核心考点01 三角-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）

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考点一：任意角的三角函数的定义 考点二：三角函数值的符号
考点三：诱导公式 考点四：运用诱导公式化简求值
考点五：同角三角函数间的基本关系 考点六：三角函数恒等式的证明
考点七：两角和与差的三角函数 考点八：二倍角的三角函数
考点九: 半角的三角函数 考点十：三角函数的恒等变换及化简求值
考点十一：正弦定理 考点十二：余弦定理
考点十三：解三角形
考点考向
一．任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cs α＝x，tan α＝．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
二．三角函数值的符号
【知识点的知识】
三角函数值符号记忆口诀
记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
三．诱导公式
【概述】
三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．
【公式】
①正弦函数：表达式为y＝sinx；
有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx； sin（π﹣x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函数：表达式为y＝csx；
有cs（π+x）＝cs（π﹣x）＝﹣csx，cs（﹣x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函数：表达式为y＝tanx；
tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（﹣x）＝ctx，tan（π+x）＝tanx
④余切函数：表达式为y＝ctx；
ct（﹣x）＝﹣ctx，ct（﹣x）＝tanx，ct（π+x）＝ctx．
【应用】
1、公式：
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cs（π+α）＝﹣cs_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cs（﹣α）＝cs_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs_α．
公式五：sin＝cs_α，cs＝sin α．
公式六：sin＝cs_α，cs＝﹣sin_α
2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
3、在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．
（2）和积转换法：利用（sin θ±cs θ）2＝1±2sin θcsθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cs2θ＝cs2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．
4、注意：
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
四．运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
五．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cs（π+α）＝﹣cs_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cs（﹣α）＝cs_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs_α．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcs_α；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
六．三角函数恒等式的证明
【知识点的认识】
三角函数恒等式：
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝csα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣csα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cs（2π﹣α）＝csα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）═﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
七．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
八．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
九．半角的三角函数
【半角的三角函数】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．
十．三角函数的恒等变换及化简求值
【概述】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
【公式】
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函数有y＝cs（2kπ+x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝ctx，
④余切函数有y＝ct（﹣x）＝tanx，ct（kπ+x）＝ctx．
十一．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
十二．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
十三．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
十四．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝csα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣csα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝ctα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣ctα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
考点精讲
一．任意角的三角函数的定义（共3小题）
1．（2022春•奉贤区校级月考）设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα＝ ﹣ ．
【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．
【解答】解：设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），
所以sinα＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2．（2022春•虹口区校级期末）如图所示，角α的终边与单位圆交于点P，已知点P的坐标为（﹣3，4），则sin2α＝ ﹣ ．
【分析】利用任意角的三角函数的定义，可求得sinα与csα的值，再利用二倍角的三角函数可得答案．
【解答】解：∵角α的终边与单位圆交于点P的坐标为（﹣3，4），
∴r＝|OP|＝＝5，
∴sinα＝＝，csα＝＝﹣，
∴sin2α＝2sinαcsα＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查二倍角的三角函数，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（2022春•浦东新区校级期中）（1）已知角α的终边经过点P（x，6），且，求sinα和tanα的值．
（2）已知，，且，求角β．
【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得x的值，可得点P的坐标，从而得到sinα和tanα的值．
（2）由题意先求出sinα、cs（α﹣β）的值，可得csβ＝cs[（α﹣（α﹣β）]的值．
【解答】解：（1）∵角α的终边经过点P（x，6），且＝，∴x＝﹣，∴，
∴，．
（2）由，得，．
由，得，再根据，可得，
所以，，
又，∴．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题．
二．三角函数值的符号（共3小题）
4．（2022春•奉贤区校级月考）如果角α是第三象限角，则点P（tanα，sinα）位于第 四 象限．
【分析】由三角函数在各个象限的符号，可得结论．
【解答】解：角α是第三象限角，可得tanα＞0，sinα＜0，
则点P（tanα，sinα）位于第四象限，
故答案为：四．
【点评】本题考查三角函数在各个象限的符号，考查推理能力，属于基础题．
5．（2022春•杨浦区校级期中）若角α是第四象限角，且，则角是第（ ）象限角
A．一B．二C．三D．四
【分析】利用已知条件判断cs的符号，然后判断角所在象限．
【解答】解：α是第四象限角，可得：2kπ﹣＜α＜2kπ，k∈Z，
∴kπ﹣＜＜kπ，k∈Z，
且|cs|＝﹣cs，
∴cs＜0，∴2kπ+＜＜2kπ+，k∈Z，．
∴2kπ+＜＜2kπ+π，k∈Z．
是第二象限角．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的值的符号，象限角的判断等基本知识，是基础题．
6．（2022春•黄浦区校级期中）已知θ是第三象限角，且满足，则的终边在第 二 象限．
【分析】由θ是第三象限角，可得为第二或第四象限角，结合|sin|＝sin求得答案．
【解答】解：∵θ是第三象限角，∴π+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，
则+kπ＜＜+kπ，k∈Z，即为第二或第四象限角，
又|sin|＝sin，
∴为第二象限角，
故答案为：二．
【点评】本题考查三角函数值的符号，考查了象限角的概念，属于基础题．
三．诱导公式（共2小题）
7．（2022春•浦东新区校级月考）化简：＝ ﹣1 ．
【分析】由题意，直接利用诱导公式化简，即可得到代数的化简结果
【解答】解：由题意＝••＝﹣1
故答案为﹣1
【点评】本题考查利用诱导公式化简求值，解答的关键是熟练记忆诱导公式并能准确利用诱导公式化简
8．（2022春•虹口区校级月考）已知，则值为 ．
【分析】由于+＝π，利用互为补角的诱导公式即可．
【解答】解：∵+＝π，sin（π﹣α）＝sinα，
∴sin＝sin（π﹣）＝sin，
又，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查诱导公式的作用，关键在于观察到+＝π，再用互为补角的诱导公式即可，属于基础题．
四．运用诱导公式化简求值（共3小题）
9．（2022春•嘉定区校级期末）已知，且α是第二象眼角，则cs（α﹣π）＝ ．
【分析】利用诱导公式可求得sinα＝，利用同角三角函数间的关系求得csα，进而可得答案．
【解答】解：∵，
∴sinα＝，
又α是第二象眼角，
∴csα＝﹣＝﹣，
∴cs（α﹣π）＝﹣csα＝，
故答案为：．
【点评】本题考查诱导公式与同角三角函数间的关系式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
10．（2022春•普陀区校级期中）已知tanα＝﹣3，则＝ ．
【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
【解答】解：因为tanα＝﹣3，
所以＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11．（2022春•奉贤区校级月考）化简：+．
【分析】由题意，利用诱导公式，计算求得结果．
【解答】解：+＝+
＝﹣sinα+sinα＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
五．同角三角函数间的基本关系（共7小题）
12．（2022春•浦东新区校级期末）已知tanα＝3，则sin2α﹣sinαcsα﹣2cs2α的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先把所求式子分母添1，然后1代换成sin2α+cs2α，再由已知结合同角商的关系进行化简即可求解．
【解答】解：因为tanα＝3，
则sin2α﹣sinαcsα﹣2cs2α＝＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了1的代换及同角基本关系的应用，属于基础题．
13．（2022春•黄浦区校级期中）已知，则tanα＝ 2 ．
【分析】将已知等式去分母，化简整理得sinα＝2csα，再由同角三角函数的基本关系，可算出tanα的值．
【解答】解：∵，
∴去分母，得sinα+csα＝3（sinα﹣csα）
解之得sinα＝2csα，可得tanα＝＝2
故答案为：2
【点评】本题给出α的正弦、余弦的等式，求α的正切之值．着重考查了同角三角函数的基本关系的知识，属于基础题．
14．（2022春•浦东新区校级期中）已知，α是第四象限角，则sinα的值是 ﹣ ．
【分析】由已知结合同角平方关系即可直接求解．
【解答】解：因为，α是第四象限角，
则sinα＝﹣＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了同角平方关系，属于基础题．
15．（2022春•浦东新区校级月考）已知α满足，那么2sin2α﹣cs2α＝ 1 ．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可化简求解．
【解答】解：因为，
所以2sin2α﹣cs2α＝＝＝＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
16．（2022春•青浦区校级月考）已知，求的值．
【分析】根据同角三角函数的商数关系将弦化切，再代入求值即可．
【解答】解：因为，
所以＝＝＝0．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
17．（2022春•奉贤区校级月考）已知，求下列代数式的值．
（1）tanα；
（2）sin2α+sinαcsα+cs2α．
【分析】（1）把已知等式左边分子分母同时除以csα，即可得到关于tanα的方程，求解得答案；
（2）结合平方关系，再化弦为切求解．
【解答】解：（1）由，得，解得tanα＝2；
（2）sin2α+sinαcsα+cs2α＝
＝＝＝．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
18．（2022春•浦东新区校级月考）已知＜α＜，tanα+ctα＝﹣．
（1）求tanα的值；
（2）求5sin2+8sincs+11cs2的值．
【分析】（1）直接利用三角函数的值和一元二次方程的解法的应用求出结果．
（2）利用（1）的结论和三角函数的倍角公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）已知＜α＜，tanα+ctα＝﹣，
整理得，
整理得：3tan2+10tanα+3＝0，
解得；
由于＜α＜，
所以tanα＝﹣3；
（2）由（1）得tanα＝﹣3；
所以，；
故5sin2+8sincs+11cs2＝＝＝．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
六．三角函数恒等式的证明（共3小题）
19．（2021春•徐汇区校级月考）（1）已知，化简：；
（2）已知，证明：（1+tanα）（1+tanβ）＝2．
【分析】（1）由已知可求sinα＞csα＞0，进而根据二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简得解．
（2）可得tan（α+β）＝1，由两角和的正切公式的变形公式易得（1+tanα）（1+tanβ）＝2，即可得证．
【解答】解：（1）∵，
∴sinα＞csα＞0，
∴＝+sinα﹣csα﹣（sinα+csα）＝2csα+sinα﹣csα﹣sinα﹣csα＝0；
（2）证明：∵α+β＝，
∴tan（α+β）＝1，
∴左边＝（1+tanα）（1+tanβ）＝1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝1+tan（α+β）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ＝2＝右边，得证．
【点评】本题考查二倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20．（2021春•松江区期末）（1）已知角α终边上有一点P的坐标是（3a，﹣4a），其中a＞0，求2sinα+csα的值；
（2）证明恒等式：＝．
【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义可求sinα，csα，即可计算得解．
（2）利用三角函数恒等变换的应用证明等式左边＝右边即可．
【解答】解：（1）∵角α的终边上有一点P的坐标是（3a，﹣4a），其中a＞0，
∴x＝3a，y＝4a，r＝5a，
可得sinα＝＝﹣，csα＝＝，
∴2sinα+csα＝2×+＝﹣1；
（2）证明：左边＝＝＝＝＝＝右边，得证．
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，三角函数恒等变换的应用，属于基础题．
21．（2021春•杨浦区校级期中）在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（1）若a+c＝2b，求角B的最大值；
（2）若a+c＝mb（m＞1），
（i）证明：；
（可能运用的公式有）
（ii）是否存在函数φ（m），使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的φ（m），并证明之；若不存在，请给出一个理由．
【分析】（1）由题意及余弦定理和均值不等式可得csB的最小值，再由B的范围可得B的最大值；
（2）（i）由题意及直线定理可得sinA+sinC＝msinB，
再由和差化积即三角形内角和为π可得，将B化为A，C的关系，进而可证的结论；
（ii）由（i）可得正切的关系及正切的半角公式可得＝，展开整理可得＝﹣1，再与代数式比较可得存在φ（m），且
φ（m）＝﹣．
【解答】解：（1）由a+c＝2b，
所以由余弦定理可得csB＝＝＝＝，
当且仅当a＝c时csB最小，B∈（0，π），
所以Bmax＝；
（2）（i）：证明：因为a+c＝mb（m＞1），由正弦定理可得＝＝，
所以可得sinA+sinC＝msinB，
所以2sin•cs＝2msin•cs，
因为＝，
所以cs＝mcs，
展开整理可得（1+m）sinsin＝（m﹣1）cscs，
故tan•tan＝；
（ii）由（i）可得tan•tan＝及半角公式可得tan＝＝可得
（tantan）2＝••＝＝，
对其展开整理可得4m﹣2（m2+1）（csA+csC）＝﹣4mcsAcsC，
＝﹣4m，
即＝，
即＝﹣1，
与原三角式作比较可得φ（m）存在，且φ（m）＝﹣．
【点评】本题考查正余弦定理及半角公式的应用和和差化积公式的应用，属于中档题．
七．两角和与差的三角函数（共9小题）
22．（2022春•奉贤区校级月考）已知，，且．则α﹣β是（ ）
A．第一象限的角B．第二象限的角
C．第三象限的角D．第四象限的角
【分析】由同角三角函数的平方关系求得csα和sinβ的值，并利用两角差的正弦公式可得sin（α﹣β）的值，再结合α﹣β的取值范围求解．
【解答】解：由题意知，csα＝﹣＝﹣，sinβ＝＝，
因为，所以α﹣β∈（﹣，），
所以sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ＝×（﹣）﹣（﹣）×＝＜0，
所以α﹣β∈（﹣，0），即α﹣β是第四象限的角．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数求值，熟练掌握两角差的正弦公式，同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
23．（2022春•浦东新区校级期中）已知f（x）＝tanx，若存在，使得f（α）﹣f（β）＝2，则α﹣β（ ）
A．有最大值，有最小值B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值
【分析】由已知结合两角差的正切公式进行变形，然后结合二次函数性质即可求解．
【解答】解：因为，
所以tanα＞0，tanβ＞0，（1+tanβ）2＞1，
因为f（α）﹣f（β）＝tanα﹣tanβ＝2，
则tan（α﹣β）＝＝＝＝∈（0，2），
即没有最大值，也没有最小值．
故选：D．
【点评】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于中档题．
24．（2022春•松江区校级期末）已知sinx＝，x∈（，π），则tan（x）＝ ．
【分析】先利用同角三角函数的关系式，求得tanx的值，再由两角和的正切公式展开，代入数据，运算即可．
【解答】解：因为sinx＝，x∈（，π），
所以csx＝﹣＝﹣，tanx＝＝﹣，
所以tan（x）＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的关系式，两角和的正切公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
25．（2022春•普陀区校级期中）函数y＝2sinxcsx﹣2sin2x+1，x∈[0，π]的单调递减区间为 ．
【分析】化简可得y＝sin（2x+），再根据正弦函数的单调性，得解．
【解答】解：y＝2sinxcsx﹣2sin2x+1＝sin2x+cs2x＝sin（2x+），
令2x+∈[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，则x∈[kπ+，kπ+]，k∈Z，
因为x∈[0，π]，所以x∈[，]．
故答案为：[，]．
【点评】本题考查三角函数的综合，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式，正弦函数的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
26．（2022春•杨浦区校级期中）在△ABC中，已知tanA，tanB是x的方程x2+m（x+1）+1＝0的两个实根，则∠C＝ ．
【分析】结合韦达定理与两角和的正切公式，可得tanC＝﹣1，从而得解．
【解答】解：∵tanA、tanB是关于x的方程x²+m（x+1）+1＝0的两个实根，
∴tanA+tanB＝﹣m，tanAtanB＝m+1，
∴tanC＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣1，
∵C∈（0，π），
∴C＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的性质，考查韦达定理的应用，是基础题．
27．（2022•闵行区校级开学）（1）已知α、β∈（0，π），，，求csβ．
（2）化简：．
【分析】（1）由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解；
（2）结合二倍角公式，同角基本关系，诱导公式进行化简即可求解．
【解答】解：（1）因为α、β∈（0，π），，
所以tanα＝＝＝，
所以sinα＝，cs，
α∈（0，π），β∈（0，π），
所以，
因为∈（0，），
所以，
所以cs（α+β）＝，
故csβ＝cs[（α+β）﹣α]＝cs（α+β）csα+sin（α+β）sinα＝﹣＝﹣；
（2）＝＝＝＝．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式，诱导公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
28．（2022春•浦东新区校级期末）已知函数，x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）不等式|f（x）﹣m|＜3对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换，正弦函数的单调性，得出结论．
（2）由题意，由不等式可得sin（2x﹣）∈[，]，利用正弦函数的定义域和值域，可得sin（2x﹣）∈[，1]，根据[，1]⊆[，]，求得m的范围．
【解答】解：（1）∵函数＝2sin（2x﹣），x∈R，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（2）不等式|f（x）﹣m|＜3对任意的恒成立，
即|2sin（2x﹣）﹣m|＜3对任意的恒成立，
即sin（2x﹣）∈[，]，
∵2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]．
由题意，可得[，1]⊆[，]，
∴≤，且≥1，求得﹣1≤m≤4，故实数m的取值范围为[1，4]．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．
29．（2022春•普陀区校级期末）对闭区间I，用NI表示函数y＝f（x）在I上的最小值．
（1）设y＝f（x）＝sinx﹣csx，求的值；
（2）设，且y＝f（x）偶函数，，求n﹣m的最大值；
（3）设，若有且仅有一个正数a使得N[0，a]＝kN[a，2a]（k＞0）成立，求正实数k的取值范围．
【分析】（1）先化简f（x），再结合所给区间求解的值；
（2）先利用偶函数求出a，再利用，求出n﹣m的最大值；
（3）根据题意分段讨论，求出k，a的关系式，结合简图可得答案．
【解答】解：（1），
因为，所以，
所以，所以N＝﹣．
（2）因为为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），
，整理得，
所以，此时，
因为，所以，即，
解得，所以n﹣m的最大值为．
（3），
当时，N[0，a]＝﹣sina，N[a，2a]＝﹣sin2a＝﹣2sinacsa，
由﹣sina＝﹣2ksinacsa，得，
当时，N[0，a]＝﹣sina，N[a，2a]＝﹣1，所以k＝sina；
当时，N[0，a]＝﹣1，N[a，2a]＝﹣sina，所以；
当时，，所以；
当时，，所以k＝1；
所以，
作出简图，
由图可知，k的取值范围是．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用，属于难题．
30．（2022春•奉贤区校级月考）已知α是第三象限的角且tanα＝3．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）利用“同除余弦可化切的思想”，即可得解；
（2）由同角三角函数的关系求得csα和sinα的值，再结合两角和的正弦公式求解．
【解答】解：（1）＝＝＝．
（2）因为α是第三象限的角，且tanα＝3，所以csα＝﹣，sinα＝﹣
所以＝sin（α+）＝（sinα+csα）
＝（﹣﹣）＝﹣．
【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
八．二倍角的三角函数（共5小题）
31．（2022春•杨浦区校级期末）若角α的终边落在第三象限内，且cs（+α）＝，则cs2α＝ ．
【分析】由已知结合诱导公式进行化简先求出sinα，然后结合二倍角公式即可求解．
【解答】解：因为角α的终边落在第三象限内，且cs（+α）＝＝﹣sinα，
所以sinα＝﹣，
所以cs2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式及二本倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
32．（2022春•浦东新区校级期中）方程cs2x﹣csx＝0在区间[0，π]上的解集为 ．
【分析】由已知结合二倍角的余弦公式可求csx，进而可求x．
【解答】解：由cs2x﹣csx＝2cs2x﹣csx﹣1＝0得csx＝1或csx＝﹣，
因为x∈[0，π]，
所以x＝0或x＝．
故答案为：{0，}．
【点评】本题主要考查了二倍角的余弦公式，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
33．（2022春•浦东新区校级月考）（1）已知，α∈（0，π）．求cs2α的值；
（2）已知，且，，求角β的值．
【分析】（1）将已知等式两边平方可得2sinαcsα＝﹣＜0，可求范围α∈（，π），可得csα﹣sinα的值，进而根据二倍角公式即可计算得解．
（2）先利用平方关系式结合角的范围求出sinα和cs（α+β），然后用已知三角函数值的角α和α+β表示要求解的角β，β＝（α+β）﹣α，利用两角差的正弦公式求解β的正弦值，进而求出角β．
【解答】解：（1），α∈（0，π），
两边平方，可得1+2sinαcsα＝，可得2sinαcsα＝﹣＜0，
所以α∈（，π），可得sinα＞0，csα＜0，
所以csα﹣sinα＝﹣＝﹣＝﹣，
所以cs2α＝（csα﹣sinα）（csα+sinα）＝﹣×＝﹣．
（2）∵csα＝，0＜α＜，
∴sinα＝，
∵sinα＝，，，
∴sin（α﹣β）＝，
∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]
＝cs（α﹣β）sinα﹣sin（α﹣β）csα＝×﹣×＝，
又∵0＜β＜，
∴β＝．
∴角β的值为．
【点评】本题考查了二倍角公式，平方关系式及两角和差公式，解决这类题目的关键是“拆角”，把要求解的角用给出三角函数值的角表示．
34．（2022春•浦东新区校级期中）已知tanα＝﹣，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解；
（2）利用倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．
【解答】解：（1）因为tanα＝﹣，
所以＝＝＝﹣；
（2）＝＝＝tanα＝﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
35．（2022春•闵行区期中）已知，α是第三象限角，则＝（ ）
A．±2B．C．﹣2D．
【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式可求csα的值，可求范围kπ+＜＜kπ+，k∈Z，可得tan＜0，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为，α是第三象限角，
所以csα＝﹣＝﹣，
即2kπ+π＜α＜2kπ+，k∈Z，
所以kπ+＜＜kπ+，k∈Z，
所以tan＜0，
而sin2＝，cs2＝，
所以tan2＝＝＝＝4，
所以tan＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
九．半角的三角函数（共2小题）
36．（2022春•青浦区校级月考）已知θ是第二象限，，则＝ ．
【分析】将正切转化成正弦与余弦，利用二倍角公式，即可解出．
【解答】解：∵θ是第二象限，，
∴csθ＝﹣＝﹣，
tan＝＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的计算，学生的数学运算能力，属于基础题．
37．（2022春•浦东新区校级月考）已知α是第三象限角，，则的值是 ．
【分析】先根据α为第三象限角确定的范围，进而利用万能公式利用求得tan的值．
【解答】解：∵α是第三象限角，
∴2kπ+π＜α＜2kπ+
∴kπ+＜＜kπ+
∴tan＜﹣1
sinα＝＝﹣，整理得12tan2+25tan+12＝0
求得tan＝﹣或﹣（排除）
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了万能公式的化简求值．考查了学生对三角函数基本公式的掌握．
一十．三角函数的恒等变换及化简求值（共2小题）
38．（2022春•徐汇区校级月考）（1）上课不认真听讲的某同学将两角和的余弦定理错误地记忆为：cs（α+β）＝csαcsβ+sinαsinβ，老师给定了α和β值，该同学用错误的公式计算cs（α+β）的值，结果居然与正确答案相同，请问：老师给出的α和β值分别是什么？（请写出至少三组答案）
（2）有了上次侥幸的喜悦后，该同学继续我行我素，又想当然的认为ct（α+β）＝，请问：是否存在某些α和β，可以让该同学继续“混对”答案？若存在α和β，请求出，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）化简cs（α﹣β）＝cs（α+β），能求出结果．
（2）化简已知得tan2（α+β）＝﹣1，能求出结果．
【解答】解：（1）由cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ，
错误公式得cs（α+β）＝csαcsβ+sinαsinβ，
当cs（α﹣β）＝cs（α+β）时，
csαcsβ﹣sinαsinβ＝csαcsβ+sinαsinβ，
∴2sinαsinβ＝0，
∴或，
∴老师给出 的可能是cs（），cs（），cs（2）等．
（2）∵＝＝＝﹣tan（α+β），
若该同学能继续“混对”，则＝﹣tan（α+β），
∴tan2（α+β）＝﹣1，无解，
∴不存在α和β，可以让该同学继续“混对”答案．
【点评】本题考查三角函数的运算，考查两角和与差的余弦函数、正切函数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
39．（2022•闵行区校级开学）已加x，y均为正数，，且满足，，则的值为 ．
【分析】，利用sin2θ+cs2θ＝1，将sin2θ，cs2θ分别表示出来，再根据已知等式，可把的整体值求出来，要注意取舍．
【解答】解：因为，所以＝，
而sin2θ+cs2θ＝1，所以sin2θ＝，cs2θ＝，
由+＝，得+＝，因此＝4或＝，
因为x，y均为正数，，∴y＞x，＝．
故答案为：．
【点评】本题考查同角三角函数关系，考查观察能力，属于中档题．
一十一．正弦定理（共6小题）
40．（2022春•闵行区校级期中）在△ABC中，已知A＝30°，b＝18，设a＝x（x＞0）．以下说法错误的是（ ）
A．若△ABC有两解，x∈（9，18）
B．若△ABC有唯一解，x∈[18，+∞）
C．若△ABC无解，x∈（0，9）
D．当x＝10，△ABC外接圆半径为10
【分析】由题意利用正弦定理即可判断得解．
【解答】解：在△ABC中，A＝30°，b＝18，设a＝x（x＞0），可得bsinA＝9，
对于A，bsinA＜x＜b有两解，即9＜x＜18，故正确；
对于B，当x＝bsinA或x≥b，△ABC只有一解，可得x＝9或x≥18，故错误；
对于C，当x＜bsinA＝9，且x＞0，△ABC无解，故正确；
对于D，当x＝10，a＝10，设外接圆半径为R，则2R＝＝20，可得R＝10，故正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
41．（2022春•奉贤区校级期末）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若C＝105°，a＝，A＝45°，则b＝ 4 ．
【分析】直接利用正弦定理的应用求出结果．
【解答】解：由于C＝105°，a＝，A＝45°，
所以B＝30°，
利用正弦定理，整理得b＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
42．（2022春•闵行区校级期中）在△ABC中，已知A＝，AB＝3，AC＝2，则△ABC的外接圆半径R＝ ．
【分析】先利用余弦定理求得BC的长，再由正弦定理，得解．
【解答】解：由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcsA＝9+4﹣2×3×2×＝7，
所BC＝，
由正弦定理知，2R＝＝＝，
所以R＝．
故答案为：．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理和余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
43．（2022春•徐汇区校级期中）已知△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求∠C的大小；
（2）若a﹣b＝1，，求三角形的周长．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式，同角基本关系进行化简可求tanC，进而可求C；
（2）由已知结合余弦定理可求ab，进而可求a+b，从而可求三角形周长．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理得sinCsinA＝sinAcs（C﹣），
因为sinA＞0，
所以sinC＝cs（C﹣）＝csC+sinC，
即tanC＝，
由C为三角形内角得C＝；
（2）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcsC＝a2+b2﹣ab＝（a﹣b）2+ab＝1+ab＝7，
所以ab＝6，
又a﹣b＝1，
所以（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25，
所以a+b＝5，
故三角形的周长为a+b+c＝5+．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
44．（2022春•奉贤区校级月考）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若2sinAcsB+sinC＝2sin（A+B），判断△ABC的形状．
【分析】（1）由题意，可得tan（A+B）的值，从而得到A+B的值．
（2）由题意，可得sin（A﹣B）＝0，故有A＝B，由此可得结论．
【解答】解：（1）△ABC中，由，可得tanA+tanB＝（1﹣tanAtanB），
则tan（A+B）＝＝，
因为0＜A+B＜π，可得A+B＝，
所以C＝π﹣（A+B）＝．
（2）∵2sinAcsB+sinC＝2sin（A+B），即2sinAcsB+sin（A+B）＝2sin（A+B），
∴2sinAcsB＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，∴sinAcsB＝csAsinB，
∴sin（A﹣B）＝0，∴A＝B，
故△ABC为等腰三角形．
【点评】本题主要考查诱导公式、两角和差的三角公式，属于中档题．
45．（2022春•杨浦区校级期中）在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件△ABC．
（1）小宋的师傅拿出了一个工件样品△ABC，其中，求sinB，sinC的值；
（2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且AD＝1，并要求小宋加工的工件△ABC的BC边经过点D，则：
①用角B表示工件△ABC的面积S；
②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小．
【分析】（1）由已知结合二倍角公式进行简可求B，然后结合三角形内角和定理可求C；
（2）①结合正弦定理先用含B的三角函数表示b，c，然后结合三角形面积公式可求S；
②由二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求．
【解答】解：（1）因为，所以且B为三角形内角，
所以或B＝，
所以或C＝．
所以或sinB＝，．
（2）①在△ABD和△ACD中由正弦定理，得＝，＝，
所以，
于是；
②利用二倍角公式和积化和差公式可得
由题意可得．所以
当即时，S取到最小值．
【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，三角形面积公式及正弦函数的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．
一十二．余弦定理（共4小题）
46．（2022春•宝山区校级期中）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则b＝ 4 ．
【分析】利用余弦定理，即可得解．
【解答】解：由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccsA，
所以5＝b2+4﹣4b×，化简得（4b+1）（b﹣4）＝0，
解得b＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查解三角形中余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
47．（2022春•奉贤区校级期末）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，三角形的面积等于，则AB的长为 ，或 ．
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将AC与BC，以及已知面积代入求出sinC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出csC的值，利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及csC的值代入即可求出AB的长．
【解答】解：∵在△ABC中，AC＝3，BC＝4，三角形的面积等于，
∴AC•BC•sinC＝sinC＝3，解得sinC＝，
∵C为三角形内角，
∴csC＝±＝±，
∴由余弦定理得：AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•csC＝16+9±12＝13，或37，
解得：AB＝，或．
故答案为：，或．
【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
48．（2022•浦东新区校级二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝3，c＝，B＝45°．
（1）求sinC的值；
（2）在边BC上取一点D，使得cs∠ADC＝﹣，求tan∠DAC的值．
【分析】（1）由题意及余弦定理求出b边，再由正弦定理求出sinC的值；
（2）三角形的内角和为180°，cs∠ADC＝﹣，可得∠ADC为钝角，可得∠DAC与∠ADC+∠C互为补角，所以sin∠DAC＝sin（∠ADC+∠C）展开可得sin∠DAC及cs∠DAC，进而求出tan∠DAC的值．
【解答】解：（1）因为a＝3，c＝，B＝45°．，由余弦定理可得：b＝＝＝，
由正弦定理可得＝，所以sinC＝•sin45°＝＝，
所以sinC＝；
（2）因为cs∠ADC＝﹣，所以sin∠ADC＝＝，
在三角形ADC 中，易知C为锐角，由（1）可得csC＝＝，
所以在三角形ADC中，sin∠DAC＝sin（∠ADC+∠C）＝sin∠ADCcs∠C+cs∠ADCsin∠C＝，
因为∠DAC，所以cs∠DAC＝＝，
所以tan∠DAC＝＝．
【点评】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
49．（2022春•浦东新区校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2+c2+ac＝b2．
（1）求角B的大小；
（2）设BC的中点为D，且，求a+2c的取值范围．
【分析】（1）利用余弦定理求出csB的值，再根据角B的取值范围，求出B即可；
（2）设∠BAD＝θ，先求出，然后利用正弦定理求出a和c，表示出a+2c，再利用两角和差公式和辅助角公式进行化简变形，然后利用正弦函数的性质求解取值范围即可．
【解答】解：（1）因为a2+c2+ac＝b2，
由余弦定理可得，csB＝，
因为0＜B＜π，
所以B＝；
（2）设∠BAD＝θ，
在△ABD中，由B＝，则，
由正弦定理以及，可得，
所以a＝4sinθ，c＝2sin（），
故a+2c＝
＝
＝，
因为，
所以，
故，
所以a+2c∈，
故a+2c的取值范围为．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，两角和差公式和辅助角公式的应用，正弦函数性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
一十三．解三角形（共6小题）
50．（2022春•浦东新区校级期末）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）海里．
A．20B．C．D．
【分析】根据题意画出图象确定∠BAC、∠ABC的值，进而可得到∠ACB的值，根据正弦定理可得到BC的值．
【解答】解：如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，
从而∠ACB＝45°．
在△ABC中，由正弦定理可得BC＝×sin30°＝10．
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，考查三角形的解法，属于基本知识的考查．
51．（2022•闵行区校级开学）在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的对应边，则
①若a＞b，则f（x）＝（sinA﹣sinB）•x在R上是增函数；
②若a2﹣b2＝（acsB+bcsA）2，则△ABC是Rt△；
③csC+sinC的最小值为；
④若cs2A＝cs2B，则A＝B；
⑤若（1+tanA）（1+tanB）＝2，则，
其中错误命题的序号是 ③⑤ ．
【分析】对于①，结合正弦定理，即可求解；
对于②，结合余弦定理，以及勾股定理，即可求解；
对于③，结合正弦函数型的有界性，即可求解；
对于④，根据已知条件，推得cs2A＝cs2B，即可求解；
对于⑤，结合正切的两角和公式，即可求解．
【解答】解：①∵a＞b，
∴由正弦定理可得，sinA＞sinB，即sinA﹣sinB＞0，
∴f（x）＝（sinA﹣sinB）x在R上是增函数，故①正确；
②acsB+bcsA＝，
故a2﹣b2＝（acsB+bcsA）2＝c2，即a2＝b2+c2，
故△ABC是Rt△；
③，
∵0＜C＜π，
∴，即，
故取不到最小值为，故③错误；
④cs2A＝cs2B，
则A＝B或2A＝2π﹣2B（舍去），
故A＝B；
⑤（1+tanA）（1+tanB）＝2，
则1+tanA+tanB+tanA•tanB＝2，即1﹣tanAtanB＝tanA+tanB，
故，即tan（A+B）＝1，
故A+B＝，故⑤错误；
故其中错误命题的序号是③⑤．
故答案为：③⑤．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
52．（2022春•浦东新区校级期中）如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD和EF．小明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）且不渡过河的条件下，为了计算塔CD的高度，他在点A测得点D的仰角为30°，∠CAB＝75°，又选择了相距100米的B点，测得∠ABC＝60°．
（1）请你根据小明的测量数据求出塔CD高度；
（2）在完成（1）的任务后，小明想要计算两塔顶之间的距离DF，在测得∠BAE＝90°之后，小明准备再测量两个角的大小，并为此准备了如下四个方案：
方案①：测量∠ABF和∠DAF
方案②：测量∠ABE和∠EAF
方案③：测量∠ABE和∠ECF
方案④：测量∠ABF和∠AFB
请问：小明的备选方案中有哪些是可行的？写出所有可行方案的序号；
（3）选择（2）中的一种方案，并结合以下数据，计算出两塔顶DF之间的距离，精确到米．∠ABF＝58.0°，∠ABE＝50.2°，∠DAF＝16.7°，∠EAF＝41.5°，∠ECF＝53.8°，∠AFB＝32.0°．
【分析】（1）利用三角形内角和求出∠ACB，由正弦定理求出AC，在△ACD中，利用边角关系求解CD即可；
（2）分别利用三角形内角和定义以及余弦定理进行分析判断即可；
（3）利用（2）中的计算过程，代入数值计算即可．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
由正弦定理可得，，
所以米，
又由题意可知，DC⊥AC，∠DAC＝30°，
所以米；
（2）可行方案：①②③．理由如下：
由（1）知，米，
因为∠BAE＝90°，所以AB⊥AE，
由已知AB⊥EF，且AE∩EF＝E，
所以AB⊥平面AEF，又AF⊂平面AEF，
所以AB⊥AF，∠BAF＝90°，
①若已知∠ABF和∠DAF．
在直角△ABF中，AF＝AB•tan∠ABF，
在△ADF中，由余弦定理可得，．
②若已知∠ABE和∠EAF．
在直角△ABE中，AE＝AB•tan∠ABE，
因为∠EAC＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣75°＝15°，
所以在△EAC中，由余弦定理可得，，
在直角△AEF中，EF＝AE•tan∠EAF，
在EF上截取EG＝CD，则FG＝EF﹣EG，且四边形DCEG为矩形，故EC＝DG，
在直角△DGF中，．
③若已知∠ABE和∠ECF．
在直角△ABE中，AE＝AB•tan∠ABE，
因为∠EAC＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣75°＝15°，
所以在△EAC中，由余弦定理可得，，
在直角△ECF中，EF＝EC•tan∠ECF，
在EF上截取EG＝CD，则FG＝EF﹣EG，且四边形DCEG为矩形，故EC＝DG，
在直角△DGF中，．
④由于∠ABF和∠AFB在同一个三角形中，无法获取其他三角形中的边角关系，
故而无法利用正弦定理和余弦定理进行求解．
（3）选择方案①，解析如下：
∠ABF＝58.0°，∠DAF＝16.7°，
由（1）知，米．
由（2）中方案①知，在直角△ABF中，AF＝AB•tan∠ABF＝100•tan58.0°＝160.03米，
在△ADF中，由余弦定理可得，
＝，
故两塔顶DF之间的距离为47米．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了线面垂直的判定，逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题．
53．（2022春•浦东新区校级月考）市政部门要在一条道路路边安装路灯，如图所示截面中，要求灯柱AB与地面AD垂直，灯杆为线段BC，，路灯C采用锥形灯罩，射出光线范围为，A、B、C、D在同一平面内，路宽AD＝24米，设∠BAC＝θ（≤θ≤）．
（1）求灯柱AB的高h＝h（θ）；
（2）市政部门应该如何设置θ的值才能使路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01）
【分析】（1）在△ACD中与△ABC中，分别利用正弦定理即可求解；
（2）△ABC中，利用正弦定理可得：BC，再利用和差公式即可求解．
【解答】解：（1）在△ACD中，∠CDA＝θ+，
由＝，得AC＝＝16sin（θ+），
在△ABC中，∠ACB＝﹣θ，
由＝，得h＝＝32sin（θ+）sin（﹣θ）．
（2）△ABC中，
由＝，得BC＝＝32sin（θ+）sinθ，
∴AB+BC＝32sin（θ+）sin（﹣θ）+32sin（θ+）sinθ＝16sin2θ+8，
∵≤θ≤，≤2θ≤，
∴当θ＝时，AB+BC取得最小值8+8≈21.86．
故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米．
【点评】本题考查正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
54．（2022春•虹口区校级期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（1）当a，b，c满足时，求cs2B的值．
（2）在（1）条件下若，且sinA，sinB，sinC成等差数列，求△ABC的面积．
（3）若△ABC是锐角三角形，且满足，，求△ABC周长的取值范围．
【分析】（1）由余弦定理可得csB，进而由二倍角公式可求cs2B，
（2）由等差数列的性质，正弦定理可得a+c＝2b＝2，又结合（1）根据余弦定理可求ac的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
（3）由△ABC是锐角三角形，可求A的范围，进而可得a+c＝sinA+sinC，计算可求△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（1）由，可得csB＝＝，
所以cs2B＝2cs2B﹣1＝2×﹣1＝；
（2）由sinA，sinB，sinC成等差数列，且b＝，
所以2sinB＝sinA+sinC，可得a+c＝2b＝2，
又a2+c2﹣2accsB＝b2，所以（a+c）2﹣2ac﹣2accsB＝b2，
∴12﹣2ac﹣2ac×＝3，解得ac＝，
csB＝，所以sinB＝，所以△ABC的面积acsinB＝．
（3）∵△ABC为锐角三角形，，，
∴0＜C＜，且0＜﹣A＜，
∴可得＜A＜，
∴由正弦定理a+c＝sinA+sinC＝2[sinA+sin（﹣A）]＝2in（B+）∈（3，2]，
∴△abc周长a+b+c的取值范围为（3+，3]．
【点评】本题考查正余弦定理的运用，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属中档题．
55．（2022春•杨浦区校级期中）如图：我国近海某海域上有四个小岛，小岛B与小岛A，C相距都为5公里，与小岛D相距公里．已知∠BAD为钝角，且．
（1）求小岛A与小岛D之间的距离；
（2）求四个小岛所形成的四边形ABCD的面积．
（提示∠BAD+∠BCD＝π）
【分析】（1）由题意可知在△ACD中用余弦定理，即可解出；
（2）由A，B，C，D四点共圆，可将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，分别计算出两个三角形的面积，即可解出．
【解答】解：（1）∵角A为钝角，．
∴cs∠BAD＝﹣，
在△ABD中，由余弦定理得，AD2+AB2﹣2AD•AB•cs∠BAD＝BD2，
∴AD2+8AD﹣20＝0，解得AD＝2公里或AD＝﹣10公里（舍），
∴小岛A与小岛D之间的距离为2公里．
（2）∵A，B，C，D四点共圆，
∴角A与角C互补，
∴sinC＝，csC＝cs（π﹣A）＝，
在△BCD中，由余弦定理可得，CD2+CB2﹣2CD•CB•csC＝BD2，
∴CD2﹣8CD﹣20＝0，
解得CD＝10公里，或CD＝﹣2公里（舍），
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD•sinA+CD•CB•sinC＝18，
∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方公里．
【点评】本题考查了解三角形，学生数学运算能力，属于基础题．
巩固提升
一、单选题
1．（2022春·上海浦东新·高一校考期中）若，则点必在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】由为第三象限的角，即可判断余切和余弦的正负，即可确定点的象限.
【详解】由可知为第三象限的角，故，
故在第四象限，
故选：D
2．（2022秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）设，则的一个可能值是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数值域的求法确定正确答案.
【详解】因为，所以，
由于，
所以，
所以A选项符合，BCD选项不符合.
故选：A.
3．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）若在中，是的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
【答案】C
【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】解：在三角形中，若，根据大角对大边可得边，由正弦定理，得．
若，则正弦定理，得，根据大边对大角，可知．
所以，“”是“”的充要条件．
故选：C．
4．（2022春·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）满足条件的的个数为（ ）
A．一个B．两个C．不存在D．无法判断
【答案】B
【分析】利用余弦定理运算求解即可判断.
【详解】因为，即，解得或，
所以满足条件的有两个．
故选：B．
5．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）若，，下列判断错误的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合辅助角公式的变形，确定辅助角的取值作答.
【详解】由选项知，，，
令，有，，
则，
对于A，当时，为第一象限角，且，，，则，A正确；
对于B，当时，为第四象限角，且，，，则，B正确；
对于C，当时，为第二象限角，且，，，则，C正确；
对于D，当时，为第三象限角，且，，，则，D错误.
故选：D
6．（2021春·上海·高一专题练习）若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求解函数在区间的零点，将区间进行分区，在每一个区间内利用函数的图象研究函数的正负，从而得出结果。
【详解】函数的定义域需要满足，
可以先考虑，
因为
所以当时，或；
当时，或或；
当时，或或或；
当时，或或或或；
这时区间自然就被分为六个区间，分别为，，，，，，然后对每一个区域分析函数的符号，
根据图象可得，当时，
，，，，
所以，故满足题意；
同理可得时，，故不满足题意；
时，，故满足题意；
时，，故满足题意；
时，，故不满足题意；
时，故满足题意.
故选：C
【点睛】本题考查了对数函数的定义域问题，考查了分类讨论的思想方法，还考查了函数的图象的画法。
二、填空题
7．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）若点P(3，y)是角终边上一点，且，则y的值是____________.
【答案】
【分析】利用三角函数值的定义，即可求解.
【详解】，解得.
故答案为：.
8．（2022春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习），则__.
【答案】##
【分析】弦化切求解.
【详解】.
故答案为：
9．（2022春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）若是第一象限角，则__.
【答案】
【分析】根据同角三角函数关系求解.
【详解】因为是第一象限角，
所以.
故答案为: .
10．（2022春·上海浦东新·高一校考期中）已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积为__________.
【答案】##
【分析】根据扇形面积公式即可求解.
【详解】由扇形的面积公式可得
故答案为：
11．（2022春·上海浦东新·高一校考期中）角的终边经过点，则__________.
【答案】
【分析】根据三角函数的定义即可求解.
【详解】由可得 ，
故由三角函数的定义可知，
故答案为：
12．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）设点是角终边上的一点，且满足条件，则实数__．
【答案】2
【分析】结合正弦三角函数的定义即可列式求解.
【详解】由题意得，所以．
故答案为：2.
13．（2022春·上海徐汇·高一上海市徐汇中学校考阶段练习）已知，则__．
【答案】
【分析】根据半角公式或二倍角公式变形即可求解.
【详解】依题意，
．
故答案为：.
14．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知，则__．
【答案】##-0.25
【分析】根据已知等式进行凑角，利用和差公式展开结合商数关系式即可得所求.
【详解】解：因为，所以，
所以，则，
所以．
故答案为：.
15．（2022秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）已知，则__．
【答案】##-0.75
【分析】根据三角函数诱导公式和同角三角函数关系求解即可.
【详解】，所以，
所以.
故答案为：.
16．（2022秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）化简，得其结果为__．
【答案】
【分析】利用诱导公式和余弦的两角和公式化简即可.
【详解】
故答案为：
17．（2022春·上海徐汇·高一上海市徐汇中学校考阶段练习）化简：__．
【答案】
【分析】利用倍角公式与同角三角函数关系式即可求解.
【详解】依题意，
．
故答案为：.
18．（2022春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边落在第三象限内，且，则__.
【答案】##
【分析】根据三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式求解.
【详解】由，得，即.
所以.
故答案为: .
19．（2022秋·上海宝山·高一校考期末）已知的外接圆半径是2，，，边长______.
【答案】2或4##4或2
【分析】先利用正弦定理求出，再利用余弦定理列方程可求出.
【详解】因为的外接圆半径是2，，
所以由正弦定理得，
由余弦定理得，
，化简得，
解得或，
故答案为：2或4
20．（2022春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）在△中，已知，其中.若为定值，则实数_________.
【答案】
【分析】由，再根据已知将问题转化为等式恒成立，即可求参数.
【详解】，
∴恒成立，则，.
故答案为：
三、解答题
21．（2022春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）已知在中，，，，求、的值.
【答案】，或，.
【分析】根据三角形的余弦定理和面积公式求解.
【详解】在中，由余弦定理与面积公式得，
，化为，，
解得，或，.
22．（2022春·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）已知飞机从地按北偏东的方向飞行到达地，再从地按南偏东的方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．求地与地之间的距离．
【答案】
【分析】作图后由几何关系及余弦定理求解.
【详解】
由题意得，，所以，
因为，，
所以 ，
所以，，
地在地的南偏东，地距地．
23．（2022春·上海浦东新·高一校考期中）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正切的和角公式即可代入求值，
（2）利用弦切互化即可化弦为切求解.
【详解】（1）由正切的和角公式可得；
（2）.
24．（2022春·上海徐汇·高一上海市徐汇中学校考阶段练习）已知，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用正切和差公式、诱导公式与弦切互化即可求解.
【详解】（1）因为，即，所以，
；
（2）
25．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知，.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用二倍角的正切公式求解；
(2)利用弦化切的方法求解.
【详解】（1）因为，
所以解得或，
因为，所以.
（2）.
26．（2022春·上海浦东新·高一校考期中）已知，且是第四象限角，求，的值.
【答案】；.
【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】解：因为，且是第四象限角，
所以.
因为，解得或，
因为是第四象限角，所以
所以.
27．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）在中，分别为内角所对的边，且
(1)求的大小；
(2)现给出三个条件：（1）；（2）；（3）.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择，并以此为依据求的面积（写出一种可行的方案即可）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）结合正弦定理边角互化变形即可求解
（2）选择（1）（3），利用余弦定理、三角形的面积公式即可求解；选择（1）（2），利用正弦定理、三角形的面积公式即可求解；选择（2）（3），三角形不存在
【详解】（1）由正弦定理可得：，
得，
又，得，又，所以；
（2）（i）选择（1）（3），
将，代入可得，
解得，所以，
（ii）选择（1）（2），
由，
又，
所以，
（iii）选择（2）（3），
由，可得，
所以由正弦定理可得即与矛盾，
故这样的三角形不存在．
28．（2022春·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）在中，角为锐角，且，其中．
(1)证明：；
(2)求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由及正弦定理得证；
（2） 在中将代入后剩下关于的不等式，将其变形为关于的不等式，即得到的取值范围．
【详解】（1）由正弦定理 和，
得，所以；
（2）因为角为锐角，所以，
所以，所以，
则，即，所以，
所以或，
所以实数的取值范围．
29．（2022春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）燕山公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划条人行道、、、以及两条排水沟、，其中、、分别为边、、的中点．
(1)若，求的余弦值；
(2)若，求排水沟的长；
(3)当变化时，求条人行道总长度的最大值．（单位百米）
【答案】(1)
(2)百米；
(3)百米．
【分析】（1）在直角三角形和直角三角形中，分别求出和的正、余弦值，再利用两角和的余弦公式，求的余弦即可；
（2）在三角形中，使用余弦定理求解即可；
（3）连接，以为参变量，在三角形和中，利用和，结合解三角形知识对，进行求解，并借助函数思想求出的最大值即可.
【详解】（1）∵百米，百米，，
∴在直角三角形中，百米，
∴，，
又∵，，百米，
∴在等腰直角三角形中，百米，，，
∴
.
∴的余弦值为.
（2）由第（1）问，当时，，百米
∴在三角形中，
，
∴百米.
∴排水沟的长为百米.
（3）设，，，
∵、、分别为边、、的中点，
∴，百米，，
∴，百米，，
在三角形中，由余弦定理得,
由正弦定理，
得，
连接，∵，，为边的中点，
∴，，
在三角形中，，
由余弦定理得
，
在三角形中，，
由余弦定理得
，
令
∵，∴，∴，
∴，
令，易知在上单调递增，
∴当时，的最大值为，
.
∴最大值为，
∴条走道总长度的最大值为百米．
【点睛】本题前两问较为简单，难点在第（3）问.对于解三角形中的最值问题，有两种最常用的方法，一种是通过单一变量，构造函数，利用函数单调性和最值解决，另一种是借助不等式知识解决，本题采用了第一种方法.
30．（2022春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于两点，角的终边与单位圆交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为、、．
(1)如果，，求的值；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三角函数定义得到，，进而利用同角三角函数关系得和余弦差角公式求出答案；
（2）表达出，，利用三角函数有界性进行适当放缩，证明出，再利用适当放缩证明出，从而证明出结论.
【详解】（1）由题意得：，，
由于、均为锐角，
所以，，
所以．
（2），
，
所以，
，
所以，
同理，
所以线段．
31．（2022春·上海闵行·高一校考期中）已知函数 ， 若存在实数 ， 使得对于定义域内的任意实数 ，均有 成立， 则称函数 为 “可平衡” 函数， 有序数对 称为函数 的 “平衡” 数对;
(1)若 ， 求函数 的 “平衡” 数对;
(2)若 ， 判断 是否为 “可平衡” 函数， 并说明理由;
(3)若 ， 且 均为函数 的 “平衡” 数对， 求 的取值范围.
【答案】(1)；
(2)是“可平衡” 函数，理由见解析；
(3).
【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可；
(2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可；
(3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可.
(1)
根据题意可知,对于任意实数,,
即,即对于任意实数恒成立,
只有,,故函数的“平衡”数对为,
(2)
若,则,
,
要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有,
此时,,故存在,所以是“可平衡”函数.
(3)
,所以,
,所以,
由于,所以,,
,
由于,所以时,,
,
所以, 即.
【点睛】关键点点睛：利用新定义，根据新定义列出满足的恒等关系，根据等式恒成立求出参数满足关系，即可解决问题.
32．（2022春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．
（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
（2）求证：集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．
【答案】（1）；（2）证明见解析，定值；（3），或，．
【分析】（1）由“余弦方差”的定义，及特殊角的三角函数值计算可得；
（2）由“余弦方差”的定义，及两角差的余弦公式化简可得．
（3）由“余弦方差”的定义，在由两角差的余弦公式及二倍角公式化简分子，可得即可求出、的值，即可得解．
【详解】解：（1）依题意：；
（2）由“余弦方差”定义得：，
则分子
为定值，与的取值无关．
（3）依题意，
所以分子
．
要使是一个与无关的定值，则，，
与终边关于轴对称或关于原点对称，又，
得与终边只能关于轴对称，，
又，，则当时，；当时，．
，或，．
故，或，时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值．
33．（2021春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）如果对于三个数、、能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”、、，如果函数使得三个数、、仍为“三角形数”，则称为“保三角形函数”.
（1）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由；
（2）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由.
【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析.
【分析】（1）取，分别求得，由此可得，故函数不是“保三角形函数”；
（2）分，，三种情况均可证得能构成三角形的三边，故函数是“保三角形函数”.
【详解】（1）因为，取，
则，，，
显然，即不能构成三角形的三边，
故函数不是“保三角形函数”.
（2）①当时，，所以最大.
由得，所以，
故，即能构成三角形的三边；
②当时，，所以最大.
由得，，
故，即能构成三角形的三边；
③当时，，所以最大.
由得，所以，
故，即能构成三角形的三边；
综合①②③可知，函数是“保三角形函数”.
【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：分，，三种情况证明能构成三角形的三边.
34．（2022春·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考阶段练习）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”．
（1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”；
（2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由；
（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．
【答案】（1）；（2）证明见解析；定值；（3）或.
【分析】由“余弦方差”的定义，对（1）（2）（3）逐个求解或证明即可.
【详解】（1）因为集合，，
所以；
（2）由“余弦方差”的定义得：，
，
，
.
所以是与无关的定值.
（3）由“余弦方差”的定义得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
,
，
要使是一个与无关的定值，则，
因为，所以与的终边关于y轴对称或关于原点对称，
又，
所以与的终边只能关于y轴对称，
所以，
因为，，
当时，，
当时，，
所以或时，
相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是对“余弦方差”的定义应用和较强的运算能力.
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝