计算方法，根据进行计算即可．
【详解】解：由题意可知，
故选：A．
13．B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【详解】解：如图，正六边形的外接圆为，连，，，则点在上，
正六边形，
，，
，
，
在中，，，
，
即，
故选：B．
14．C
【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练地解一元二次方程．
令，解方程求即可．
【详解】解：令，则，
解得（舍去），，
小球从飞出到落地要用．
故选：C．
15．A
【分析】此题重点考查正方形的性质、切线的性质、弧长公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
连接，由切线的性质得，而四边形是边长为1的正方形，所以，则四边形是矩形，所以，而，即可根据弧长公式求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，如图，
以为圆心的扇形与边相切于点，
，
四边形是边长为1的正方形，
，
四边形是矩形，
，
，
∴，
故选：A．
16．24π
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求得扇形的面积即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为3cm，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•3=6π，
∴圆锥的侧面积=×6π×8=24π（cm2）．
故答案为：24π．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=lR，（l为弧长）．
17．
【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义：函数，、、为常数）叫二次函数．
利用二次函数定义可得，且，再解即可．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：．
18．10
【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据长方形的面积公式得到方程是解决本题的基本思路．
根据花圃的面积为200列出方程求解即可．
【详解】解：设花圃的宽为米，长为米，根据题意，得
．
解得：，（舍去），
∴花圃的宽为10米，
故答案为：10．
19．6
【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握中，两直角边分别为为、，斜边为，其内切圆半径是解题的关键．根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边，
内切圆直径（步，
故答案为：6．
20．(1)图见解析，
(2)见解析，
【分析】本题考查了旋转作图以及作三角形的外接圆，点的坐标，熟练掌握解根据旋转的性质作图和三角形外接圆性质是解题的关键．
（1）将、绕点顺时针旋转得到对应点、，顺次连接即可得到，进而得到点的坐标；
（2）作出、的垂直平分线，其交点即为外接圆的圆心，再以为圆心，以的长为半径作圆即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标分别为，
（2）解：如图所示，即为所求，的坐标为．
21．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程．熟练掌握根据方程的特点选择恰当解一元二次方程的的方法是解题的关键．
（1）用公式法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，，，
，
∴
，
（2）解：
或，
∴，．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查的是用概率公式求概率，用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，从树状图中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：从中任意选择一个体验项目，选到“．扎染”的概率是；
（2）解：画树状图如下：
由图中可以看出，共有9种等可能结果，
∴两人恰好选到同一个体验项目的概率为．
23．
【分析】变形已知为，，把变形后的代数式代入要求值的代数式．
【详解】解：由可变形为，，
∴
，
解方程得：，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
24．(1)
(2)465元
【分析】本题考查了二次函数和在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据销售单价每降5元，则每月多销售10饼，写出与的函数关系式；
（2）该网店每月获得的利润元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
与的函数关系式为；
（2）解：由题意，得：
，
，抛物线开口向下，
∴当时，有最大值．
答：当销售单价为465元时，每月获得的利润最大．
25．（1）证明见解析；（2）5．
【分析】（1）连接OA，根据等边对等角得出∠ODA＝∠OAD，进而得出∠OAD＝∠EDA，证得EC∥OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF＝AE＝4cm，根据垂径定理得出DF＝CD＝3cm，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．
【详解】
（1）证明：连结OA．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA．
∴∠OAD＝∠EDA，
∴EC∥OA．
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE．
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF＝AE＝4cm．
又∵OF⊥CD，
∴DF＝CD＝3cm．
在Rt△ODF中，OD＝＝5cm，
即⊙O的半径为5cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
26．(1)等边三角形
(2)不发生改变，理由见解析
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．
（1）利用三角形的中位线定理证明，再证明即可解决问题．
（2）的形状不发生改变，仍为等边三角形．如图2中，连接，．证明，即可解决问题．
【详解】（1）解：结论：是等边三角形．
理由：如图1中，
是等边三角形，
，，
，
，
，，，
，，，，
，，，
，
是等边三角形．
（2）解：的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：
如图2中，连接，．
由旋转可得，
是等边三角形，
，，
又，
，
，，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，且．
同理可证且，
，，，
，
，
是等边三角形．
27．(1)
(2)存在，
(3)点，，
【分析】（1）根据题意列方程得到，解方程即可得到结论；
（2）根据函数解析式得到，求得，解方程组得到点、的坐标分别为、，根据勾股定理即可得到结论；
（3）设点，则点，由（2）知，点、的坐标分别为、，求得直线的表达式为，得到点，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，
，
，
二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，
时，，
，
，
，
二次函数解析式为；
（2）存在；，
点是二次函数图象的顶点，
，
，
联立两个函数表达式得，
解得或，
即点、的坐标分别为、，
由点，，的坐标，
得，，，
是斜边，
，
解得，
；
（3）设点，则点，
由（2）知，点、的坐标分别为、，
由抛物线的表达式知，点，
设直线的表达式为，
由题意得：，解得：，
所以直线的表达式为，
当时，，故点，，
面积，
，故面积有最大值，此时，
故点，，
当、、三点共线时，的值最大，即点为直线与轴的交点，
故点，
则的最大值．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查的是待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用直角三角形的勾股定理是解题的关键．．