山东省滨州市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题

这是一份山东省滨州市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“”的条件
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
4．若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（ ）
A．B．
C．D．
5．若函数（，且）的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数是定义域为的偶函数，对任意，，，都有.实数，，满足，，（），则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．若，则下列不等式中正确的为（ ）
A．B．C．D．
10．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（ ）
A．为偶函数B．为增函数
C．若，则D．若，则
11．下列各组函数中，表示同一函数的为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
12．函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法中正确的为（ ）
A．的最小正周期是
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度后，得到函数的图象，则是奇函数
D．在上单调递减
三、填空题
13．已知函数，则 .
14．杭州第19届亚运会会徽（图1）名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展，也象征亚奥理事会大家庭团结携手、紧密相拥、永远向前.图2是会徽抽象出的几何图形.设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，若，，则 .
15．一元二次不等式对于一切实数都成立，实数的取值范围为 .
16．已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为 ，的取值范围为 .
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
18．已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
19．已知函数，，且为奇函数.
(1)求实数，判断函数的单调性，并根据函数单调性的定义证明你的判断；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
20．近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（且）.根据图中提供的信息，求：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
(2)为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室.（精确到小时）（参考值：，，）
21．已知函数，图象上相邻两个对称中心的距离为.
(1)求函数的解析式和单调递增区间；
(2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的最大值.
22．已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得成立，则称函数为“伴和函数”.
(1)判断是否存在实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由；
(2)证明：函数在上为“伴和函数”；
(3)若函数在上为“伴和函数”，求实数的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】根据命题的否定即可求解.
【详解】命题“，”的否定为:,,
故选：D
2．B
【分析】利用集合的基本运算计算即可.
【详解】由，
,
所以.
故选：B.
3．A
【详解】试题分析：若,则；若,则,推不出．所以“” 是“”成立的充分不必要条件．故选A．
考点：充分必要条件．
4．D
【分析】利用函数经过点，求出，并代入选项，借助基本初等函数逐一判断即可.
【详解】从函数（，且）的图象可知：该函数经过，
所以，即，解得，
对于选项A: ，由指数函数可知在定义域上单调递减，故选项A错误；
对于选项B: ，当时，则，
由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项B错误；
对于选项C: 该函数为，可看成的图象关于轴对称，对称后在单调递增，故选项C错误；
对于选项D: ，由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项D正确.
故选：D.
5．C
【分析】根据对数函数的性质即可求解定点的坐标，根据复合函数的单调性即可求解.
【详解】对于函数（且，
令，求得，，可得它的图象恒过定点，
所以．
对于函数，则，
，或，故函数的定义域为或．
函数的单调递增区间，即在定义域内的增区间，
由二次函数的性质可得，在定义域内的增区间为，
故选：C
6．A
【分析】根据同角关系以及和差角公式即可求解.
【详解】由于，所以，所以，
由可得，
故，
故选：A
7．B
【分析】将问题转化为，利用“1”的代换以及基本不等式求解，从而得到，求解不等式，即可得到答案．
【详解】因为不等式恒成立，
则，
因为，，由可得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
故，
所以，即，解得，
则实数的取值范围是．
故选：B．
8．D
【分析】根据可得在单调递增，结合对称性可得函数的单调性，进而根据基本函数的单调性结合零点存在性定理即可求解.
【详解】由，，，可得，故在单调递增，
由于是定义域为的偶函数，故的图象关于对称，故在 单调递减，
由于函数单调递增，故由可得，
函数单调递增，故，可得，
由于函数在单调递增，，，故，则，
所以，故，即，
故选：D
【点睛】函数零点的估计，往往需要结合零点存在定理和函数的单调性来进行判断，后者需结合基本初等函数的性质来处理，另外取点时注意以函数值容易计算为主旨.
9．BC
【分析】利用作差法及不等式的性质逐一判断即可.
【详解】因为，，所以，
对于选项A: 因为，所以，故选项A错误；
对于选项B: 因为，所以，
因为，所以，
所以，故选项B正确；
对于选项C: 因为，
所以，故选项C正确；
对于选项D: 因为，
由于的正负性不确定，故选项D错误；
故选：BC.
10．BD
【分析】由已知点的坐标先求出函数解析式，然后结合幂函数的性质检验各选项即可判断．
【详解】设幂函数，由于图象经过点，
所以，即，
所以，
故在定义域,上单调递增，B正确；
为非奇非偶函数，A不符合题意；
当，解得，故C正确；
当时，
，
故，即成立，D正确．
故选：BD
11．ACD
【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同即可逐一判断.
【详解】对A，两个函数的定义域都为，且，
对应关系相同，是同一函数，A正确；
对B，定义域为，的定义域为，
故两个函数的定义域不相同，不是同一函数，B错误，
对于C, 两个函数的定义域均为，，
故两个函数的对应关系相同，是同一函数，C正确；
对于D，两个函数的定义域都为，且，
对应关系相同，是同一函数，D正确；
故选：ACD．
12．ABD
【分析】根据已知图象可确定相关参数，求得函数解析式，进而判断A; 将代入函数中解析式求得其值，即可判断B；根据正弦函数的图象的平移变换规律可得平移后的解析式，可判断C;利用正弦函数的单调性可判断D.
【详解】因为经过，所以，
即因为，所以所以
又因为经过，所以，
即，所以，即，
因为，所以.故.
对于选项A:因为，所以,故选项A正确；
对于选项B: 将代入函数，可得：，
故的图象关于点对称，故选项B正确；
对于选项C：将的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，
得到,
令，则，
所以的对称中心为,
在对称中心中无坐标原点，故不是奇函数，故选项C错误；
对于选项D: 对于，令，
因为，所以，而在单调递减，
所以在上单调递减，故选项D正确.
故选：ABD.
13．1
【分析】根据函数的解析式，可得，计算即可.
【详解】因为函数，
所以.
故答案为：1.
14．6
【分析】由弧长比可得，结合扇形面积公式得答案．
【详解】设，由，得，即，
则．
故
故答案为：6．
15．
【分析】利用二次不等式恒成立的条件得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为是一元二次不等式，所以，
又对一切实数成立，
所以，解得，
则的取值范围是.
故答案为：.
16．
【分析】结合函数图像，即可求出的取值范围；利用，将表示成关于的表达式，借助，利用单调性即可解决.
【详解】画出函数的图象如图所示：
要使得方程有4个不同的实数根，
只需有4个不同的实数根，即的图象有四个交点，
结合图象可知：.
因为，所以，
所以，
即，
所以，即，
而是的两根，即，
因为，满足所以，
，
令，因为，则在单调递增，
所以，故.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的定义可求得、的值，即可得出的值；
（2）由三角函数的定义求出的值，利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】（1）解：设点与原点的距离为，则.
所以，，，
所以，.
（2）解：由条件得.
则
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）当时，求出集合、，利用交集的定义可求得集合；
（2）由题意可得，分、两种情况讨论，根据题意可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，，
由可得，解得，则，
因此，.
（2）解：因为，所以.
当时，，得，满足题意；
当时，则，解得，
综上所述，的取值范围是.
19．(1)在上单调递增，证明见解析
(2).
【分析】（1）利用奇函数的定义求出，判判单调性，再利用单调函数的定义推理证明.
（2）利用（1）的结论，脱去法则求解不等式即得.
【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得，
即，于是，解得，则，
函数在上单调递增，证明如下：
，且，则，
，由，得，，，
于是，即，
所以函数在上是单调递增函数.
（2）由（1）知，函数是定义在上的奇函数，且为增函数，
则恒成立，即恒成立，
亦即恒成立，因此，解得，
所以的取值范围是.
20．(1)
(2)小时
【分析】（1）当时，设，当时，设（且），将相应点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，综合可得出关于的函数解析式；
（2）分析函数的单调性，当时，解不等式，即可得出结论.
【详解】（1）解：当时，设，将代入得，解得，此时，；
当时，设（且），将、代入得，
解得，此时，.
综上：.
（2）解：因为函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，令，得，
则，即，
所以，.
所以，从药物释放开始，至少经过小时后学生才能进入教室.
21．(1)，（）.
(2).
【分析】（1）利用周期求出，借助三角函数的单调性即可求出单调增区间；
（2）通过三角函数图象的变换求出，代入化简，借助三角函数的性质求出最值即可.
【详解】（1）由题意知，，则，得
所以.
由，，
得，，
所以的单调递增区间为（）.
（2）将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得，再向右平行移动个单位长度，得.
，
因为，则，
所以，
当且仅当时，即,此时在上有最大值为.
22．(1)不存在，理由见解析
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）假设，代入函数解析式可得出，计算，即可得出结论；
（2）由，可得出，令，利用零点存在定理证明出函数在内存在零点，即可证得结论成立；
（3）由已知可得，利用对数的运算性质可得，令，可得出，利用基本不等式即可求得的取值范围.
【详解】（1）解：不存在，理由如下：
若，则，
整理得，
因为，该方程无解，
所以，不存在实数使得函数为“伴和函数”.
（2）证明：由，
得，整理得，
设因为在内连续不断，
且，，则，
所以，在内存在零点，所以，在内存在零点，
即方程在内存在实根，
故函数在上为“伴和函数”.
（3）解：若函数在上为“伴和函数”，则，
即，
整理得，
令，则，
所以，.
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，，所以，，
即，所以，实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．