上海高一下期末真题精选（易错60题22个考点专练）-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）

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1．（2022春•杨浦区校级期末）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．
【解答】解：∵点 A的坐标为（4，1），
∴设∠xOA＝θ，则sinθ＝＝，csθ＝＝，
将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，
则OB的倾斜角为θ+，则|OB|＝|OA|＝，
则点B的纵坐标为y＝|OB|sin（θ+）＝7（sinθcs+csθsin）＝7（×+）＝+6＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．
2．（2020春•静安区期末）设sinα＝﹣，csα＝，那么下列的点在角α的终边上的是（ ）
A．（﹣3，4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（3，﹣4）
【分析】利用三角函数的定义有，从而可知选C．
【解答】解：由于sinα＝﹣，csα＝，根据，可知x＝4，y＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．
3．（2022秋•青浦区期末）在平面直角坐标系中，A（0，0），B（1，2）两点绕定点P逆时针方向旋转θ角后，分别到点A'（4，4），B'（5，2）两点位置，则csθ的值为 ．
【分析】由对称的性质可知，定P点为两线段AA′，BB′中垂线的交点，据此求出P的坐标，再利用向量的夹角公式求csθ．
【解答】解：由题意，因为A（0，0），A'（4，4），
则线段AA′中点坐标为（2，2），kAA′＝1，故线段AA′中垂线的斜率为﹣1，
所以AA′中垂线的方程为y﹣2＝﹣（x﹣2），即y＝﹣x+4①，
因为点B（1，2），B'（5，2）易知线段BB′的中垂线方程为x＝3②，
联立①②解得x＝3，y＝1，故P（3，1），
所以，，
则csθ＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查对称的知识和平面向量的夹角公式，属于中档题．
4．（2020秋•徐汇区校级期末）若角θ终边过点P（4，m），且sinθ＝，则m等于 3 ．
【分析】根据任意角的三角函数定义，列方程求出m的值．
【解答】解：角θ的终边经过点P（4，m），
则r＝＝，
又sinθ＝＝，
解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了任意角的三角函数定义与应用问题，是基础题．
二．正弦函数的图象（共1小题）
5．（2022秋•闵行区期末）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣1，1]上的值域为[m，n]，且n﹣m＝3，则ω的值为 ．
【分析】首先f（x）的最小正周期T＞2，故0＜ω＜π，然后[﹣1，1]要么是f（x）的一个单调递增区间，要么是在y轴右侧存在一个极大值点，据此列出关于ω的方程求解．
【解答】解：f（x）的最小正周期T＞2，故0＜ω＜π，结合ω＞0，则：
①当[﹣1，1]是f（x）的一个单调增区间时，
应有n﹣m＝＝，所以，不符合题意，舍去；
②因为f（x）图象是将y＝2sinωx向左平移，则x∈[﹣1，1]时，f（x）应该在y轴右侧存在一个极大值点，
故n＝2，m＝2sin（），所以此时n﹣m＝2﹣2sin（）＝3，得＝sin，
故，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，以及图象的变换方法，属于中档题．
三．正弦函数的奇偶性和对称性（共1小题）
6．（2019春•闵行区校级期末）函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个φ值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出函数的对称轴方程，使得满足在内，解不等式即可求出满足此条件的一个φ值．
【解答】解：函数图象的对称轴方程为：x＝ k∈Z，
函数图象的一条对称轴在内，
所以当 k＝0 时 ，φ＝
故选：A．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的基本性质，不等式的解法，考查计算能力，能够充分利用基本函数的性质解题是学好数学的前提．
四．余弦函数的图象（共1小题）
7．（2022春•杨浦区校级期末）已知函数f（x）＝cs（2x+）﹣cs2x，其中x∈R，给出下列四个结论：
①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；
②函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝；
③函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）；
④函数f（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
其中正确的结论序号 ②③④ ．
【分析】化简函数f（x），由定义判断函数f（x）不是奇函数，判断①错误；
由f（）＝1取得最大值，得出直线x＝是f（x）的一条对称轴，判断②正确；
由f（）＝0，得出点（，0）是f（x）的一个对称中心，判断③正确；
由正弦函数的图象与性质求出函数f（x）的单调递增区间，判断④正确．
【解答】解：函数f（x）＝cs（2x+）﹣cs2x＝﹣cs2x﹣sin2x＝﹣sin（2x+），其中x∈R：
对于①，f（﹣x）＝﹣sin（﹣2x+）＝sin（2x﹣）≠﹣f（x），
∴函数f（x）不是奇函数，①错误；
对于②，当x＝时，f（）＝﹣sin（2×+）＝1为最大值，
∴函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝，②正确；
对于③，当x＝时，f（）＝﹣sin（2×+）＝0，
∴函数f（x）图象的一个对称中心为（，0），③正确；
对于④，令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，④正确．
综上，正确的结论序号是②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象和性质的应用问题，是综合性题目．
五．正切函数的单调性和周期性（共1小题）
8．（2022春•普陀区校级期末）函数的最小正周期为 ．
【分析】直接利用正切函数的周期公式T＝，求出函数的最小正周期．
【解答】解：因为函数，所以T＝＝．
所以函数的最小正周期为．
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查正切函数的周期的求法，考查计算能力，送分题．
六．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共1小题）
9．（2020春•宝山区校级期末）要得到函数y＝3sin（2x+）的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【分析】由于函数y＝3sin（2x+）＝3sin2（x+），故只要将函数y＝3sin2x的图象相左平移个单位即可实现目标．
【解答】解：由于函数y＝3sin（2x+）＝3sin2（x+），
故只要将函数y＝3sin2x的图象相左平移个单位，
即可得到函数y＝3sin（2x+）的图象．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．
七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共3小题）
10．（2022春•黄浦区校级期末）已知函数f（x）＝2cs（ωx+φ）的部分图像如图所示，则满足条件（f（x）﹣f（﹣））（f（x）﹣f（））＞0的最小正整数x为 2 ．
【分析】观察图像，，即周期为π，将需要求解的式子进行周期变换，变换到附近，观察图像可知x＞，即最小正整数为2．
【解答】解：由图像可得，即周期为π，
∵，T＝π，
∴，
观察图像可知当，
，，
∵2∈（），且，
∴x＝2时最小，且满足题意，
故答案为：2．
【点评】该题考查了三角函数的周期性，以及如何通过图像判断函数值的大小，题型灵活，属于中等题．
11．（2022春•松江区校级期末）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图像如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC的三内角A、B、C的正弦值依次成等比数列，求f（B）的值域；
（3）将f（x）图像上所有点先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到g（x）的图像，记h（x）＝g（x）g（x+）﹣m，是否同时存在实数m和正整数n，使得函数h（x）在[0，nπ]上恰有2022个零点？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图像求出T、ω和φ的值，写出函数解析式，求出f（x）的单调递增区间；
（2）根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式，即可求得csB的取值范围，从而求出f（B）的值域；
（3）根据平移变换求出g（x）的解析式，再利用三角恒等变换求出h（x）的解析式，从而求出满足条件的m和n的值．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图像知，T＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，
由五点法画图知，2×+φ＝2kπ+π，k∈Z，解得φ＝+2kπ，k∈Z；
因为|φ|＜π，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）；
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；
（2）△ABC中，sin2B＝sinAsinC，
由正弦定理得，b2＝ac，
由余弦定理得：csB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时取“＝”，
所以0＜B≤，
所以＜2B+≤π，
所以0≤sin（2B+）≤1
所以0≤f（B）≤2，即f（B）的值域为[0，2]；
（3）将f（x）图像上所有点向右平移个单位，得y＝f（x﹣）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x+）的图像，
再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得y＝g（x）＝2sin（x+）的图像，
因为h（x）＝g（x）g（x+）﹣m＝4sin（x+）sin（x+）＝4csx（sinx+csx）＝2sinxcsx+2cs2x＝sin2x+cs2x+1＝2sin（2x+）+1，
假设同时存在实数m和正整数n满足条件，
函数h（x）＝2sin（2x+）+1在x∈[0，nπ]上恰有2022个零点，
即函数y＝2sin（2x+）与直线y＝﹣1在[0，nπ]上恰有2022个交点．
当x∈[0，π]时，2x+∈[，]，作出函数f（x）在区间[0，π]上的图象如下图所示：
①当m﹣1＞2或m﹣1＜﹣2，即m＞3或m＜﹣1时，函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，nπ]上无交点，
②当m﹣1＝2或m﹣1＝﹣2，即m＝3或m＝﹣1时，函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，π]上有一个交点，
此时要使函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，nπ]上恰有2022个交点，则n＝2022；
③当﹣2＜m﹣1＜1或1＜m﹣1＜2，即﹣1＜m＜2或2＜m＜3时，函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，π]上有两个交点，
此时函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，nπ]上有2022个交点，n＝1011；
④当m﹣1＝1即，m＝2时，函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，π]上有三个交点，
此时要使函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，nπ]上恰有2022个交点，不符合题意；
综上所述，存在实数m和n满足题设条件：m＝﹣1或m＝3时，n＝2022；m∈（﹣1，2）∪（2，3）时，n＝1011．
【点评】本题考查了三角函数的图像与性质的应用问题，也考查了函数的值域，函数零点个数的判断问题，是难题．
12．（2022春•嘉定区校级期末）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示．
（1）求f（x）的解析式及对称中心；
（2）先将f（x）的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到g（x）的图像，求函数y＝g（x）在上的单调减区间和最值．
【分析】（1）根据零点、最高点的坐标，结合图像求出A、最小正周期、ω的值，再令f（x）＝0求出对称中心的坐标；
（2）根据图像变换的规律，即可求出g（x）的解析式，进而求出函数的单调减区间、最值．
【解答】解：（1）易知A＝2，，解得T＝π，所以，
故，k∈Z，即，k∈Z，
又|φ|＜π，故k＝0时，即为所求，
故f（x）＝2sin（2x﹣），
f（x）的对称中心为（+，0），k∈Z．
（2）易知g（x）＝＝＝sin（2x）＝﹣cs2x，
要求g（x）的单调递减区间，只需﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
解得，k∈Z，令k＝1可得函数g（x）的一个单调递减区间为[]，显然g（x）在[]单调递增，
故y＝g（x）在上的单调减区间为[]，
而＝，g（）＝1，g（）＝0，
故g（x）在上的最小值为，最大值为1．
【点评】本题考查三角函数的据图求式、以及三角函数的图像与性质，属于中档题．
八．两角和与差的三角函数（共2小题）
13．（2019秋•宝山区校级期末）已知α，β∈（0，π），且tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，2α﹣β的值为 ﹣ ．
【分析】由题意配角：α＝（α﹣β）+β，利用两角和的正切公式算出tanα的值，再算出tan（2α﹣β）的值，根据α、β的范围与它们的正切值，推出2α﹣β∈（﹣π，0），即可算出2α﹣β的值．
【解答】解：由tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，
∴tanα＝tan[（α﹣β）+β]＝＝＝，
由此可得tan（2α﹣β）＝tan[（α﹣β）+α]＝＝＝．
又α∈（0，π），且tanα＝＜1，
∴0＜α＜，
又β∈（0，π），tanβ＝﹣＜0，
∴＜β＜π，
因此2α﹣β∈（﹣π，0），可得﹣π＜2α﹣β＜0，
所以2α﹣β＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了两角和与差的正切公式、特殊角的三角函数值等知识，是中档题，解题时注意在三角函数求值问题中“配角找思路”思想．
14．（2019春•黄浦区期末）已知函数f（x）＝cs2x+2sinxcsx+1，x∈R．
（1）把f（x）表示为Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{asinx，acsx}．x∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期和值域；
（2）根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调递增区间；
（3）根据题意可得g（x）的最小值不小于f（x）的最小值，g（x）的最大值不大于f（x）的最大值，
求出g（x）的值域，再列出关于a的不等式组，求解即可．
【解答】解：（1）函数f（x）＝cs2x+2sinxcsx+1＝cs2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+1，x∈R；
∴f（x）的最小正周期为T＝＝π，值域为[﹣1，3]；
（2）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；
（3）若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，
则{y|y＝g（x）}⊆{y|y＝f（x）}，
由g（x）的值域为[﹣a，a]，f（x）的值域为[﹣1，3]，
∴，
解得0＜a≤；
所以实数a的取值范围是（0，]．
【点评】本题考查了三角函数的化简与三角函数性质应用问题，是中档题．
九．二倍角的三角函数（共1小题）
15．（2020秋•虹口区期末）已知α∈（0，π），且有1﹣2sin2α＝cs2α，则csα＝ ．
【分析】由二倍角公式和同角的三角函数关系，计算即可．
【解答】解：由1﹣2sin2α＝cs2α，得1﹣cs2α＝2sin2α，
即2sin2α＝4sinαcsα；
又α∈（0，π），所以sinα≠0，
所以sinα＝2csα＞0；
由sin2α+cs2α＝（2csα）2+cs2α＝5cs2α＝1，
解得csα＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题．
一十．向量相等与共线（共2小题）
16．（2022春•黄浦区校级期末）若四边形ABCD满足+＝，（﹣）•＝0，则该四边形一定是（ ）
A．直角梯形B．矩形C．菱形D．正方形
【分析】首先根据+＝判断出四边形为平行四边形，然后根据证明四边形对角线互相垂直，最后综合以上结论得出四边形为菱形．
【解答】解：+＝⇒
四边形ABCD为平行四边形，
对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量与共线向量，以及数量积判断两个向量的垂直关系，需要通过对向量间的关系转化为线段间的关系，然后即可判断四边形的形状．属于基础题．
17．（2022春•杨浦区校级期末）△ABC三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量，，若，则角C的大小为 ．
【分析】利用推出向量中b，a，c的关系，利用余弦定理求出C的大小即可．
【解答】解：因为，得
得：b2﹣ab＝c2﹣a2
即a2+b2﹣c2＝ab
由余弦定理csC＝＝
所以C＝
故答案为：
【点评】本题考查平行向量与共线向量，余弦定理的应用，考查计算能力是基础题．
一十一．平面向量数量积的性质及其运算（共20小题）
18．（2022春•徐汇区期末）已知、为非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件．
A．充要B．必要不充分
C．充分不必要D．既不充分也不必要
【分析】先求出非零向量数量积大于零的充要条件，然后利用直接法判断充分性和必要性．
【解答】解：易知，若，则＞0，
故，结合，
故，或，
反之，，必有，
故“”是“为锐角”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查数量积的定义与条件的充分性、必要性的判断，属于基础题．
19．（2021春•浦东新区校级期末）已知在△ABC中，P0是边AB上的一个定点，满足，且对于边AB上任意一点P，恒有，则（ ）
A．B．C．AB＝ACD．AC＝BC
【分析】设||＝4，则||＝1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0＝a，由数量积的几何意义，化•≥•恒成立，为Δ＝（a+1）2﹣4a＝（a﹣1）2≤0，
从而求得△ABC是等腰三角形，AC＝BC．
【解答】解：设||＝4，则||＝1，过点C作AB的垂线，垂足为H，
在AB上任取一点P，设HP0＝a，如图所示；
则由数量积的几何意义可得，
＝||•||＝﹣（a+1）||，•＝﹣a，
于是•≥•恒成立，
整理得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，
只需Δ＝（a+1）2﹣4a＝（a﹣1）2≤0即可，于是a＝1，
因此我们得到HB＝2，即H是AB的中点，
∴△ABC是等腰三角形，即AC＝BC．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．
20．（2021春•宝山区期末）在平面直角坐标系中，已知点P（0，1）、Q（0，﹣3），A、B是x轴上的两个动点，且|AB|＝4，则的最小值为（ ）
A．﹣3B．﹣7C．5D．9
【分析】不妨设A在B的左边，然后设A（t，0），B（t+4，0），然后将所求坐标化，最终化为t的函数求最小值．
【解答】解：由题意设A在B的左边，令A（t，0），则B（t+4，0），t∈R，
所以，故＝t（t+4）﹣3＝t2+4t﹣3＝（t+2）2﹣7≥﹣7，
当且仅当t＝﹣2时原式取最小值．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算以及数量积的运算，属于基础题．
21．（2022春•普陀区校级期末）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力．顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF．若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为 [0，3] ．
【分析】根据数量积的几何意义可知，表示的是与在上的投影的乘积，显然∠BAC＝30°，所以∠CAF＝120°﹣30°＝90°，所以P点的位置在直线AF的右侧的六边形内（包括边界）或落在线段AF上，则由此易求得结论．
【解答】解：如图：由正六边形的性质可知，∠BAC＝∠BCA＝30°，故AC＝，
所以∠CAF＝120°﹣30°＝90°，所以P点的位置在直线AF的右侧的六边形内（包括边界）或落在线段AF上，
又表示的是与在上的投影的乘积，故当P落在线段AF上时，在上的投影最小为0，当P落在线段DC上时，在上的投影最大为＝，
故，
故答案为：[0，3]．
【点评】本题考查平面向量数量积的几何意义和运算，属于中档题．
22．（2022春•浦东新区校级期末）已知点P在单位圆O上，点A（﹣3，0），则的取值范围是 [6，12] ．
【分析】可设P（csθ，sinθ），然后将结论表示为θ的三角函数，求其值域即可．
【解答】解：由已知设P（csθ，sinθ），θ∈[0，2π），且O（0，0），A（﹣3，0），
所以＝（3，0）•（csθ+3，sinθ）
＝3csθ+9，因为﹣1≤csθ≤1，
故∈[6，12]．
故答案为：[6，12]．
【点评】本题考查数量积的运算和三角函数的性质，属于基础题．
23．（2022春•浦东新区校级期末）已知等边三角形ABC的边长为1，点P在△ABC的边上运动，则的最大值为 ．
【分析】据图分析，可设AC中点为E，BC中点为F，当P落在线段EA，AB，BF上时，＜0，再研究P在线段EC上移动时，的模长、夹角的变化，进而求出的最大值．
【解答】解：如图：在等边三角形ABC中，设AC中点为E，BC中点为F，当P落在线段EA，AB，BF上时，易知π≥，故
＜0；
当P点在EC上由E向C移动时，∠APB是锐角，且越来越小，与C重合时取得最小角为，
且同时也随着P点由E向C移动时，同时变大，到C时都达到最大，
故当P与C重合时，取得最大值＝，（当P由F向C移动时，的变化规律与P由E向C移动的变化规律相同）．
故答案为：．
【点评】本题考查数量积的定义和性质，属于中档题．
24．（2022春•黄浦区校级期末）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是 ．
【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．
【解答】解：【方法一】由题意，设＝（1，0），＝（0，1），
则﹣＝（，﹣1），
+λ＝（1，λ）；
又夹角为60°，
∴（﹣）•（+λ）＝﹣λ＝2××cs60°，
即﹣λ＝，
解得λ＝．
【方法二】， 是互相垂直的单位向量，
∴||＝||＝1，且•＝0；
又﹣ 与+λ的夹角为60°，
∴（﹣）•（+λ）＝|﹣|×|+λ|×cs60°，
即+（﹣1）•﹣λ＝××，
化简得﹣λ＝××，
即﹣λ＝，
解得λ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．
25．（2021春•宝山区校级期末）设直线l、m互相垂直于O，A、B是直线l上的两个定点，满足2＝，C、D是直线m上的两个动点，满足||＝2，若的最小值是﹣9，则||＝ 2 ．
【分析】以直线l、m分别为x轴、y轴，O为原点建立平面直角坐标系，设A（x，0），B（﹣2x，0），C（0，y），D（0，y+2），求出表示为x、y的表达式，根据其最小值为﹣9，可得A点坐标，然后可得||．
【解答】解：如图，以直线l、m分别为x轴、y轴，O为原点建立平面直角坐标系，
设A（x，0），B（﹣2x，0），C（0，y），D（0，y+2），
＝（﹣x，y），＝（2x，y+2），∴•＝﹣2x2+（y+1）2﹣1，
当（y+1）2＝0时，•取最小值﹣2x2﹣1＝﹣9，∴x＝±2，
∴||＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算，考查运算能力，属于中档题．
26．（2020春•宝山区校级期末）已知++＝，且||＝3，||＝4，||＝5，则 •+•+•＝ ﹣25 ，•＝ 0 ．
【分析】首先，根据++＝得到，然后，根据||＝5，求解，然后，再求解•+•+•的值．
【解答】解：∵++＝，
∴，
∵||＝5，
∴（）2＝25，
∴|＝25，
∵||＝3，||＝4，
∴9+2+16＝25，
，
∴•+•+•＝•+•（+）
＝﹣（）2
＝0﹣25＝﹣25．
故答案为：﹣25；0．
【点评】本题重点考查了平面向量的基本运算，数量积的运算性质等知识，属于中档题．
27．（2022秋•闵行区期末）已知平面向量、、和实数λ满足，，，则的取值范围是 [2，2] ．
【分析】由，可知，围成边长为2的等边三角形，据此建系，将问题坐标化，再结合给的条件找到λ满足的条件，利用结论的几何意义求解．
【解答】解：因为，可知，可围成边长为2的等边三角形，
如图建立平面直角坐标系，设A（﹣1，0），B（1，0），C（0，），
令，，则＝（1，），
由＝，可知，
故的终点落在过原点，且倾斜角为150°的直线y＝上，
故设的终点为（t，t）（t≠0），则＝（t，），代入整理后得：
•≥0，即，
解得，令x＝λt，
再令d＝＝，该式表示点P（x，）到点M（2，0）和N（1，）的距离之和，
P点在线段l：y＝（x）上，
且kMN＝﹣，易求得MN：（x﹣2），联立两直线方程得交点为Q（，），显然Q为P点所在线段的中点，易知MN⊥l，且当x＝或时，dmax＝2；dmin＝|MN|＝2，
故d．
故答案为：[2，2]．
【点评】本题考查坐标条件下平面向量的线性运算，数量积的运算和性质等，同时考查了解析几何的有关知识和方法，属于中档题．
28．（2020秋•黄浦区期末）已知平面向量、满足||＝5，||＝1，•＝3，向量＝λ⋅+（1﹣λ）•（λ∈R），且对任意λ∈R，总有|+k|≥2成立，则实数k的取值范围是 （﹣∞，﹣6]∪[4，+∞） ．
【分析】根据||＝5，||＝1，•＝3，求出的夹角正余弦，然后将坐标化，再结合向量＝λ⋅+（1﹣λ）•（λ∈R），可知坐标化后，它们的终点共线；最后结合|+k|的几何意义，构造出k的不等式即可．
【解答】解：因为||＝5，||＝1，•＝3，令，，
则，sin．
不妨取．
过点A（5，0），B（）的直线AB的方程为：，即AB：2x+11y﹣10＝0．
又＝λ⋅+（1﹣λ）•（λ∈R），故对应的点C落在直线AB上，
|+k|＝，其几何意义为C点到点（﹣5k，0）的距离d．
对任意λ∈R，总有|+k|≥2成立，只需，
dmin即为点（﹣5k，0）到直线2x+11y﹣10＝0的距离，
故，即|k+1|≥5，所以k≥4，或k≤﹣6．
故答案为：（﹣∞，﹣6]∪[4，+∞）．
【点评】本题考查平面向量的运算、几何意义和性质，同时考查学生的运算能力，属于中档题．
29．（2020秋•金山区期末）在直角三角形ABC中，AB＝5，AC＝12，BC＝13，点M是△ABC外接圆上的任意一点，则•的最大值是 45 ．
【分析】解法一、由平面向量的线性运算法则，计算•的最大值即可；
解法二、建立平面直角坐标系，用圆的方程设点M的坐标，计算•的最大值．
【解答】解：解法一、Rt△ABC的外心即斜边BC中点O，
由平面向量的线性运算知，＝+，
所以•＝•（+）＝•+•，
由图可知：•＝||×||cs∠BAO＝||×||sin∠C＝5××＝，
当∥时，•的最大值为5×＝，
•的最大值为+＝45．
解法二、建立平面直角坐标系，如图所示：
A（0，0），B（5，0），C（0，12），
△ABC外接圆（x﹣）2+（y﹣6）2＝，
设M （+csθ，6+sinθ），
则＝（+csθ，6+sinθ），
＝（5，0），•＝+csθ≤45，当且仅当csθ＝1时取等号．
所以•的最大值是45．
故答案为：45．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形外接圆应用问题，是中档题．
30．（2020秋•长宁区期末）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，点D在边BC上．若＝1，＝，则的值为 ﹣3 ．
【分析】令，且x+y＝1，再结合＝1，＝，得到关于x，y，的方程组，求出x，y的值，即可求出．
【解答】解：由已知设，且x+y＝1，
因为＝1，＝，所以，
即，结合x+y＝1，
消去，得，解得，
代入①式，可得．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查平面向量基本定理、数量积的运算，以及方程思想的应用．属于中档题．
31．（2021春•上海期末）点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是 [﹣，0] ．
【分析】建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算•＝x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．
【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示；
则点A（1，0，0），C1 （0，1，1），
设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；
∴＝（1﹣x，﹣y，﹣1），＝（﹣x，1﹣y，0），
∴•＝﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y＝+﹣，
由二次函数的性质可得，当x＝y＝时，•取得最小值为﹣；
当x＝0或1，且y＝0或1时，•取得最大值为0，
则•的取值范围是[﹣，0]．
故答案为：[﹣，0]．
【点评】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．
32．（2021春•徐汇区期末）在△ABC中，设＝，，记△ABC的面积为S．
（1）求证：S＝；
（2）设＝（x1，y1），＝（x2，y2），求证：S＝|x1y2﹣x2y1|．
【分析】（1）利用数量积的定义结合面积公式，容易推证结论；
（2）利用坐标条件下数量积的运算公式、求模公式结合（1）的结论可求解．
【解答】证明：（1）S＝＝＝
＝＝．
故原式成立．
（2）因为＝（x1，y1），＝（x2，y2），
所以S＝＝
＝＝
|x1y2﹣x2y1|，原式成立．
【点评】本题考查数量积的定义和三角形的面积公式，属于中档题．
33．（2021春•徐汇区校级期末）已知O为直角坐标系原点，与垂直，与平行．
（1）求向量在向量上的投影；
（2）求的坐标．
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算与向量投影的定义，计算即可；
（2）设＝（x，y），根据平面向量垂直与平行的坐标表示，列方程组求出x、y的值即可．
【解答】解：（1）因为＝（3，1），＝（﹣1，2），
所以＝﹣＝（﹣4，1），
计算•＝﹣12+1＝﹣11，||＝＝，
所以向量在向量上的投影为：
||csθ＝＝＝﹣；
（2）设＝（x，y），因为与垂直，
所以•＝﹣x+2y＝0，
又＝﹣＝（x+1，y﹣2），且与平行，
所以3（y﹣2）﹣（x+1）＝0，即x﹣3y+7＝0，
由，解得，
所以＝（14，7）；
所以的坐标为（14，7）．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与投影的定义以及运算问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题．
34．（2021春•浦东新区校级期末）已知向量，不共线，t为实数．
（Ⅰ）若＝，＝t，＝（+），当t为何值时，A，B，C三点共线；
（Ⅱ）若||＝||＝1，且与的夹角为120°，实数x∈[﹣1，]，求|﹣x|的取值范围．
【分析】（Ⅰ）因为A，B，C三点共线，则存在实数λ，使得，由此得到关于λ，t的方程解之；
（Ⅱ）求出与的数量积，然后将所求平方，转化为与的模和数量积的运算，集合二次函数求最值．
【解答】解：（Ⅰ）A，B，C三点共线，则存在实数λ，使得，
即，则…（4分）
（Ⅱ）由，则，
因为，当时，的最小值为…（5分）
当时，的最大值为…（6分）
所以的取值范围是…（8分）
【点评】本题考查了平面向量共线以及数量积公式的运用．
35．（2019秋•浦东新区校级期末）已知＝（1，2），＝（﹣2，1），＝+（t+2），＝k+t（k∈R）．
（1）若t＝1，且∥，求k的值；
（2）若t∈R，且|﹣|≤5，求k的取值范围．
【分析】（1）根据平面向量的共线定理列方程求出k的值；
（2）根据平面向量的模长公式列不等式求出k的取值范围．
【解答】解：（1）因为＝（1，2），＝（﹣2，1），
所以t＝1时，＝+3＝（﹣5，5），＝k+（k﹣2，2k+1），
若∥，则﹣5（2k+1）﹣5（k﹣2）＝0，
解得k＝；
（2）若t∈R，且﹣＝（1﹣k）+2＝（﹣k﹣3，﹣2k+4），
|﹣|＝≤5，
整理得k2﹣2k≤0，解得0≤k≤2，
所以k的取值范围是[0，2]．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算和共线定理、模长公式的应用问题，是基础题．
36．（2019秋•宝山区校级期末）已知实系数一元二次方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的一根为﹣2i（i为虚数单位），另一根为复数z．
（1）求复数z，以及实数a，b的值；
（2）设复数z的一个平方根为λ，记λ、λ2、λ﹣λ2在复平面上对应点分别为A、B、C，求（+）•的值．
【分析】（1）由实系数的一元二次方程两根互为共轭复数得z＝2i，再求a和b的值；
（2）设λ＝x+yi，x、y∈R，利用复数相等列方程组求出x、y的值，
再计算λ、λ2和λ﹣λ2的值，求出A、B、C点的坐标，从而求得（+）•的值．
【解答】解：（1）由实系数的一元二次方程两根互为共轭复数，得z＝2i；
利用根与系数的关系，得a＝﹣2i+2i＝0，b＝﹣2i•2i＝4；
（2）复数z＝2i，则λ2＝2i；
设λ＝x+yi，x、y∈R；
所以x2﹣y2+2xyi＝2i，
即，解得x＝y＝1或x＝y＝﹣1；
所以λ＝1+i，或λ＝﹣1﹣i；
当λ＝1+i时，λ2＝2i，λ﹣λ2＝1﹣i；
所以A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），
所以（+）•＝（1，3）•（1，﹣1）＝1﹣3＝﹣2；
当λ＝﹣1﹣i时，λ2＝2i，λ﹣λ2＝﹣1﹣3i，
所以A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），
所以（+）•＝（﹣1，1）•（﹣1，﹣3）＝1﹣3＝﹣2；
综上知，（+）•的值为﹣2．
【点评】本题考查了复数的运算与平面向量的数量积计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
37．（2019春•宝山区期末）已知平行四边形ABCD中，，F是BC边上的点，且＝2，若AF与BD交于E点，建立如图所示的直角坐标系．
（1）求F点的坐标；
（2）求•．
【分析】（1）根据题意知△EBF∽△EDO，利用＝2求得点F的坐标；
（2）根据＝求得点E的坐标，再计算、，求出数量积．
【解答】解：（1）根据题意知，△EBF∽△EDO，
则O（0，0），B（2，0），C（3，1），D（1，1），
由＝2，利用相似比的性质得
F（，）；
（2）＝＝（﹣，），
∴E（，），
从而＝（，），＝（，），
∴•＝×+×＝．
【点评】本题考查了平面向量的数量积计算问题，根据相似比得出各点的坐标是解题的关键，是基础题．
一十二．平面向量的基本定理（共2小题）
38．（2022春•徐汇区校级期末）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，+＝λ，则λ＝（ ）
A．B．2C．D．
【分析】结合正八边形的性质，结合平面向量的线性运算解答即可．
【解答】解：如图：
连接A6A3，A1A4，A2A7，A6A3与A1A4相交于B，
在A1A4上取一点C，使得＝，
则＝，
设||＝m，则||＝||＝m+m+m＝（2+）m，
由图可知，+＝+＝2＝2×＝，
λ＝．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算，涉及到正八边形的性质，属于中档题．
39．（2020秋•徐汇区期末）已知△AOB中，边，，令，，，过AB边上一点P1（异于端点）引边OB的垂线P1Q1，垂足为Q1，再由Q1引边OA的垂线Q1R1，垂足为R1，又由R1引边AB的垂线R1P2，垂足为P2，同样的操作连续进行，得到点列{Pn}、{Qn}、{Rn}，设（0＜tn＜1）；
（1）求；
（2）结论“”是否正确？请说明理由；
（3）若对于任意n∈N*，不等式|t1+t2+…tn﹣|＜恒成立，求t1的取值范围．
【分析】（1）根据平面向量的模长公式与数量积运算法则，求出||；
（2）结论正确，由余弦定理，结合平面向量的线性表示与坐标表示，求出；
（3）画出图形，结合图形，得出tn+1与tn的关系，即{tn﹣}构成一个等比数列，求出|t1+t2+…+tn﹣|的表达式，再根据题意求出t1的取值范围．
【解答】解：（1）△AOB中，＝，＝，||＝，||＝，•＝1；
∴＝＝﹣2•+＝2﹣2×1+3＝3，
∴||＝；
（2）结论正确，由（1）知，||＝，||＝，||＝；
由余弦定理得cs∠ABO＝＝；
又∵||＝t1|﹣|＝t1，
则||＝||﹣||＝﹣t1，
则||＝||cs∠ABO＝（1﹣t1），
所以，＝﹣（1﹣t1）；
（3）画出图形，如图所示，结合图形，可得
tn+1＝﹣tn+，
则tn+1﹣＝﹣（tn﹣），
∴{tn﹣}构成一个等比数列，公比为﹣，
∴|t1+t2+…+tn﹣|＝|（t1﹣）•|＜|t1﹣|＜，
∴﹣＜t1＜；
又0＜tn＜1，
∴t1的取值范围是0＜t1＜．
【点评】本题主要考查了向量模、解三角形的应用、数列的通项公式等知识，也考查了运算求解能力，是难题．
一十三．平面向量的坐标运算（共2小题）
40．（2019秋•闵行区校级期末）已知平面直角坐标系内的两个向量＝（1，2），＝（m，3m﹣2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成＝λ+μ（λ，μ为实数），则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）
C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
【分析】平面向量基本定理：若平面内两个向量、不共线，则平面内的任一向量都可以用向量、来线性表示，即存在唯一的实数对λ、μ，使＝λ+μ成立．根据此理论，结合已知条件，只需向量、不共线即可，因此不难求出实数m的取值范围．
【解答】解：根据题意，向量、是不共线的向量
∵＝（1，2），＝（m，3m﹣2）
由向量、不共线⇔
解之得m≠2
所以实数m的取值范围是{m|m∈R且m≠2}．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量坐标表示的应用，着重考查了平面向量基本定理、向量共线的充要条件等知识点，属于基础题．
41．（2019秋•浦东新区校级期末）已知点A（0，1），B（3，2），向量＝（﹣4，﹣3），则向量＝（ ）
A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）
【分析】顺序求出有向线段，然后由＝求之．
【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到＝（3，1），向量＝（﹣4，﹣3），
则向量＝＝（﹣7，﹣4）；
故选：A．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．
一十四．数量积表示两个向量的夹角（共3小题）
42．（2019秋•虹口区校级期末）已知向量集合M＝{|＝（1，2）+λ1（3，4），λ1∈R}，N＝{|＝（﹣2，﹣2）+λ2（4，5），λ2∈R}，则M∩N＝ {（﹣2，﹣2）} ．
【分析】求M∩N即求M和N中的公共元素构成的集合，故只需令解出λ，在代入集合M或集合N即可．
【解答】解：由（1，2）+λ1（3，4）＝（﹣2，﹣2）+λ2（4，5），
由，
解得，∴M∩N＝{（﹣2，﹣2）}．
故答案为：{（﹣2，﹣2）}
【点评】本题考查向量的相等、集合的表示和运算，属基本知识、基本运算的考查．
43．（2020秋•浦东新区校级期末）已知，，O为坐标原点．
（1）若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围；
（2）设，，求△OAB的面积．
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算和数量积运算，列不等式求出m的取值范围，注意去掉夹角为平角的情况．
（2）利用平面向量的数量积公式和三角形面积公式，计算即可．
【解答】解：（1）由，，
所以，
；
令，
即﹣3m﹣2+8m﹣4＜0，解得，
当时，，与方向相反，夹角为平角，不合题意；
所以，
所以若与的夹角为钝角，则m的取值范围是．
（2）设∠AOB＝θ，△OAB面积为S，
则；
因为，
所以；
所以．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题．
44．（2019秋•浦东新区期末）如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段DE经过点G，并绕点G转动，分别交边AB、AC于点D、E；设，，其中0＜m≤1，0＜n≤1．
（1）求表达式的值，并说明理由；
（2）求△ADE面积的最大和最小值，并指出相应的m、n的值．
【分析】（1）将向量用向量和表达，由D、G、E三点共线，即可得到m和n的关系．
（2）由三角形面积公式，SΛADE＝mn，由（1）可知＝3，由消元法n＝，转化为m的函数求最值即可．
【解答】解：（1）如图延长AG交BC与F，∵G为△ABC的中心，
∴F为BC的中点，则有
∵，，
∴即
∵D、G、E三点共线
∴
故＝3；
（2）∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴|AD|＝m，|AE|＝n∴S△ADE＝mn
由＝3，0＜m≤1，0＜n≤1
∴n＝，即．
∴S△ADE＝mn＝
设t＝m﹣则m＝t+（）
∴S△ADE＝mn＝（t++）
易知在为减函数，在为增函数．
∴t＝，即，时，f（t）取得最小值，
即S△ADE取得最小值，又，
∴f（t）取得最大值是，则SΛADE取得最大值，
此时或．
【点评】本题考查平面向量基本定理和向量的表示、求函数的最值，考查消元和换元等方法．
一十五．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题）
45．（2022春•浦东新区校级期末）已知|，|，与的夹角为．
（1）若，且∥，求k的值；
（2）若，且，求k的值．
【分析】根据利用平面向量平行、垂直的充要条件列出k的方程求解．
【解答】解：由已知得，
（1）因为，故存在实数λ，使得，
即，又因为不共线，
故，解得k＝±2，
故k的值为﹣2，或2．
（2）因为，所以＝（）
＝＝﹣4k2+4k+32＝0，
解得k＝，或．
【点评】本题考查平面向量平行、垂直的充要条件以及数量积的运算性质，属于基础题．
一十六．正弦定理（共1小题）
46．（2020春•浦东新区校级期末）在△ABC中，a＝7，b＝8，csB＝﹣．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理结合大边对大角进行求解即可．
（Ⅱ）利用余弦定理求出c的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，
∵csB＝﹣，∴sinB＝＝＝，
由正弦定理得＝得sinA＝＝＝，
则A＝．
（Ⅱ）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accsB，
即64＝49+c2+2×7×c×，
即c2+2c﹣15＝0，
得（c﹣3）（c+5）＝0，
得c＝3或c＝﹣5（舍），
则AC边上的高h＝csinA＝3×＝．
【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．
一十七．余弦定理（共2小题）
47．（2020春•浦东新区校级期末）在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．若a2+b（b﹣a）＝1，c＝1，则a﹣b的取值范围为 （1，） ．
【分析】先根据余弦定理求得角C，结合正弦定理把a﹣b转化为2（sinA﹣sinB），再结合AB之间的关系求出角A的范围，与正弦函数相结合即可求得结论．
【解答】解：因为在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．
∵a2+b（b﹣a）＝1，c＝1⇒a2+b2﹣ab＝c2⇒2csC＝⇒csC＝⇒C＝30°，
∴＝＝＝＝2；
∴a＝2sinA，b＝2sinB；
∴a﹣b＝2（sinA﹣sinB）＝2[sinA﹣sin（150°﹣A）]＝2[sinA﹣（csA+sinA）]＝2（sinA﹣csA）＝2sin（A﹣30°）；
∵0°＜A＜90°，0°＜B＜90°，A+B＝150°；
∴60°＜A＜90°；
∴30°＜A﹣30°＜60°⇒2sin（A﹣30°）∈（1，）；
故a﹣b∈（1，）；
故答案为：（1，）．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
48．（2019春•杨浦区校级期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若a＝4，b＝6，c＝9，则角C＝ π﹣arccs ．
【分析】利用余弦定理求出csC，再根据反余弦函数求出C的值．
【解答】解：△ABC中，a＝4，b＝6，c＝9，
由余弦定理得csC＝＝﹣，
有C∈（0，π），
所以C＝π﹣arccs．
故答案为：π﹣arccs．
【点评】本题考查了余弦定理和反余弦函数的应用问题，是基础题．
一十八．解三角形（共5小题）
49．（2022秋•宝山区期末）已知函数f（x）＝sin2x+cs2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，当f（A）＝0，b＝1，且三角形ABC的面积为时，求a．
【分析】（1）先将原函数化为f（x）＝2sin（2x+）的形式，再利用正弦函数的单调性、复合函数单调性的性质求解；
（2）据题意，求出A＝，再结合面积公式求出c的值，最后利用余弦定理求出a．
【解答】解：（1）f（x）＝＝2sin（2x），
要求f（x）的单调增区间，只需≤+2kπ，k∈Z，
解得≤x≤，k∈Z，
故函数f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z．
（2）由已知得f（A）＝2sin（2A+）＝0，结合A为锐角，
，解得A＝，
又b＝1，且三角形ABC的面积为，故＝，
解得c＝4，所以a2＝b2+c2﹣2bccsA＝1+42﹣2×1×4×＝13，
故a＝．
【点评】本题考查三角恒等变换以及正余弦定理、面积公式的应用，属于中档题．
50．（2021秋•宝山区期末）吴淞口灯塔AE采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝3m，使A，B，D在同一直线上，也在同一水平面上，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β．（本题的距离精确到0.1m）
（1）该小组测得α、β的一组值为α＝51.83°，β＝47.33°，请据此计算H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若灯塔的实际高度为20.1m，试问d为多少时，α﹣β最大？
【分析】（1）利用已知条件，结合直角三角形可得﹣＝，从而利用计算器求具体的值即可；
（2）延长BC，由E向BC作垂线，垂足为F，结合直角三角形，利用三角恒等变换得tan（α﹣β）＝，结合基本不等式求d即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，AB＝，
在Rt△ADE中，AD＝，
在Rt△BDC中，BD＝，
则﹣＝，
故H＝≈≈20.4（m）；
（2）如图，延长BC，由E向BC作垂线，垂足为F，
则tanα＝＝，tanβ＝＝，
故tan（α﹣β）＝＝，
∵d+≥2≈37，
当且仅当d＝，即d≈18.5时，等号成立．
故d约为18.5m时，α﹣β最大．
【点评】本题考查三角形的实际应用，利用了三角恒等变换及基本不等式，考查了化简计算能力及数形结合的思想，属于中档题．
51．（2019秋•松江区校级期末）轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有A，B，C三个无线电发射台，其中A在陆地上，B在海上，C在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如图，已知A，B两点距离10千米，C是AB的中点，海岸线与直线AB的夹角为45°，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：无线电信号每秒传播3×105千米），在某时刻，测得轮船距离C点距离为4千米．
（1）以点C为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置
（2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？
【分析】（1）根据题意知轮船的航行轨迹是双曲线的一支，写出双曲线的标准方程，
求出该时刻轮船在双曲线的顶点位置；
（2）设双曲线的参数方程，求双曲线上的点到直线y＝x的距离d的最小值，
利用导数判断函数单调性，从而求出最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）以点C为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，由×3×105＝8，
设轮船的航行轨迹是点P的运动轨迹，则|PA|﹣|PB|＝8；又|AB|＝10，
所以点P的轨迹为双曲线的一支，且双曲线中，2a＝8，2c＝10，b＝3，
所以双曲线标准方程为﹣＝1，其中x≥4；
某一时刻测得轮船距离C点4千米，则该时刻轮船在CB的连线上，即双曲线顶点位置；
（2）根据题意，设双曲线的参数方程为其中θ∈[0，），
则双曲线上的点P（x，y）到直线y＝x的距离为d＝＝，其中θ∈[0，）；
设f（θ）＝，其中θ∈[0，），
则f′（θ）＝，
令f′（θ）＝0，解得sinθ＝，
所以sinθ∈（0，）时，f′（θ）＜0，函数f（θ）单调递减；
sinθ∈（，1）时，f′（θ）＞0，函数f（θ）单调递增；
所以sinθ＝时，csθ＝＝，此时函数f（θ）取得最小值为；
此时d取得最小值为＝＞＝1.5，
所以轮船保持目前的航路不变时，不会有搁浅风险．
【点评】本题考查了圆锥曲线的实际应用问题，也考查了利用参数方程求最小值应用问题，是中档题．
52．（2019秋•徐汇区期末）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．
（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）
（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km）
【分析】（1）过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，求DE的问题就可以转化为求∠DBE的度数或三角函数值的问题．
（2）Rt△DCE中根据三角函数就可以求出CD的长．
【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，
在Rt△DAF中，∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝×8＝4，
∴DF＝；
在Rt△ABF中，BF＝＝3，
∴BD＝DF﹣BF＝4﹣3≈3.9．
（2）过点D作DE⊥AC于点E，
sin∠ABF＝，在Rt△DBE中，sin∠DBE＝，
∵∠ABF＝∠DBE，∴sin∠DBE＝，∴DE＝BD•sin∠DBE＝×（4﹣3）＝≈3.1（km）
由题意可知∠CDB＝75°，sin∠DBE＝＝0.8，所以∠DBE＝53°，∴∠DCB＝180°﹣75°﹣53°＝52°
在Rt△DCE中，sin∠DCE＝，∴DC＝≈4（km）
∴景点C与景点D之间的距离约为4km．
【点评】本题主要考查解直角三角形的条件，已知直角三角形的一个锐角和一边长，或已知两边长就可以求出另外的边和角．
53．（2019春•徐汇区校级期末）如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
【分析】在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，A＝15°，利用正弦定理知：，由此求出A到BC所在直线的距离之后进行判断即可．
【解答】解：在△ABC中，BC＝30，B＝30°，
∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
∴A＝15°，
由正弦定理知：，
∴，
∴，…（6分）
∴A到BC所在直线的距离为（海里），
∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．…（12分）
【点评】本题考查解三角形问题在生产实际中的运用，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要认真审题，注意正弦定理和数形结合思想在解题中的合理运用．
一十九．虚数单位i、复数（共1小题）
54．（2020春•金山区校级期末）对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：
①；②（a+b）2＝a2+2ab+b2；
③若|a|＝|b|，则a＝±b；④若a2＝ab，则a＝b．
那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是 ②④ ．
【分析】要熟悉复数的概念和性质及其基本运算．
【解答】解：对于①：解方程得a＝i，所以非零复数a＝i使得，①不成立；
②：显然成立；
③：在复数集C中，|1|＝|i|，则|a|＝|b|，所以当a＝i，b＝1时，i＝1不成立，所以③不成立；
④：显然成立．则对于任意非零复数a，b，上述命题仍然成立的所有序号是②④
所以应填上②④．
【点评】对于①③要善于举反例．
二十．纯虚数（共1小题）
55．（2020秋•徐汇区校级期末）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为 ﹣6 ．
【分析】因复数是分式且分母含有复数，需要分子分母同乘以1﹣2i，再进行化简整理，由纯虚数的定义令实部为零求出a的值．
【解答】解：由题意知，＝＝，
∵是纯虚数，∴a+6＝0a，即a＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了复数代数形式的运算，含有分式时需要分子和分母同乘以分母的共轭复数，对分母进行实数化再化简，并且利用纯复数的定义进行求值．
二十一．复数的运算（共4小题）
56．（2021春•浦东新区校级期末）设复数z满足＝i，则|1+z|＝（ ）
A．0B．1C．D．2
【分析】化简复数方程，求出复数z为a+bi（a、b∈R）的形式，然后再求复数|1+z|的模．
【解答】解：由于，所以1﹣z＝i+zi
所以z＝＝
则|1+z|＝
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数求模，是基础题．
57．（2022春•杨浦区校级期末）若z是实系数方程x2+2x+p＝0的一个虚根，且|z|＝2，则p＝ 4 ．
【分析】设出复数z，利用已知条件，结合韦达定理，及|z|＝2，求得p．
【解答】解：设z＝a+bi，则方程的另一个根为z'＝a﹣bi，且，
由韦达定理直线z+z'＝2a＝﹣2，∴a＝﹣1，∴，
所以．
故答案为：4
【点评】本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，复数的模，是中档题．
58．（2022秋•虹口区期末）设m，n∈R，i为虚数单位，若1﹣i是关于x的二次方程x2+mx+n＝0的一个虚根，则m+n＝ 2 ．
【分析】根据实系数一元二次方程的有成对的共轭虚根，并且满足韦达定理求解．
【解答】解：因为m，n∈R，i为虚数单位，若1﹣i是关于x的二次方程x2+mx+n＝0的一个虚根，
故也是该二次方程的根，则（1﹣i）+（1+i）＝﹣m，且（1﹣i）（1+i）＝n，
解得m＝﹣2，n＝4，故m+n＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查实系数一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．
59．（2022春•宝山区校级期末）已知虚数1+2i是方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的一个根，则a+b＝ 3 ．
【分析】根据实系数的一元二次方程x2+ax+b＝0的两个虚数根互为共轭复数，再利用根与系数的关系，即可求出a、b的值．
【解答】解：虚数1+2i是方程x2+ax+b＝0的一个根，
∴共轭虚数1﹣2i也是此方程的一个根，
∴a＝﹣（x1+x2）＝﹣（1+2i+1﹣2i）＝﹣2；
b＝x1x2＝（1+2i）（1﹣2i）＝5；
∴a+b＝﹣2+5＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了实系数的一元二次方程两个虚数根互为共轭复数以及根与系数关系的应用问题，是基础题．
二十二．复数的模（共1小题）
60．（2020秋•青浦区期末）已知复数z满足z+＝0，则|z|＝ 2 ．
【分析】先将原式化简成z2＝﹣4，然后可得|z|2＝4，则问题可解．
【解答】解：因为复数z满足z+＝0，
所以，则z2＝﹣4，
所以|z2|＝|z|2＝|﹣4|＝4，
可得|z|＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查复数的运算和模的运算性质．属于基础题．