沪教版高一下学期（测试范围：第6~8章三角、三角函数、平面向量）-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）

这是一份沪教版高一下学期（测试范围：第6~8章三角、三角函数、平面向量）-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二），文件包含沪教版高一下学期测试范围第6章第8章原卷版docx、沪教版高一下学期测试范围第6章第8章解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一、填空题
1．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）将写成的形式，其中，则__．
【答案】
【分析】结合三角恒等变换公式的逆运用即可求解.
【详解】因为，
所以．
故答案为：.
2．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）扇形的半径为1，圆心角所对的长为2，则该扇形的面积是__________.
【答案】1
【分析】根据扇形的面积公式求解即可.
【详解】因为扇形的半径为1，圆心角所对的长为2，
所以扇形的面积为.
故答案为：1.
3．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）已知点，若，则__________.
【答案】
【分析】结合平面向量的坐标运算可得，进而可得，结合二倍角公式及同角三角函数关系化简即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
即，
所以，
即，
所以.
故答案为：.
4．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为__________.
【答案】/
【分析】先化简函数，然后由正弦函数性质求解．
【详解】，
由题意是函数的最小值，是函数的最大值．
由，最小，则函数周期最大，
所以，即．
故答案为：．
5．（2022春·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知函数，且，则__.
【答案】0
【分析】计算得到，代入计算得到答案
【详解】，
则.
故答案为：
6．（2022春·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）在中，若，则的最大值是____．
【答案】
【分析】利用正弦定理进行角变边可得，利用余弦定理和角的范围即可求解
【详解】结合正弦定理得，即，
所以，
因为，所以，则的最大值是．
故答案为：
7．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）函数的严格减区间是__．
【答案】．
【分析】结合函数的定义域和复合函数的单调性即可求解.
【详解】令，则为增函数，
欲求的减区间，则求的减区间
由题意得定义域为，解得
所以的减区间为
所以函数的严格减区间是.
故答案为：.
8．（2022春·上海浦东新·高一校考期中）函数的图象如下，求它的解析式__________.
【答案】
【分析】根据最高点可确定，利用周期，将代入即可求解.
【详解】由图象最高点可知,由点和可得周期,此时
将代入得,由于
，所以取，故
故答案为：.
9．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知在所在平面内，，则是的__心．
【答案】垂
【分析】根据给定等式，利用向量数量积的运算法则，结合垂直关系的向量表示推理作答.
【详解】由得：，即，则，
由同理可得：，
所以是的垂心.
故答案为：垂
10．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量__．
【答案】
【分析】根据函数的平移方向和大小可得答案.
【详解】函数的图象平移后，得到函数的图象,
则要向左平移1个单位，向下平移2个单位
故
故答案为：.
11．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知两个不相等的非零向量、，两组向量、、、和、、、均由2个和2个排列而成，记，则最多有__个不同的值．
【答案】3
【分析】由题意分析即可得的各种取值情况，即可得符合条件的个数.
【详解】解：由题意可知， 有三个值，
分别为、、
．
故最多有3个不同的值．
故答案为：3.
12．（2023春·上海浦东新·高一上海市洋泾中学校考期中）已知 三点共线于直线，对直线外任意一点，都有，则的最小值为________．
【答案】
【分析】先由A、B、C三点共线，得到，利用基本不等式“1”的妙用求最值.
【详解】由题意，A、B、C三点共线
所以存在实数λ使得，即，
所以
而
所以
则，
所以
当且仅当,即时取等号．
因此的最小值为．
故答案为：．
二、单选题
13．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）设是某地区平均气温（摄氏度）关于时间（月份）的函数.下图显示的是该地区1月份至12月份的平均气温数据，函数近似满足.下列函数中，最能近似表示图中曲线的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】结合题意和函数图象，结合三角函数的性质求解即可.
【详解】由题意，，即.
由图可知，，解得，，
此时，
将点代入解析式，
可得，即，
所以，，
即，取，，
所以.
故选：A.
14．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）已知是第一象限角，那么（ ）
A．是第一、二象限角B．是第一、三象限角
C．是第三、四象限角D．是第二、四象限角
【答案】B
【分析】由是第一象限角，可得，，进而得到，，进而求解.
【详解】因为是第一象限角，
所以，，
所以，，
当为偶数时，是第一象限角，
当为奇数时，是第三象限角，
综上所述，第一、三象限角.
故选：B.
15．（2022春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】取AB的中点D，连接CD，由已知向量等式可得AB与CD垂直，从而得到三角形为等腰三角形.
【详解】若，取AB的中点D，连接CD，则，
即AB与CD垂直且D为AB的中点，所以可得CB=CA，即三角形为等腰三角形.
故选：C
16．（2022春·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）已知、是任意一个锐角三角形的两个内角，下面式子一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的单调性，对数的性质或特殊值进行判定.
【详解】由题意得，所以，
所以，即，A正确；
因为，所以，B不正确；
当时，，C不正确；
由，所以，所以，
所以，D不正确.
故选：．
三、解答题
17．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）（1）已知单位向量、的夹角为，与垂直，求；
（2）已知向量，，，若，求.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据数量积的定义求出，依题意可得，根据数量积的运算律计算可得；
（2）首先求出，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】（1）因为单位向量、的夹角为，所以，
又与垂直，所以，即，
即，解得；
（2）因为，，所以，
又且，
所以，解得.
18．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）如图，直角梯形中，为线段（不含端点）上一个动点，设，对于函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)是否存在，使得函数有最小值0.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，结合平面向量线性运算和数量积的坐标表示可得，当时，，结合二次函数的性质即可求解；
（2）由（1）知，，结合对称轴及二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）如图，以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
所以，，，，
所以，，，
因为，
所以，
，
所以，
当时，，对称轴为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
而时，；时，；时，.
所以函数的值域为.
（2）由（1）知，，对称轴为，
当，即时，函数在上单调递减，
此时没有最小值，不符合题意；
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，
即.
所以存在，使得函数有最小值0.
19．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）已知函数.
(1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值；
(2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和.
【答案】(1)函数的最小值，此时的值为
(2)答案见解析
【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数性质运算求解；
（2）以为整体，结合正弦函数分析运算.
【详解】（1）∵
，
即，
令，解得，
故函数的最小值，此时的值为.
（2）由（1）可知：，
∵，则，，
故，且，
结合正弦函数可得：若在上有四个不同的根，则的取值范围为，
设在上的四个不同的根由小到大依次为，
当时，则，
整理得，故；
当时，则，
整理得，故；
综上所述：当时，四个根之和为；
当时，四个根之和为.
20．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知：、是同一平面内的两个向量，其中．
(1)若且与垂直，求与的夹角 ；
(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量垂直得数量积为0，即可得，再根据夹角余弦公式求余弦值，即可得夹角大小；
（2）利用向量的坐标运算，结合数量积的符号与夹角的关系列不等式求解即可.
【详解】（1）解：由得，即 ，所以，
得，又，所以；
（2）解：因为，，所以
所以，则，
由得，
由与与的夹角为锐角，所以
21．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）在中，分别为内角所对的边，且
(1)求的大小；
(2)现给出三个条件：（1）；（2）；（3）.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择，并以此为依据求的面积（写出一种可行的方案即可）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）结合正弦定理边角互化变形即可求解
（2）选择（1）（3），利用余弦定理、三角形的面积公式即可求解；选择（1）（2），利用正弦定理、三角形的面积公式即可求解；选择（2）（3），三角形不存在
【详解】（1）由正弦定理可得：，
得，
又，得，又，所以；
（2）（i）选择（1）（3），
将，代入可得，
解得，所以，
（ii）选择（1）（2），
由，
又，
所以，
（iii）选择（2）（3），
由，可得，
所以由正弦定理可得即与矛盾，
故这样的三角形不存在．