第8章 平面向量（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）

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一、单选题
1．（2021春·上海·高一期末）已知是边长为2的正三角形，则向量在上的投影是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】由投影的概念计算即可.
【详解】在方向的投影为.
故选：A.
2．（2021春·上海·高一期末）已知平面向量，若与共线，则k等于（ ）
A．1B．C．D．4
【答案】B
【分析】由向量共线得出即可求解.
【详解】由题，若与共线，则，解得.
故选：B.
3．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结，则为的中位线，
，
故选：A
4．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）在中，已知是边上一点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量线性运算可直接得到结果.
【详解】
，.
故选：A.
5．（2022春·上海奉贤·高一校考期中）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据可求出结果.
【详解】.
故选：D
6．（2022春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期中）已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求的坐标，再用平面向量模长的坐标运算求解即可.
【详解】，所以.
故选：A.
二、填空题
7．（2022春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期末）已知，，，则点的坐标为____________．
【答案】
【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示即可求解.
【详解】解：设，因为，，所以，
又，所以，解得，故点的坐标为.
故答案为：.
8．（2022春·上海黄浦·高一校考期末）已知向量，满足，与的夹角为，则在上的数量投影__________.
【答案】1
【分析】根据平面向量数量积的几何意义求解即可.
【详解】因为，与的夹角为，
所以在上的数量投影为，
故答案为：1
9．（2022春·上海崇明·高一统考期末）已知向量，，若，则实数的值等于______．
【答案】
【分析】根据向量平行坐标运算即可.
【详解】由题知，，，，
所以，解得
故答案为：.
10．（2022春·上海闵行·高一校考期末）已知，则_______．
【答案】
【分析】根据平面向量的坐标运算求解.
【详解】由题可知,,所以,
故答案为:.
11．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知向量，，且，则_____．
【答案】
【分析】根据向量垂直与坐标间关系计算即可.
【详解】因为，所以，解得
故答案为：
12．（2021春·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知向量，若，则实数__________.
【答案】-2
【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求解.
【详解】因为，所以，解得：.
故答案为：
13．（2022春·上海虹口·高一华东师范大学第一附属中学校考期末）已知向量，，且在上的投影数量等于，则___________.
【答案】
【分析】由数量投影的公式直接计算即可.
【详解】在上的投影数量为，解得（舍）或.
故答案为：.
14．（2022春·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知点，向量，则向量__________．
【答案】
【分析】首先求出的坐标，再根据向量减法的坐标运算法则计算可得；
【详解】解：因为，所以，
又，所以；
故答案为：
15．（2022春·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期末）若向量，，已知与的夹角为，则实数k是______．
【答案】
【分析】解方程即得解.
【详解】解：因为与的夹角为，所以，
所以
所以.
故答案为：
三、解答题
16．（2022春·上海崇明·高一统考期末）已知向量，．
(1)求；
(2)已知，且，求向量与向量的夹角．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算求向量的模即可；（2）由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可.
【详解】（1）由题知，，
所以，
所以.
（2）由题知，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
向量与向量的夹角为.
17．（2022春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期中）已知．
(1)若，求实数x的值；
(2)若，求实数x的值．
【答案】(1)4；
(2)
【分析】（1）利用向量平行(共线)的坐标关系可得;
（2）利用向量垂直即数量积为零即得.
(1)
解：故；
(2)
解：



.
18．（2022春·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末），依照下列条件求实数k的值.
(1)与相互平行；
(2)与相互垂直.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行的坐标表示即可求解；
（2）根据向量垂直的坐标表示即可求解.
(1)
解：因为，
所以，，
因为与相互平行，
所以，解得；
(2)
解：因为，
所以，，
因为与相互垂直，
所以，解得.
【典型】
一、填空题
1．（2021春·高一课时练习）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是__________.（填序号）
①与相等的向量只有一个（不含）；
②与的模相等的向量有9个（不含）；
③的模恰为模的倍；
④与不平行.
【答案】①②③
【分析】根据相等向量的概念判定①；根据菱形的性质和的条件，可得对角线AC与菱形的边长相等，可以判定②；根据菱形的对角线垂直且互相平分，结合已知角度，利用特殊角的三角函数，可以得到进而得到，从而判定③；注意到方向相同或相反的向量都叫做平行向量，表示向量的有向线段可以在同一直线上，可以对④作出否定.
【详解】与相等的向量需要方向相同,模相等,只有,故①正确；
根据菱形的性质结合,可知对角线AC与菱形的边长相等，故与的模相等的向量有,共9个向量，故②正确；
易得,
∴的模恰为模的倍，故③正确；
向量与的方向是相反的，是平行向量，故④不正确.
故答案为：①②③.
2．（2021春·高一课时练习）若，，则__________.
【答案】2
【分析】根据向量的加减法的几何意义，结合菱形的判定与性质可以求解
【详解】如图所示，由可知四边形OAPB为菱形，∵，
∴对角线,
于是∠OAP=120°，∴∠AOB=60°，∴三角形为等边三角形，∴对角线，即2，
故答案为：2.
3．（2021春·上海徐汇·高一上海中学校考期中）已知正六边形，若，，则用，表示为________．
【答案】
【分析】根据向量加法的三角形法则，即可求解
【详解】如图，，
故答案为：
二、解答题
4．（2021春·高一课时练习）在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，判别下列命题是否正确.
（1）；
（2）和是平行向量；
（3）.
【答案】答案见解析
【分析】（1）画出图形，根据平面几何知识，结合相等向量的概念进行判定；
（2）根据平面几何知识，结合平行向量的概念进行判定；
（3）注意到向量的概念，包括方向和大小（模），模可以比较大小，方向没法比较大小，因此向量没有大小的比较可以判定.
【详解】
（1）不正确.和的模不相等，为此它们必不是相等向量；
（2）正确.由平面几何知识可知，所以和为平行向量；
（3）不正确.向量是无法比较大小的，只有向量的模可以比较大小.
5．（2021春·高一单元测试）如图，两个长度为1的平面向量和，夹角为，点C在以O为圆心的圆弧上移动，若，求的最大值.
【答案】2
【分析】首先以为原点，向量的方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，并设，从而可写出，，三点的坐标，从而根据条件便可得到，这样便可得到，根据两角和的正弦公式即可得到，根据的范围即可得出的最大值．
【详解】解：如图，以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，则：
，，设，，；
；
；
；
；
；
；
，即时取最大值2．
6．（2021春·高一课时练习）如图，质点受到两个力和的作用，已知，，，求这两个力的合力的大小以及的大小.
【答案】牛，.
【分析】由向量的数量积的运算，结合向量的模和夹角余弦值公式求解即得.
【详解】
，
所以（牛），

,
则.
7．（2021·上海·高一期末）作五边形，求作下列各题中的和向量：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用平面向量的加法法则求解即可；
（2）利用平面向量的加法法则求解即可．
【详解】（1）；
（2）.
8．（2022春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）已知向量、满足：，，且．
（1）求与的夹角；
（2）若，求实数的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由展开，可解出，根据向量夹角公式，即可求出夹角的大小；
（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出的值．
【详解】（1）∵
∴
∵
∴．
（2）∵
∴，即
∴．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用，属于基础题．
9．（2022春·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）已知向量，
(1)若，求实数m的值；
(2)若可以构成平面上的一个基底，求实数m的取值范围．
【答案】(1)或2
(2)且
【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算得到方程求解；
（2）根据基底的定义，利用向量共线的坐标表示求解.
(1)
得到或2
(2)
由已知得不平行，得到，所以且.
【易错】
一．选择题（共1小题）
1．（2022春•徐汇区校级期末）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，+＝λ，则λ＝（ ）
A．B．2C．D．
【分析】结合正八边形的性质，结合平面向量的线性运算解答即可．
【解答】解：如图：
连接A6A3，A1A4，A2A7，A6A3与A1A4相交于B，
在A1A4上取一点C，使得＝，
则＝，
设||＝m，则||＝||＝m+m+m＝（2+）m，
由图可知，+＝+＝2＝2×＝，
λ＝．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算，涉及到正八边形的性质，属于中档题．
二．填空题（共7小题）
2．（2022春•浦东新区校级月考）已知，则向量在向量方向上的数量投影为 1 ．
【分析】先求出两向量的夹角，然后算出各自的模长，再套用公式求解．
【解答】解：由题知，，
故＝＝，
故在向量方向上的数量投影为＝．
故答案为：1．
【点评】本题考查平面向量夹角的计算公式和数量投影的概念，属于基础题．
3．（2022春•浦东新区校级期末）已知点P在单位圆O上，点A（﹣3，0），则的取值范围是 [6，12] ．
【分析】可设P（csθ，sinθ），然后将结论表示为θ的三角函数，求其值域即可．
【解答】解：由已知设P（csθ，sinθ），θ∈[0，2π），且O（0，0），A（﹣3，0），
所以＝（3，0）•（csθ+3，sinθ）
＝3csθ+9，因为﹣1≤csθ≤1，
故∈[6，12]．
故答案为：[6，12]．
【点评】本题考查数量积的运算和三角函数的性质，属于基础题．
4．（2022春•浦东新区校级月考）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影的数量为 ．
【分析】分别求出的坐标，然后结合投影向量的计算公式计算即可．
【解答】解：因为点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），
故，，所以，，
则向量在方向上的投影的数量为＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查数量积的定义和运算，属于基础题．
5．（2022春•普陀区校级期末）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力．顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF．若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为 [0，3] ．
【分析】根据数量积的几何意义可知，表示的是与在上的投影的乘积，显然∠BAC＝30°，所以∠CAF＝120°﹣30°＝90°，所以P点的位置在直线AF的右侧的六边形内（包括边界）或落在线段AF上，则由此易求得结论．
【解答】解：如图：由正六边形的性质可知，∠BAC＝∠BCA＝30°，故AC＝，
所以∠CAF＝120°﹣30°＝90°，所以P点的位置在直线AF的右侧的六边形内（包括边界）或落在线段AF上，
又表示的是与在上的投影的乘积，故当P落在线段AF上时，在上的投影最小为0，当P落在线段DC上时，在上的投影最大为＝，
故，
故答案为：[0，3]．
【点评】本题考查平面向量数量积的几何意义和运算，属于中档题．
6．（2022春•宝山区校级月考）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•＝6，||＝2，则AC＝ 4 ．
【分析】方法一，利用平面向量的线性运算与数量积求模长即可；
方法二：根据题意建立平面直角坐标系，设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC＝α，由||＝2求出点A的坐标，再写出、，利用•＝6求出a与α的关系，计算模长||．
【解答】解：【方法一】△ABC中，•＝6，
∴（++）•＝6，
∴•+•+•＝•+•＝6，
∴•+＝6，
∴＝+2•+＝+2（•+）＝4+12＝16，
∴AC＝4．
【方法二】建立平面直角坐标系如图所示，
设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC＝α，
由||＝2，知A（﹣a+2csα，2sinα），
∴＝（a﹣2csα，b﹣2sinα），
＝（2a，0），
∴•＝2a（a﹣2csα）+0＝2a2﹣4acsα＝6，
∴a2﹣2acsα＝3；
又＝（2a﹣2csα，﹣2sinα），
∴＝（2a﹣2csα）2+（﹣2sinα）2
＝4a2﹣8acsα+4
＝4（a2﹣2acsα）+4
＝4×3+4
＝16，
∴||＝4，即AC＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，是中档题．
7．（2022春•浦东新区校级期末）已知等边三角形ABC的边长为1，点P在△ABC的边上运动，则的最大值为 ．
【分析】据图分析，可设AC中点为E，BC中点为F，当P落在线段EA，AB，BF上时，＜0，再研究P在线段EC上移动时，的模长、夹角的变化，进而求出的最大值．
【解答】解：如图：在等边三角形ABC中，设AC中点为E，BC中点为F，当P落在线段EA，AB，BF上时，易知π≥，故
＜0；
当P点在EC上由E向C移动时，∠APB是锐角，且越来越小，与C重合时取得最小角为，
且同时也随着P点由E向C移动时，同时变大，到C时都达到最大，
故当P与C重合时，取得最大值＝，（当P由F向C移动时，的变化规律与P由E向C移动的变化规律相同）．
故答案为：．
【点评】本题考查数量积的定义和性质，属于中档题．
8．（2022春•闵行区校级月考）如图，已知AB是边长为1的正六边形的一条边，点P在正六边形内（含边界），则•的取值范围是 [] ．
【分析】利用平面向量基本定理，将用向量表示，（其中O为AB的中点），则问题最终转化为求范围的问题，利用圆的性质易求出的最大值为MO，问题可求解．
【解答】解：如图，取AB的中点O，由已知得，
则，＝．
故＝＝．
如图，以O为圆心，OT（T为边AB的对边NM的中点）为半径作圆，由正六边形的性质可知，
该圆与边NM相切于点T，且故P点为M或N点时，PO最大，且此时OT＝2×．
所以OPmax＝＝，
当P与O重合时，PO＝0最小．
故．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量在几何问题中的应用，属于中档题．
三．解答题（共1小题）
9．（2022春•浦东新区校级期末）已知|，|，与的夹角为．
（1）若，且∥，求k的值；
（2）若，且，求k的值．
【分析】根据利用平面向量平行、垂直的充要条件列出k的方程求解．
【解答】解：由已知得，
（1）因为，故存在实数λ，使得，
即，又因为不共线，
故，解得k＝±2，
故k的值为﹣2，或2．
（2）因为，所以＝（）
＝＝﹣4k2+4k+32＝0，
解得k＝，或．
【点评】本题考查平面向量平行、垂直的充要条件以及数量积的运算性质，属于基础题．
【压轴】
一、单选题
1．（2021春·高一课时练习）在给出的下列命题中，是假命题的是
A．设是同一平面上的四个不同的点，若，则点必共线
B．若向量是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的
C．已知平面向量满足，且，则是等边三角形
D．在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直
【答案】D
【详解】由 则点必共线，故A正确；
由平面向量基本定理可知B正确；
由 可知为的外心，由可知为的重心，故为的中心，即是等边三角形，故C正确；
存在四个向量（1，0），（0，1），（2，0），（0，-2）其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直,D错误
故选D.
2．（2021春·上海·高一期末）设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ）
A．6B．C．D．4
【答案】D
【分析】先设，于是得到点O是△A1B1C1的重心，则k，再结合三角形面积公式即可求出△ABC的面积与△BOC的面积，进而得到答案.
【详解】不妨设，如图所示，
根据题意则，
即点O是△A1B1C1的重心，所以有k，
又因为，
那么，
，
故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据重心的性质可得k，再由三角形面积公式可得，即，同理可得其他三角形面积，再利用即可求解，属于难题.
二、填空题
3．（2021春·高一课时练习）已知正三角形的边长为，点是所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为________.
【答案】
【分析】以A点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设 ,根据向量的坐标运算和向量的模可得 ,再根据三角函数的性质即可求出范围.
【详解】解：以点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则 ,
,不妨设,

,

,
,
的取值范围为：.
故答案为：
【点睛】本意考查向量的坐标运算和向量的模的取值范围,是中档题.
4．（2022春·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时___________.
【答案】
【分析】先根据平面向量数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点C的几何意义，最后确定取最小值时的.
【详解】∵，，而，， 又∴，∴，，，
因为向量满足，所以
如图所示，

若，，，，则，，所以，所以在以为圆心，2为半径的圆上，若，则，由图象可得当且仅当，，三点共线且时，最小，即取最小值，此时，，又，，所以.，
故答案为：.
5．（2021·高一课时练习）已知平面向量，，，满足，，，，则的最小值为________.
【答案】
【分析】设出向量坐标，根据题目条件得到，进而得到，求出的最小值.
【详解】因为，不妨设，
因为，
不妨设
所以，
因为，
所以，，
故，
所以，当且仅当时等号成立，
所以
故答案为：
6．（2022春·上海长宁·高一上海市复旦中学校考期中）设，为单位向量，非零向量，．若，的夹角为，
则的最大值等于________．
【答案】2
【分析】由题意，可得，，从而可得当时，；当时，，再利用二次函数的性质可得的最大值，比较大小即可得答案．
【详解】解：，为单位向量，和的夹角等于，
，
当时，则；
非零向量，
，
当时，
，
故当时，取得最大值为2，
综上，取得最大值为2．
故答案为：2．
7．（2021春·上海·高一期末）已知A、B、C、D是单位圆上的四个点，且A、B关于原点对称，则的最大值是________．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设，，，用向量数量积的坐标表示表示出来，再根据三角恒等变换以及二次函数的性质即可求出.
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：
设，，，
所以
，当且仅当且时取等号．
故答案为：．
【点睛】思路点睛：本题主要考查数量积的运算，涉及有关平面向量数量积运算的最值问题，一般通过解析法解决，根据题目条件引入参数，用三角函数定义表示出点的坐标，再根据三角恒等变换转化为函数的值域问题，变形难度较大，考查学生综合运用知识的能力．
8．（2021·高一课时练习）设G是△ABC重心，且，则_________．
【答案】
【分析】将重心G满足的向量关系式代入已知向量等式，消去一个向量，得到两向量间的关系，再由平面向量基本定理，得到对应系数为0，最后利用正、余弦定理求解.
【详解】如图，设三边AB中点为D，是的重心，
，
同理可得，，，
，即，
又与不共线，由平面基本定理得，，
由正弦定理得，，即，
由余弦定理得， ，
又B为的内角，.
故答案为：.
【点睛】关于四心的向量关系式：
O是的外心；
O是的重心；
O是的垂心；
O是的内心.(其中为的三边)
9．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】根据的最小值为，代入得关于的一元二次不等式，利用等号可以取到判断出，然后设为轴的方向向量，为轴方向向量，，则得关于点的轨迹方程，利用抛物线的定义将向量模长转化为距离，计算最小值.
【详解】，即，所以，即，设为轴的方向向量，为轴方向向量，所以，对应的坐标为，所以，得；，因为为抛物线向上平移个单位，所以焦点坐标为，准线为，所以点到的距离与到的距离相等，，当且仅当时，取最小值.
故答案为：
【点睛】关于向量模长的问题，一般没有坐标时，利用平方公式展开计算；有坐标时，代入坐标公式求解，涉及模长的最值问题，一般需要转化为点与点之间的距离，或者点到线的距离等问题，利用几何方法求解.
10．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）设H是的垂心，且，则______.
【答案】
【解析】利用三角形的垂心与向量的关系得解.
【详解】先证明：已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：
证明：如图2延长与边相交于点则

图1 图2



再证明：是的垂心
证明：如图为三角形的垂心，
同理得，
由以上结论得：
是的垂心
由题设得.再由，得，.故.
故答案为:
【点睛】本题考查三角形的垂心与向量关系求三角形角的余弦值，属于中档题.
11．（2021春·高一课时练习）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
12．（2021·高一课时练习）已知满足，，是的外心，且，则的面积是______.
【答案】或
【分析】设的中点为，根据条件和是的外心，利用两个向量的加减法的法则及其几何意义，求得和、、三点共线，在直角三角形中求出，代入三角形的面积公式求出的面积；当时，，由三角形是直角三角形和勾股定理，求出的面积.
【详解】如图：，是的外心，设的中点为，
∵，
∴，
则，
∴，即、、三点共线.
∵是的外心，当时， ，则，
∴，
∴的面积；
当时，此时，即，
∴的面积，
综上可得，的面积是或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查向量的基本定理和运算法则、两个向量的加减法的法则及其几何意义，三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，以及三角形的面积公式，属于难题.
13．（2021春·高一课时练习）设点是的外心，，则_______.
【答案】
【分析】由三角形外心的性质，再结合图形，利用向量的线性运算，转化成跟两组基底向量相关的向量来进行求解
【详解】设为平面内的一组基底.如图所示，
设为的中点，连接，则.
又∵，
∴
.
【点睛】考生需熟悉三角形外心一些基本特点。三角形外心为外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等、外心为各边中垂线的交点。在运用向量基底解决几何问题时，关键是学会将任何一组向量转化成跟基底向量有关的向量进行表示
三、解答题
14．（2021春·高一课时练习）已知平面直角坐标系内三点、、在一条直线上，满足，，，且，其中为坐标原点.
（1）求实数、的值；
（2）设△的重心为，且，且、为线段的三等分点，求的值.
【答案】（1），；或，；（2）.
【分析】（1）由、、在一条直线上，即，又根据向量平行与垂直的坐标运算得到方程组，解得.
（2）由为△的重心则，又，可得，，即可表示出，，再由定比分点坐标公式求得：，的坐标， 然后利用向量的数量积的坐标运算解得答案.
【详解】解：由点、、在一条直线上，满足，，，
所以，，
即，又，
所以，
解得：或．
（2）的重心为，
所以，
又，
解得，，
，，
由定比分点坐标公式得：，，，，
所以，又，
所以
【点睛】本题考查了两向量平行与垂直的运算及平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属难度较大的题型