云南省曲靖市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份云南省曲靖市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．下列语句所描述的事件是随机事件的是 （ ）
A．明天曲靖会下雨B．早晨的太阳从东方升起
C．抛出的石子会下落D．有一名运动员奔跑的速度是
4．下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的二次函数解析式是（ ）
A．B．
C．D．
6．点与点关于原点对称，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．初三毕业之际，在毕业晚会上同学们互赠照片以表留念，每人给其他同学送一张照片，一共送出110张照片，设晚会上有x人，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知二次函数 的图象上有两点 ，，则与的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．如图，，为的两条弦，连接， ，，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．等边三角形
10．按一定规律排列的单项式：则第 n 个单项式是（ ）
A．B．C．D．
11．如图抛物线的对称轴是直线下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．（m为任意实数）
12．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．﹣2的倒数是 ．
14．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 ．
15．二次函数的顶点坐标为，且开口向上，则的值为 ．
16．如图在平面直角坐标系中点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴，以为直径的经过点O，连接，过点D作于点E，若，，则圆心点D的坐标是 ．
三、解答题
17．计算：
18．用适当的方法解下列方程
(1)
(2)
19．已知抛物线的图象与坐标轴有3个交点
(1)求k的取值范围
(2)若抛物线的图象经过点，求k值．
20．为了调动学生的积极性，班内组织开展“数学小老师”讲题比赛，下面是四张背面看上去无差别的卡片A，B， C， D每张卡片的正面是四位“数学小老师”利用判别式判断一元二次方程根的情况的解题过程（如图）把四张卡片背面朝上放在桌子上．
(1)随机抽取一张卡片，卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是
(2)从四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，在随机抽取一张，用画树状图或列表法的方法求出抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率．
21．如图，已知是等边三角形，，点D是的中点，把绕点B顺时针旋转得到，点D的对应点是点E，连接 ．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求点D运动的路径与 围成的面积（阴影部分的面积）
22．某商场销售一批衫每件成本为30元，销售人员经调查发现销售单价为 80元时，每月的销售量为40件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本
(1)求该衫每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的数关系式；（不需要写出x取值范围）
(2)商场的销售人员发现：当该衬衫每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况请你测算一下，该商场如何定价，可使每月利润最大？
23．如图，是的直径，点C为外一点，过点 C作于点D，交于点F，连接 ，与相交于点A，点P为线段上一点，且
(1)求证：为的切线；
(2)若点F为的中点，的半径为5，，求的长．
24．在学习二次函数与一元二次方程时，从二次函数图象可得如下结论．
如果抛物线与x轴有公共点的横坐标是，那么当x＝时，函数值是0，因此是方程的一个根．
同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题
(1)若二次函数（m为常数）与x轴两交点的横坐标为，，，求二次函数的解析式；
(2)不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标；
(3)在（1）的条件下，当，时，对应的函数值为N，Q，若求证：
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】A．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．方程，是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式求顶点坐标即可．
【详解】当，即时，，
∴二次函数的顶点坐标是，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【详解】A、明天曲靖会下雨是随机事件，故A正确；
B、早晨的太阳从东方升起是必然事件，故B错误；
C、抛出的石子会下落是必然事件，故C正确；
D、有一名运动员奔跑的速度是是不可能事件，故D错误；
故选：A．
4．A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．
5．D
【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【详解】将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，
得到的二次函数解析式是．
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点以及各点所在象限的性质，根据“点与点关于原点对称”，求出a、b的值，即可确定点的坐标，进而得到结论．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【详解】∵点与点关于原点对称，
∴，
∴点所在的象限是第四象限．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握题目中的等量关系是解题的关键．
设晚会上有x人，那么每名同学要送出张，根据一共送出110张照片列出方程即可．
【详解】解：∵设晚会上有x人，
∴每名同学要送出张；
又∵全班同学是互赠照片，一共送出110张照片，
∴．
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，直接求出与的值，然后比较大小即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
∴，
故选：A．
9．B
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，圆周角的定理之一：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；熟练掌握此内容是解题关键．根据，，，得出答案．
【详解】解：，，
；
又，
是等腰直角三角形；
故选：B．
10．A
【分析】本题考查数字变化的规律，观察所给单项式的系数和次数，发现规律即可解决问题．
【详解】由题知，第一个可以看成，后面的单项式的系数依次增大倍，且单项式的系数依次，
所以第n个单项式的系数为：；
故选：A．
11．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解决本题的关键．
由抛物线开口向下得到；抛物线对称轴直线得到，得到，可判定C选项；由抛物线与轴交点在轴上方得到，可判断A选项；由抛物线与x轴有两个交点，可判断B选项；根据二次函数最值问题，得到时，有最大值，变形可判断D选项．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴直线，
∴，
∴，故C正确；
∵抛物线与轴交点在轴上方，
∴，
∴，故A错误．
∵抛物线与x轴有两个交点
∴，故B错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当，有最大值，
∴，
∴，故D错误．
故选C．
12．B
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理得出的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】∵四边形内接于，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
13．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【详解】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．
所以的倒数为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键
14．/180度
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义：“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键．
【详解】解：菱形是中心对称图形，
绕它的两条对角线的交点旋转可以和原图形重合；
故答案：．
15．3
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握基础知识是关键．
根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可．
【详解】∵二次函数的顶点坐标为，
∴，，
解得：，，
∵二次函数开口向上，
∴，
∴．
故答案为：3．
16．
【分析】本题考查了中位线的性质，坐标与图形性质，垂径定理．先利用圆半径相等得到，即可求出和，再利用垂径定理得到是中位线，即可得到D点坐标．
【详解】∵以为直径的经过点O，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴,
∴是中位线，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查实数的混合运算，先根据负整数指数幂，平方根，绝对值等知识点化简再计算即可．
【详解】原式．
18．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题关键是仔细观察方程正确熟练运用因式分解法解方程．
（1）先化简方程，运用因式分解得出答案；
（2）仔细观察方程，运用因式分解得出答案．
【详解】（1）解：
去括号合并同类项，，
对方程因式分解：，
故或，
解得：，．
（2）
对方程因式分解：，
故或，
解得：，．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点，待定系数法求解析式；
（1）抛物线的图象与坐标轴有3个交点则与轴一个交点，与轴两个交点，据此求解即可；
（2）把代入计算即可．
【详解】（1）∵抛物线的图象与坐标轴有3个交点，
∴抛物线与轴一个交点，与轴两个交点，
∴方程有两不等实数根，
∴，
解得
（2）把代入得，
解得，
由（1）可得，
∴．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，公式法解一元二次方程；
（1）卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根有两张卡片，根据概率公式计算即可；
（2）画树状图，表示出所有等可能的结果数，再结合概率公式即可得出答案．
【详解】（1）卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根有两张卡片，
∴随机抽取一张卡片，卡片上的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是；
（2）由题意可得，
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的情况有6种，
∴抽取的两张卡片上的一元二次方程都有实数根的概率为．
21．(1)是等边三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，扇形面积公式；
（1）根据旋转可得，，进而得到，即可得到是等边三角形；
（2）阴影部分的面积等于面积减去扇形的面积．
【详解】（1）是等边三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴,
∵把绕点B顺时针旋转得到，
∴，，
∴
即,
∴是等边三角形；
（2）∵是等边三角形，，点D是的中点，
∴，，，
∴，
∵把绕点B顺时针旋转得到，
∴，
∴
．
22．(1)
(2)为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为59元．
【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；
（2）设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
【详解】（1）解：根据题意知：每月销售单价降低为元，每月多售出件，
则每月销售量；
（2）设每月总利润为w，根据题意得：
，此图象开口向下，
∴当时，w有最大值为4205元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为59元．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，根据垂直可以得到，由可得，最后根据得到，即可得到为的切线；
（2）由可得，点E为的中点，再由点F为的中点，可得，可得，进而得到，最后根据勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴为的切线；
（2）连接，
∵的半径为5，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)见详解
【分析】（1）由根与系数的关系得，求出，即可求解；
（2）原函数解析式可化为，由不论m为何值，该函数的图象都会经过一个定点得，即可求解；
（3）将，代入可求得，，①当时，可得，将其代入化成关于的二次函数，化成顶点式，由的性质即可求证；②当时，可得，同理可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
，
，
解得：，
，
二次函数的解析式为；
（2）解：
，
不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，
不含项，
，
解得 ，
当时，
；
该函数图象始终过定点；
（3）证明：当，时，
，
，
，
，
①当时，
，
，
，
；
②当时，
，
，
，
；
综上所述：．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，待定系数法，函数图象过定点，二次函数的性质等，掌握二次函数的性质，根于系数的关系，能将函数图象过顶点转化为多项式不含某一项是解题的关键．