河南省名校联盟2023-2024学年高一上学期期末数学试题

这是一份河南省名校联盟2023-2024学年高一上学期期末数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，是第二象限的角，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知函数是奇函数，当时，，则（ ）
A．1B．C．D．3
5．如图是杭州第19届亚运会的会徽“潮涌”，将其视为一扇面，若的长为的长为，则扇面的面积为（ ）
A．190B．192C．380D．384
6．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数，设，则（ ）
A．B．C．D．
8．定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立，则称函数为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知角与的终边相同，则角可以是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．在区间上是增函数
B．点是图象的一个对称中心
C．若，则的值域为
D．的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到
11．若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数，若方程有4个不同实根，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13． .
14．函数的零点为 .
15．若集合的非空子集为，则关于的不等式的解集为 ．
16．已知函数，若对任意恒有，则的取值集合为 ．
四、解答题
17．已知集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围.
18．已知.
(1)化简；
(2)若均为锐角，，求的值.
19．已知函数．
(1)若不等式在实数上有解，求实数的取值范围；
(2)当时，解关于的不等式．
20．某机构通过对某企业今年的生产经营状况的调查，得到月利润（单位：万元）与相应月份的部分数据如下表：
(1)根据上表中的数据，从（这里的都是常数）三个函数模型中选取一个恰当的模型描述与的变化关系，并说明理由；
(2)利用2月份和5月份的数据求出（1）中选择的函数模型，并估计几月份的月利润最大.
21．已知函数．
(1)若，求的最小值；
(2)若在区间上的值域为，求的取值范围．
22．已知函数为偶函数．
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围．
2
5
7
10
229
244
241
227
参考答案：
1．C
【分析】根据题意求解，再求解其，判断选项.
【详解】
所以.
故选：C
2．C
【分析】先求得，然后求得.
【详解】由于，是第二象限的角，
所以，
所以.
故选：C
3．A
【分析】根据充要条件的要求分别判断即得，对于较复杂的命题，应先求出其等价命题在判断.
【详解】因，由“”可得“”，即“”是“”的充分条件；
而由“”显然不能得到“”，即“”不是“”的必要条件.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
4．C
【分析】利用奇函数的定义将转化为，结合的解析式求解即可.
【详解】当时，，则；
因为函数是奇函数，则.
故选：.
5．D
【分析】根据题意设，构造方程组，求出，进而求出扇形面积.
【详解】如图，设，由题意可知解得，扇面的面积为.
故选：D.
6．B
【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可.
【详解】是幂函数，设，将代入解析式，
得，解得，故，则，
故，解得
故选：B
7．D
【分析】根据函数的奇偶性、单调性比较大小.
【详解】因为的定义域为，且，
所以为偶函数，，
又当时，单调递减，
由以及，
可得，
即．
故选:D．
8．B
【分析】根据“正积函数”的定义一一判断即可.
【详解】对于A，，
由，
当时，则不存在满足情况，故A不是正积函数；
对于B，，
由，
则任意一个自变量的值，都存在唯一一个满足，
故B是正积函数；
对于C，，
由，
得，
当时，则，，，则不唯一，故C不是正积函数；
对于D，，
由，
当时，则不存在满足情况，故D不是正积函数.
故选:B.
9．BC
【分析】依题意，判断选项.
【详解】依题意，当时，，当时，，所以选项符合，选项不符合.
故选:.
10．CD
【分析】根据函数图像特征，从最小值，周期，及最低点坐标可依次求出参数值，得到函数解析式；将看成整体角z，由选项求出其值或取值范围，结合正弦函数的图象即可判断单调性、对称性以及函数的值域；最后通过诱导公式将化成，经过平移图象即可判断.
【详解】
由图知，,则,故，
代入点，即得：，则，
故，因，则得：，即：.
对于A项，由，得，
所以函数在区间上是增函数.
当时，函数在区间上是增函数，
故函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，故A项错误；
对于B项，由，得，
函数图象的对称中心是，（而时，，故B项错误；
对于C项，若，则，
则的值域为，故C项正确；
对于D项，，
将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D项正确.
故选：CD.
11．ABD
【分析】由题意可得，根据可判断A；，利用“乘1法”可判断B；根据可判断C；可化为，利用基本不等式可判断D.
【详解】
∴，A正确；
，当且仅当时等号成立，B正确；
，解得错误；
，由题意知，，则，当且仅当时等号成立，D正确.
故选:ABD.
12．BCD
【分析】画出函数图像，结合函数性质逐项分析得答案.
【详解】当时，即，当且仅当时取等号，
在上递增，在上递减，
当时，且在上递减，在上递增，
综上，可得图象如下，
当且仅当时方程有4个不同实根，A错误；
结合图象及题设知：，B正确；
由题得且，
所以，C正确；
是方程的两个根，即方程的两个根，
所以则，
由，得，所以，D正确.
故选：BCD.
13．/
【分析】根据和角余弦公式的逆用，即可求解.
【详解】
故答案为：
14．
【分析】根据题意，由函数零点的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】令，则，即，
所以函数的零点为.
故答案为：
15．
【分析】分析可得，利用二次不等式的解法解原不等式，即可得解.
【详解】由题意可知，方程的唯一解为，故，
由可得，解得，
故关于的不等式的解集为.
故答案为：.
16．
【分析】由绝对值不等式解得对恒成立，再结合二次函数的图象和单调性即可得到答案.
【详解】因为，
所以，
因为，
因为，则，
，
所以，故，所以的取值集合为．
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得化简集合，结合交集的概念即可得解.
（2）由题意，即问题转化为恒成立，由此即可得解.
【详解】（1），
由解得，
所以时，，
所以.
（2）若“”是“”的必要条件，则，
由（1）知，
所以对任意，有，
所以问题转化为恒成立，
所以，即的取值范围为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式和三角函数的周期性化简即可.
（2）把所求角用已知角表示（整体思想），即，之所以用余弦是因为用正弦无法判断是第几象限角.
【详解】（1）原式
（2）由（1）得，所以，
因为均为锐角，所以，
又，所以，
由，得，
所以，
又为锐角，故.
19．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对进行分类讨论，再根据题设条件即可求出结果；
（2）利用含参不等式的解法，对进行分类讨论，即可求出结果.
【详解】（1）因为在上有解，
（1）当时，成立，
（2）当时，由，得到，解得，
（3）当时，在上恒有解，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）由，得到，因为，
（1）当时，得到，即上，此时不等式的解集为，
（2）当时，因为，
①当，，此时方程的两根 ，且有，
此时不等式的解集为或．
②当时，，此时不等式的解集为R ，
综上所述：
当，解集为；
当，解集为或；
当，解集为R.
20．(1)选取二次函数，理由见解析
(2)；6月份的利润最大
【分析】（1）根据表格中的数据不是单调函数，即可作出选择；
（2）将点代入，求得函数，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由题目中的数据知，描述每月利润与相应月份数的变化关系不是单调函数，
所以应选取二次函数进行描述.
（2）解：将点，代入，
可得，解得，
所以，即，
所以当时，取最大值，故可估计6月份的利润最大.
21．(1)1
(2)
【分析】（1）根据条件可知函数关于点对称，代入即可求解；
（2）首先求的范围，再根据三角函数的图象和性质，即可列不等式求的取值范围．
【详解】（1）因为，
所以的图象关于点对称，
则，
解得．
又，故当时，取得最小值1．
（2）当时，，
因为函数在区间上的值域为，所以，
解得：．
所以的取值范围为．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，解出即可；
（2）考查函数在的单调性，根据条件转化不等式，解出即可；
（3）根据题意可知方程有两个不同的根，化简方程后，列出条件，解出即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为函数为偶函数．
所以，
即，
所以
，
所以；
（2）因为，
当时，，单调递增，
所以在上单调递增，又函数为偶函数，
所以函数在上单调递减；
因为，所以，
解得或，
所以不等式的解集为
（3）因为函数与图象有个公共点，
所以方程有两个不同的根，
方程即为，
可化为，
则有，，
设，则，
即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
所以，
解得，
所以的取值范围为．