广西壮族自治区北海市2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题

这是一份广西壮族自治区北海市2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．.，
C．，D．，
3．如果你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的（ ）
A．四分位数B．中位数C．众数D．均值
4．函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知偶函数在上单调递增，且，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
6．已知且在内存在零点，则实数的取值范围是( )
A．B． C． D．
7．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知实数，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列每组函数不是同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（ ）
A．小王和小张都中奖的概率为0.08
B．小王和小张都没有中奖的概率为0.46
C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D．小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92
11．下列命题中正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“且”是“”的充分不必要条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”是“”的充要条件
12．已知函数若互不相等的实数满足，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为 .
14．某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为，，其中x为销售量（单位：吨），若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为 万元.
15．从分别写有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为 ．
16．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 .
四、解答题
17．设集合.求：
(1)；
(2).
18．计算：（1）;
（2）
19．已知函数（且）．
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若函数在区间上的最大值和最小值之和为，求实数的值．
20．已知幂函数既不是奇函数，也不是偶函数.
(1)求的值；
(2)若函数的最小值为，求实数的值.
21．居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”．某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)在这100名业主中，求评分在区间[70，80)的人数与评分在区间[50，60)的人数之差；
(2)估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数；
(3)若小区物业服务满意度（满意度＝）低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训．请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由．（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）
22．已知函数f（x）＝是定义在R上的奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明：函数f（x）在R上单调递增；
(3)记，对x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】根据集合的交集运算即可求.
【详解】易知集合及集合的公共元素为1和2，所以．
故选：C
2．D
【分析】全称命题的否定变为特称命题.
【详解】“，”的否定为“，”，
故选:D.
3．D
【分析】根据平均数的意义可得结果.
【详解】四分位数在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值；中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数；众数一组数据中出现次数最多的数值；平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。所以选择均值较理想.
故选：D
4．A
【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用当x＞0时，函数值的正负确定选项即可.
【详解】函数f（x）定义域为，
所以函数f（x）是奇函数，排除BC；
当x＞0时，，排除D．
故选：A
5．A
【分析】根据的奇偶性和单调性及可得，解不等式可得答案.
【详解】因为为偶函数，在上单调递增，且，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，
由，得，
解得.
故选：A.
6．C
【分析】根据零点在区间内可得关于的不等式组，从而可求的取值范围.
【详解】因为，故即.
而且在内存在零点，
故即，解得，
故选：C.
7．D
【分析】根据指，对数函数的性质，比较大小.
【详解】∵，，∴．
故选：D
8．C
【分析】将不等式变形并计算得，再将其化简之后利用基本不等式求解判断.
【详解】因为，，所以，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
，
当且仅当，则时取等号，
所以的最小值是.
故选：C.
9．ABC
【分析】利用函数的概念，从函数的三要素分析是否为同一函数，逐一研究每个选项即可.
【详解】对于选项A：的定义域是，的定义域为R，定义域不同，故不是同一函数；
对于选项B：，对应法则不同，故不是同一函数；
对于选项C：由得或，所以的定义域是，
由得，所以的定义域为，定义域不同，故不是同一函数；
对于选项D： 与三要素相同，仅表示自变量的字母不同，是同一函数.
故选：ABC
10．ACD
【分析】根据相互独立事件和对立事件的概率公式即可求解.
【详解】由题意知：小王和小张都中奖的概率为，故A正确；
小王和小张都没有中奖的概率为，故B错误；
小王和小张中只有一个人中奖的概率为，故C正确；
小王和小张中至多有一个人中奖的概率为，故D正确.
故选：ACD．
11．AB
【分析】根据充要条件的性质即可判断求解也可以利用集合之间的关系更方便理解求解.
【详解】对于A：因为可以推出，但是不可以推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确；
对于B：因为且可以推出，
但是不可以推出且，
所以“且”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于C：因为，解得或，
所以“”可以推出“”，
但是“”不可以推出“”
所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误；
对于D：当时，，
所以“”不可以推出“”，
但是“”可以推出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误.
故选：AB.
12．CD
【分析】首先根据题意画出函数的图象，得到，，即可得到答案.
【详解】函数的图象图所示：
设，因为，
所以，
当时，，时，，
所以，即.
故选：CD
13．10
【分析】根据分层抽样的特点：按比例抽样，即所占比例不变．
【详解】高二人数占总人数的比例为，高二抽取的人数为
故答案为：10．
14．34
【分析】设公司在甲地销售农产品吨，则在乙地销售农产品吨，根据利润函数表示出利润之和，利用配方法求出函数的最值即可．
【详解】设公司在甲地销售农产品（）吨，则在乙地销售农产品吨，，
利润为，
又 且
故当时，能获得的最大利润为34万元．
故答案为：34.
15．
【分析】根据题意写出抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字的所有基本事件，然后代入古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】记“抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字”为事件，
事件包括以下种情况：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
而有放回地连续抽取2张卡片共有（种）不同情况，
则．
故答案为：.
16．
【分析】结合已知条件，由对数型复合函数单调性和定义域即可求解.
【详解】由题意可知，且，所以在上单调递减，
因为函数在上单调递减，
由复合函数单调性可知，，
又由对数型函数定义域可知，，即，
综上可知，.
故答案为：.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）利用集合的交集运算即可得解；
（2）利用集合的交并补混合运算即可得解.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以或，或.
故或.
18．(1)2 (2)
【分析】（1）根据对数的运算性质，即可求解；
（2）根据实数指数幂的运算性质，即可化简求得结果.
【详解】（1）

（2）


【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质和对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
19．（1）①当时，不等式的解集为，②当时，不等式的解集为；（2）．
【解析】（1）由不等式转化为，分，两种情况求解.
（2）根据在区间上单调，由求解.
【详解】（1）不等式可化为，
①当时，不等式可化为，
解得，此时不等式的解集为；
②当时，不等式可化为，
解得，此时不等式的解集为.
（2）,
因为函数单调，且，，
所以，
解得．
20．(1)
(2)或.
【分析】（1）先根据函数是幂函数求参，再结合奇函数定义判断即可确定参数；
（2）应用换元法转化为已知二次函数最值求出参数.
【详解】（1）令，整理为，解得或，
①当时，，可得，
由，知函数为奇函数，不合题意；
②当时，，可得，由函数的定义域为，满足题意.
由①②知，的值为；
（2）由（1）有，可得，
令（），有，可得，可化为，
令（），
①当时，，
又由的最小值为，有，解得；
②当时，，
又由的最小值为，有，解得（舍去）或，
由①②知或.
21．(1)24人；
(2)众数：75分，90%分位数：84分；
(3)物业公司需要对物业服务人员进行再培训，理由见解析.
【分析】（1）本题考查频率分布直方图每个矩形的意义，即频率，则每个区间人数即可求解；
（2）本问考查频率分布直方图的众数与百分位数的求法，即最高矩形的组中值为众数，左右两边频率之和为0.9与0.1的为90%分位数；
（3）本问考查频率分布直方图平均数的求法，即组中值与频率乘积之和，最后套入公式即可.
【详解】（1）评分在区间的人数为100×0.04×10＝40（人），
评分在区间的人数为100×0.016×10＝16（人），
故评分在区间的人数与评分在区间的人数之差为40－16＝24（人）；
（2）业主对物业服务的满意程度给出评分的众数为75分，
由，，
设业主对物业服务的满意程度给出评分的90%分位数为x，
有，解得x＝84，
故业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数分别为75分和84分；
（3）业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分为
55×0.016×10＋65×0.03×10＋75×0.04×10＋85×0.01×10＋95×0.004×10＝70.6，
由，
故物业公司需要对物业服务人员进行再培训．
22．(1)a＝0
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数是定义在R上的奇函数，由求得a，再验证即可；
（2）利用函数的单调性定义和复合函数的单调性证明；
（3）先证得函数在R上单调递增，将不等式转化为，进而得到求解.
【详解】（1）解：由函数是定义在R上的奇函数，
有，可得a＝0，
当a＝0时，由，，
，
此时为奇函数，
又由，
可知函数的定义域为R，故a＝0满足题意，
故实数a的值为0；
（2）证明：由（1）有，
①若，令
则，
因为，
所以，
则，即，
所以在上递增，
又在上递增，
由复合函数的单调性得函数在上单调递增，
②若，由函数为奇函数，得
，即
③若，则由①②得
综上，对于，总有，因此函数在R上单调递增；
（3）由，
可得函数为奇函数．
又由函数和在R上单调递增，可得函数在R上单调递增，
不等式可化为不等式，
可化为，有，
可知对，不等式恒成立，等价于对，恒成立，
①当时，，，不等式显然成立；
②当时，
Ⅰ．若x＝－1，，，不等式显然成立，
Ⅱ．若，不等式可化为，又由（当且仅当x＝1时取等号），
故有；
Ⅲ．若，不等式可化为，
又由（当且仅当x＝－3时取等号），
故有，
由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ可得，
由①②可知，实数m的取值范围为．