上海高一期末模拟预测卷01（沪教版必修第二册第6~9章）-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）

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1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）已知i是虚数单位，若＝a+bi（a，b∈R），则lg（a+b）的值为 0 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算求出a，b，再求出lg（a+b）的值．
【解答】解：＝＝a+bi，
则，b＝，
故lg（a+b）＝．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2．（3分）已知向量，则＝ ．
【分析】根据平面向量的坐标运算与模长公式，计算即可．
【解答】解：向量，
则2+＝（1，4），
所以＝12+42＝17，
所以＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与模长计算问题，是基础题．
3．（3分）若扇形的周长是8cm，面积4cm2，则扇形的圆心角为 2 rad．
【分析】设扇形的圆心角为α，半径为R，则根据弧长公式和面积公式有，故可求扇形的圆心角．
【解答】解：设扇形的圆心角为α，半径为R，则⇒．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．
4．（3分）已知A（1，3）、B（4，1）和C（a+1，﹣3）三点共线，则实数a＝ 9 ．
【分析】利用共线向量即可解出．
【解答】解：由题意可知，
∴（3，﹣2）＝λ（a，﹣6），
∴，
∴a＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了三点共线，学生的数学运算能力，属于基础题．
5．（3分）已知平面向量、满足||＝5，||＝1，•＝3，向量＝λ⋅+（1﹣λ）•（λ∈R），且对任意λ∈R，总有|+k|≥2成立，则实数k的取值范围是 （﹣∞，﹣6]∪[4，+∞） ．
【分析】根据||＝5，||＝1，•＝3，求出的夹角正余弦，然后将坐标化，再结合向量＝λ⋅+（1﹣λ）•（λ∈R），可知坐标化后，它们的终点共线；最后结合|+k|的几何意义，构造出k的不等式即可．
【解答】解：因为||＝5，||＝1，•＝3，令，，
则，sin．
不妨取．
过点A（5，0），B（）的直线AB的方程为：，即AB：2x+11y﹣10＝0．
又＝λ⋅+（1﹣λ）•（λ∈R），故对应的点C落在直线AB上，
|+k|＝，其几何意义为C点到点（﹣5k，0）的距离d．
对任意λ∈R，总有|+k|≥2成立，只需，
dmin即为点（﹣5k，0）到直线2x+11y﹣10＝0的距离，
故，即|k+1|≥5，所以k≥4，或k≤﹣6．
故答案为：（﹣∞，﹣6]∪[4，+∞）．
【点评】本题考查平面向量的运算、几何意义和性质，同时考查学生的运算能力，属于中档题．
6．（3分）已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为 ．
【分析】根据平面向量的数量投影定义，计算即可．
【解答】解：因为、的夹角为，，
所以在上的数量投影为||cs＜，＞＝cs
＝×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的数量投影计算问题，是基础题．
7．（3分）i是虚数单位，则的值为 ．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
8．（3分）已知||＝1，||＝，+＝（，1），则与的夹角为 ．
【分析】由题意可得＝＝4，代入已知数据计算可得csθ，可得答案．
【解答】解：设与的夹角为θ，
∵||＝1，||＝，+＝（，1），
∴＝＝4，
代入数据可得1+2csθ+3＝4，
解得csθ＝0，∴θ＝
故答案为：
【点评】本题考查平面性的数量积与向量的夹角，属基础题．
9．（3分）函数的单调递增区间为 （k∈Z） ．
【分析】根据正切型三角函数单调区间的求法求得正确答案．
【解答】解：由，
解得，
所以函数的单调递增区间为（k∈Z）．
故答案为：（k∈Z）．
【点评】本题主要考查了正切函数单调性的应用，属于基础题．
10．（3分）已知复数z满足|z﹣1﹣i|＝2，则|z|的最大值为 2+ ．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：由|z﹣1﹣i|＝2可知，z在复平面内对应的点在以（1，1）为圆心，2为半径的圆上，
而|z|表示z对应的点到原点的距离，所以|z|的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，考查转化能力，属于基础题．
11．（3分）函数的图像的两条相邻对称轴间的距离为 ．
【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：函数＝﹣2sin（3x﹣），
故T＝，
所以函数的图像的两条相邻对称轴间的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
12．（3分）已知向量，，且，则＝ 4 ．
【分析】利用向量的模求解m，然后求解向量的数量积即可．
【解答】解：向量，，且，
可得＝1，解得m＝0，
则＝0×3+（﹣1）×（﹣4）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量的模的求法，是基础题．
二．选择题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）的虚部为（ ）
A．3B．﹣3C．3iD．﹣3i
【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出虚部即可．
【解答】解：∵＝＝＝（1+i）（﹣1﹣2i）＝1﹣3i，
∴的虚部为﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数虚部的概念，是基础题．
14．（4分）下列命题：
①设非零向量，若，则向量与的夹角为锐角；
②若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线；
③若，则；
④若，则．
其中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据向量的数量积的定义，向量共线的定义，相等向量的定义即可求解．
【解答】解：对于①，若同向时，满足，但夹角为0°，不是锐角，∴①错误；
对于②，若AB与CD是平行四边形两对边，则与共线，但A，B，C，D不共线，∴②错误；
对于③，若是零向量，则，此时无法确定，∴③错误；
对于④，若，则方向相同，模长相等，所以，∴④正确．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积的定义，向量共线的定义，相等向量的定义，属基础题．
15．（4分）已知P1（2，﹣1），P2（0，5），点P在P1P2的延长线上，且||＝3||，则点P的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（，3）C．（，3）D．（﹣1，8）
【分析】设出点P的坐标，根据题意得出＝﹣3，利用向量相等对应坐标相等列出方程组，即可求出点P的坐标．
【解答】解：设点P（x，y），
由P在P1P2的延长线上，且||＝3||，
得：＝﹣3，
如图所示，
又＝（x﹣2，y+1），＝（﹣x，5﹣y），
∴，
解得，
∴点P的坐标为（﹣1，8）．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与向量相等的应用问题，是基础题目．
16．（4分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则（﹣）•（+）的最小值是（ ）
A．﹣1B．﹣C．﹣2D．﹣
【分析】建立坐标系，设P（x，y），得出（﹣）•（+）关于x，y的表达式，配方即可得出结论．
【解答】解：以BC为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系，
则A（0，），设P（x，y），则+＝2＝（﹣2x，﹣2y），（﹣）＝＝（﹣x，﹣y），
∴（﹣）•（+）＝2x2+2y2﹣2y＝2x2+2（y﹣）2﹣，
∴当x＝0，y＝时，（﹣）•（+）取得最小值﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
三．解答题（共5小题，满分48分）
17．（6分）已知向量，，且，若．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求向量的夹角θ的大小．
【分析】（I）先求出的坐标，然后根据两向量垂直的坐标关系建立等式，从而可求出m的值；
（II）根据（I）先求出向量的坐标，然后根据向量的夹角公式进行求解即可．
【解答】解：（I）由已知得，＝（2﹣m，m﹣2），且m≠2
又则
即（2﹣m）×1+（m﹣2）×m＝0
解得m＝1或m＝2（舍去）
∴m＝1
（II）由（I）得＝（1，1），＝（0，2）
∴csθ＝＝＝
又θ∈[0，π]
∴θ＝
【点评】本题主要考查了利用数量积判定两向量的垂直关系，以及数量积表示两个向量的夹角，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
18．（8分）已知复数z和它的共轭复数满足2z+＝3+2i．
（1）求z；
（2）若z是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，求复数的模．
【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解．
（2）根据已知条件，结合韦达定理，求出p，q，再结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），
则，＝2（a+bi）+（a﹣bi）＝3a+bi＝3+2i，
所以，解得a＝1，b＝2，
故z＝1+2i．
（2）∵z是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，
∴是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的另一个根，
∴，解得p＝﹣2，q＝5，
∴||＝||＝
∴复数的模为．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题．
19．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知•＝3•．
（Ⅰ）求证tanB＝3tanA；
（Ⅱ）若a2+b2﹣c2＝ab，求角A的大小．
【分析】（Ⅰ）记AB＝c，AC＝b，BC＝a由已知•＝3•，可得bccsA＝3cacsB由正弦定理化简得tanB＝3tanA；
（Ⅱ）由余弦定理和已知得：csC＝，即可求出1+tan2C＝5解得tanC＝2（tanC＝﹣2舍去）结合（Ⅰ）即可求得角A的大小．
【解答】解（Ⅰ）记AB＝c，AC＝b，BC＝a
∵•＝3•．
∴bccsA＝3cacsB
∴bcsA＝3acsB
由正弦定理得：sinBcsA＝3sinAcsB
∴
∴tanB＝3tanA．
（Ⅱ）∵
由余弦定理得：csC＝
∴1+tan2C＝5
∴tanC＝2（tanC＝﹣2舍去）
tanC＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝＝2
解得：tanA＝﹣（舍去），或tanA＝1
∴A＝．
【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，平面向量数量积的运算，考察了计算能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
【分析】（1）利用周期公式直接代入求解即可；（2）利用整体代换法求单调递减区间即可．
【解答】解：（1）∵，∴；
（2）∵函数y＝csx的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]（k∈Z），
令，k∈Z，
解得：，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间为．
【点评】本题考查了余弦函数的周期性以及单调性，考查了学生的运算能力，属于基础题．
21．（12分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°
（1）若PB＝1，求PA；
（2）若∠APB＝120°，设∠PBA＝α，求tanα的值．
【分析】（1）由已知得∠PBC＝60°，可得∠PBA＝30°，在△PBA中，由余弦定理即可得出．
（2）已知得∠PCB＝α，PB＝2sinα，在△PBA中，由正弦定理得，化简整理即可得出．
【解答】解：（1）由已知得∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°，
在△PBA中，由余弦定理得PA＝＝．
（2）由已知得∠PCB＝α，PB＝2sinα，
在△PBA中，由正弦定理得，化简得3csα＝2sinα，
∴tanα＝．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．