第7章 三角函数-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）

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1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一、填空题
1．函数的单调递减区间是__.
【答案】，
【分析】根据正切函数的单调递增区间，即可写出函数的单调递减区间.
【详解】由正切函数的图象与性质，知；
函数的单调递增区间为：，，
所以函数的单调递减区间是：，，
故答案为：，.
【点睛】本小题主要考查正切型函数的单调区间的求法，属于基础题.
2．函数的最小正周期为________.
【答案】
【分析】由辅助角公式可得，问题得解.
【详解】因为
所以函数的最小正周期为.
故答案为：
【点睛】本题考查了辅助角公式和三角函数的周期公式，属于基础题.
3．函数的值域是___________.
【答案】
【解析】由余弦函数和正切函数性质求解．
【详解】∵，在上是增函数，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查余弦函数和正切函数的值域，掌握正切函数的单调性是解题基础．
4．函数的图像关于轴对称的充要条件是________
【答案】
【分析】有关正余弦型的函数关于轴对称必须化简为，即可求解.
【详解】函数的图像关于轴对称，
.
故答案为:
【点睛】本题考查三角函数的奇偶性，结合诱导公式是解题的关键，属于基础题.
5．已知，，，则，，的大小关系为______.
【答案】
【分析】同角三角函数关系知，又由的区间单调性知，根据的区间单调性知，即可知，，的大小关系
【详解】，而
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了比较三角函数值的大小，根据正弦函数、正切函数的区间单调性及正弦函数的值域范围，比较函数值的大小
6．将正弦函数的图像向右平移个单位，可以得到余弦函数的图象，则的最小值为________．
【答案】
【分析】利用三角函数的诱导公式以及图象的平移变换即可求解.
【详解】因为，
所以正弦函数的图像向右平移个单位可得，
并且此时是将正弦函数的图像向右平移最少的单位，
所以的最小值为，
故答案为：.
7．若函数的图像上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则___________.
【答案】
【分析】作出函数的大致图像，不妨取如图的相邻三个最值点，则由已知可得为等腰直角三角形，从而可得，即，再利用周期公式求出，从而可求得的值
【详解】解：作出函数的大致图像，不妨取如图的相邻三个最值点，设其中两个最大值点为，最小值点为，根据正弦函数图像的对称性，可知为等腰直角三角形，且斜边上的高，所以斜边，此时的周期为，
所以，所以，
所以，
故答案为：
8．已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是_____
【答案】8
【分析】由函数，求得最小正周期为，得到，根据函数在区间上至少取得2次最大值，结合图象得，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，函数，可知最小正周期为，可得
又由函数在区间上至少取得2次最大值，
如图所示，则满足，又因为，所以正整数的最小值为.
【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，结合图象得到实数满足的不等关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
9．关于函数，.现有下列命题：
①由，得必是的整数倍；
②的表达式可以改写为；
③的图像关于点对称；
④的图像关于直线对称.
其中正确的命题序号为___________.
【答案】②④
【分析】对于①，由，可得是半个周期的整数倍，求出周期可进行判断；对于②，利用诱导公式化简即可；对于③，代入验证即可；对于④，代入验证即可
【详解】解：对于①，由于，所以可知是函数的零点，所以是半个周期的整数倍，而函数的周期，所以是的整数倍，所以①错误；
对于②，，所以②正确；
对于③，因为，所以的图像不关于点对称，所以③错误；
对于④，因为，所以的图像关于直线对称，所以④正确，
故答案为：②④
10．若函数的图像与直线有且仅有四个不同的交点，则的取值范围是______
【答案】
【分析】将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，则直线与函数图象有四个交点，从而得到的取值范围.
【详解】因为
因为
所以，所以图象关于对称，其图象如图所示：
因为直线与函数图象有四个交点，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用三角函数图象研究与直线交点个数，考查数形结合思想的应用，作图时发现图象关于对称，是快速画出图象的关键.
11．如图，平面上有一条走廊宽为3米，夹角为120°，地面是水平的，走廊两端足够长．那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为____________________米．
【答案】12
【分析】如图，设能通过走廊的钢筋的长度为AB，设，，则求得，然后相加，利用基本不等式可得基本最小值
【详解】如图，设能通过走廊的钢筋的长度为AB，
设，，
则
，当且仅当时取等号，
故能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为12米．
故答案为：12
12．已知函数是上的偶函数，当时，有，方程有且仅有四个不同的实根，若是四个根中的最大根，则______．
【答案】##
【分析】同一坐标系内作出函数图像和直线y=m，因为两图像有且仅有四个公共点，观察图像得出m=1．再解方程，得最大根 ，再代入求值即可得到
【详解】当x≥0时，函数在区间 和递增，在区间 递减，
且 ，，
∵函数是R上的偶函数，
的图像如下：
观察可知，当m=1时，两图像有且仅有四个不同的公共点，
令得 ，
，

故答案为：
二、单选题
13．函数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据以及余弦函数的最值可得结果.
【详解】因为，，
所以，所以，
所以函数的最大值是.
故选：C
14．函数的一个单调增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数图象确定函数的单调递增区间，观察各选项选择符合题意的区间即可.
【详解】在平面直角坐标系内画出函数的图象如图所示，
由图象易得函数的单调递增区间为Z，
令得为的一个单调递增区间.
故选：C.
15．要得到函数的图象，只需将函数（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】A
【分析】由函数的图象变换规律，可得结论．
【详解】解：，
将函数的图象上所有的点向左平移个单位，即可得到函数的图象．
故选：A．
16．已知偶函数在上为严格增函数，又为锐角三角形两内角，则必有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据偶函数性质可知，在上为严格减函数，再利用，为锐角的三角函数值大小，即可得出结果.
【详解】由于是偶函数，
根据偶函数性质可知在上为严格减函数；
又为锐角三角形两内角，所以，且；
可得，且，
又在上单调递增，所以，
且
又在上为严格减函数，即可得.
故选：B.
三、解答题
17．已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可求的最小正周期；（Ⅱ）由可得，利用正弦函数的单调性可求的最大值和最小值．
【详解】（Ⅰ）
.
（Ⅱ）因为，所以
当时，即时，的最大值为,
当时，即时，的最小值为.
【点睛】对三角函数的图象与性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
18．已知函数，且满足.
（1）求实数a、b的值；
（2）记，若函数是偶函数，求实数t的值.
【答案】（1），；（2），.
【分析】（1）将两个值代入即可解得；
（2）先将函数f(x)化为的结构，代入x+t后，然后根据函数是偶函数即可解得.
【详解】（1）由题意，所以.
（2）由（1）
所以，
因为是偶函数，所以，所以
19．已知函数.
（1）将函数化成（，）的形式；
（2）用“五点法”作该函数的大致图像，并写出该函数在上的单调增区间.
【答案】（1）；（2）图见解析，增区间为和.
【分析】（1）利用降幂公式对其化简即可；
（2）先列表，再描点连线即可，由图像可得函数在上的单调增区间
【详解】解：（1）
，
（2）列表
由图可知数在上的单调增区间为和.
20．已知函数、，定义满足关系的函数为函数的型变换函数，其中是常数.
（1）若函数，且函数为函数的型变换函数，求的解析式；
（2）若函数为函数的型变换函数，请设计一个函数及一个的值，使得.
【答案】（1）；（2）（取，中任意一个都可以）.
【分析】（1）按照定义相乘，再用二倍角公式即可解得；
（2）利用辅助角公式将函数写成的结构即可求得.
【详解】（1）因为，所以，
所以.
（2）因为，
若，则，
所以（取，中任意一个都可以），.
21．如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为．边界的中间部分为长千米的直线段，且．游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧．
（1）求曲线段的函数表达式；
（2）曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长；
（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值．
【答案】（1）（2）（3）最大值为，此时.
【详解】试题分析：（1）求函数的解析式时，比较容易得出，困难的是确定待定系数的值，常用如下方法:一是由即可求出的值；确定的值，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出；二是代入点的坐标，利用一些已知点坐标代入解析式，再结合图形解出，若对的符号或对的范围有要求，则可利用诱导公式进行变换使其符合要求；（2）运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用；重视三角函数的三变：三变指变角、变名、变式；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等，适当选择公式进行变形；（3）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性、最值和对称性.
试题解析：解：（1）由已知条件，得 1分[
又∵ 2分
又∵当时，有 2分
∴ 曲线段的解析式为． 1分
（2）由得
2分
又 2分
1分
∴ 景观路长为千米 1分
（3）如图， 1分
作轴于点，在中， 1分
在中， 1分
∴ 1分
1分
2分
当时，即时，平行四边形面积最大值为 1分
考点：1、根据函数图象求函数解析式；2、三角函数化简；3、求三角函数的最值.
0
0
2
0
0