人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精品练习题

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一、基本不等式常用的结论
1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
推论：（）
2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
推论：（，）；
3、
二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
三、利用基本不等式求最值的方法
1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系
2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况
类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；
类型2：分母为多项式时
方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；
方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
如分母为与，分子为，
设
∴，解得：
4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
题型一 直接法求最值
【例1】（2023秋·新疆昌吉·高一校考期末）已知，且，则的最大值为（ ）
A． B．25 C．36 D．49
【变式1-1】（2022秋·江苏连云港·高一期末）设，，且，求的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式1-2】（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）若满足，则的最大值是 .
【变式1-3】（2022秋·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）若，则的最大值为（ ）
A．9 B．16 C．49 D．64
【变式1-4】（2022秋·吉林长春·高一长春十一高校考期中）已知，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【变式1-5】（2022秋·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
题型二 配凑法求最值
【例2】（2023春·湖北武汉·高一校联考期末）若，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023春·河南信阳·高一校考期中）设，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）已知正数，满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式2-3】（2022秋·重庆江北·高一重庆十八中校考期末）若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
题型三 消元法求最值
【例3】（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-1】（2022秋·河南洛阳·高一统考期中）已知正数x，y满足，则xy的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式3-2】（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校联考阶段练习）设，，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【变式3-3】（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考期末）负实数，满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【变式3-4】（2023·高一课时练习）已知正实数x，y满足，则的最大值是 .
题型四 乘“1”法求最值
【例4】（2023春·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知正实数满足，则的最小值为 .
【变式4-1】（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知正数，满足，则的最小值为 .
【变式4-2】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）已知，，，则的最大值为 ．
【变式4-3】（2023春·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型五 双换元法求最值
【例5】（2022秋·四川成都·高一校联考期中）若实数、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023秋·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式5-2】（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是 .
【变式5-3】（2022秋·广东惠州·高一校考阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 .
【变式5-4】（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知，，则最小值为 ．
题型六 构造不等式法求最值
【例6】（2022秋·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考期末）若，，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【变式6-1】（2022秋·广东惠州·高一校考阶段练习）已知，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【变式6-2】（2022秋·云南昆明·高一统考期末），，且，则ab的最小值为 ．
【变式6-3】（2023秋·高一单元测试）已知，，若，则的最小值为 .
【变式6-4】（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知正数满足，则的最小值为 ．