浙江省宁波市南三县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份浙江省宁波市南三县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列属于必然事件的是（ ）
A．阴天一定会下雨B．在一个装满红球的袋中摸出黑球
C．射击运动员射击一次，命中10环D．在地面向空中抛掷一块石头，石头终将落下
2．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．如图所示，，，，，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
4．如图，在中，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，线段AB两个端点坐标分别为A（4，6），B（6，2），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的后，得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
6．已知点，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点则等于( )

A．80°B．75°C．65°D．55°
8．如图，已知是的直径，弦，垂足为E，，，则的长为（ ）
A．B．2C．D．
9．已知关于x的二次函数（m，n为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴在y轴的左侧
C．若，该函数图象与x轴没有交点
D．当时，该函数的最大值与最小值的差为4
10．如图，矩形矩形，且点E、A、B三点共线，连结，，与交于点H，若要求两个矩形的相似比，则只需知道（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知，则 ．
12．一个不透明的袋子里装有4个红球、3个黄球和1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从袋中任意摸出一个小球为红球的概率是 ．
13．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转至，使点C落在边上的D处，则 ．
14．如图，等边三角形内接于，若的半径为2，则图中两部分阴影面积的和为 ．
15．如图，在正方形中，，E是的中点，连接，P是边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在上的处，当为直角三角形时，的长为 ．
16．如图，在中，，点F为直径上一点，连结并延长交于点G，交于点E，若，，，则的长为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）．
(1)在图中画，使得与的相似比为．
(2)在图中画出的重心．
19．2023年9月23日至10月8日在杭州举行第19 届亚运会，亚运会吉祥物是“宸宸”、“琮琮”和“莲莲”．现将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片A，B，C（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
(1)若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是______．
(2)若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片图案相同的概率．
20．某小区门口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．闸机是高为，宽为的矩形，已知，点O到的距离为，小区门口宽度为．
(1)当曲臂杆与的夹角为时，求点A到地面的距离；
(2)因机器出现故障，曲臂杆最多可旋转，有一辆宽为、高为的货车可否顺利通过门口?（参考数据：，，）
21．如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于点，连结．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．如图，在中，，，，D为边上一点，过点D作的平行线交于点E，过点E作的平行线交于点F．
(1)求证：．
(2)若，求与的面积比．
(3)设，四边形的面积为y，求y关于x的函数表达式并求其最大值．
23．根据以下素材，探索完成任务．
24．如图1，四边形内接于，为直径，，，交于点E，，过点O作，垂足为G，交于点H．
(1)求的半径；
(2)当时，求的值；
(3)延长交的延长线于点Q，当时，求的长．
素材1
一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）．
图1
素材2
从喷泉口A喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为米处离地面最高，高度为米．
图2
问题解决
任务1
建立模型
以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式．
任务2
利用模型
为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A升高的最小值．
任务3
分析计算
喷泉口A升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了必然事件，不可能事件和随机事件的定义．在数学中，我们把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件，由此逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A. 阴天一定会下雨，是随机事件；
B. 在一个装满红球的袋中摸出黑球，是不可能事件；
C. 射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件；
D. 在地面向空中抛掷一块石头，石头终将落下，是必然事件；
故选D．
2．D
【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r.
解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符.
故选D.
“点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系.
3．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得结论，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
【详解】∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
4．B
【分析】本题考查了三角函数的定义，理解三角函数的定义是解答本题的关键，首先在中，利用正弦函数的定义得到，然后设，求出的长，最后根据正切函数的定义即可求得答案．
【详解】如图，在中，，，
设，则，
，
．
故选：B．
5．A
【详解】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（4，6），B（6，2），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（-2，-3）．
故选：A．
6．D
【分析】本题考查比较二次函数值的大小．理解二次函数当时距离对称轴越远的点，函数值越大是解题关键．先判断函数的开口向上，对称轴为，从而得出距离对称轴越远，函数值越大，再结合三点坐标即可判断函数值之间的大小关系．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
∵，开口向上，离对称轴越远，函数值越大，
3离对称轴比0离对称轴远，
∴，
故选：D．
7．B
【分析】根据正多边形的外角和，分别得出，，再根据三角形的内角和即可求出．
【详解】解∶由正多边形外角和等于可得：
，，
∴．
故选∶B．
【点睛】本题考查了正多边形的外角和，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是运用正多边形的外角和求出和的度数．
8．C
【分析】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以勾股定理的应用，连接，由圆周角定理得出，根据垂径定理可得，证出为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案．
【详解】解：如图，连接，
是的直径，弦，，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，即，
，
，
故选：C．
9．D
【分析】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与x轴交点问题，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．
【详解】解：由，所以开口向下，故A选项错误；
抛物线对称轴为，不能确定对称轴的位置，故B选项错误；
若，即，所以，该函数图象与x轴交点无法确定，故C选项错误；
当时，有最小值为，当时，有最大值为，所以最大值与最小值的差为4，故D选项正确；
故选：D．
10．C
【分析】本题考查相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形性质，由矩形矩形，得到相似比是，由，推出即可得到答案．
【详解】解：矩形矩形，
矩形与矩形的相似比是，
四边形为矩形，
，
，
要求两个矩形的相似比，则只需知道，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了比例的性质，设代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，设，
∴，
故答案为：．
12．/
【分析】本题主要考查概率计算公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为，掌握概率计算公式是解答本题的关键．
【详解】解：有4个红球、3个黄球和1个黑球，
袋中任意摸出一个球是红球的概率，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，首先根据旋转得到，即得到，然后求出旋转角的度数是解题的关键．
【详解】解：由旋转的性质得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，扇形面积公式，圆周角定理，连接，根据等边三角形的性质可证明，从而可得阴影部分的面积等于钝角对应的扇形面积，进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，
为等边三角形，
，，
，
，
，
阴影部分的面积等于钝角对应的扇形面积，
，
则，
故答案为：．
15．或
【分析】由正方形的性质得 ， 由是的中点，得 ，再分两种情况讨论，一是 ，则，所以 ，则 ，由折叠得 ，则，所以 ，求得，则；二是，设折痕交于点，由，得，则 ，所以由折叠得，则 , 求得 ，于是得到问题的答案．
【详解】∵四边形是正方形，，
， ，
∵是的中点，
，
如图，为直角三角形，且，
则，
，
，
由折叠得.
，
，
，
；
如图，为直角三角形，且， 设折痕交于点，
，
∴，
，
，
∴，
由折叠得，
，
，
故答案为：或．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地求出与或与之间的数量关系是解题的关键．
16．16
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．设，则，连接，根据已知条件得到，根据全等三角形的判定和性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：设，则，连接，
∵是的直径，，
∴，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去），
∴．
故答案为：16．
17．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值及实数的运算．掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．先代入特殊角的三角函数值，然后合并解题即可．
【详解】解：
．
18．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（）根据相似三角形的性质作出图形即可；
（）根据三角形重心的定义即可得到结论；
本题考查了作图-相似变换，三角形的重心，正确地作出图形是解题的关键．
【详解】（1）画图如图，
由网格可知：，，，
，，，
∴，
∴与相似且相似比为，
∴即为所求；
（2）画图如图，
由和为的中线，
∴点是的重心，
∴点即为所求．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画出树状图，得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】（1）∵一共有三张卡片，每张卡片被抽取的概率相同，
∴从中随机抽取一张，恰好抽到“莲莲”的概率为，
故答案为：；
（2）解：用树状图表示所有等可能结果如下，
共有种等可能结果，其中两次抽取的卡片图案相同的结果有种，
∴两次抽取的卡片图案相同的概率为．
20．(1)
(2)可顺利通过门口
【分析】（1）过点作于点，过点作于点，于点，交于点，利用直角三角形的边角关系定理解答即可；
（2）假定曲臂杆旋转至如图所示的位置，过点作于点，过点作于点，于点，交于点，通过计算曲臂杆旋转至最高位置时，点的高度与货车的高度的比较，以及点距离大门的墙壁距离与货车的宽度比较即可.
【详解】（1）过点作于点，过点作于点，于点，交于点，如图，
由题意得： ，
，
∴四边形为矩形，
，
，
，
∴点到地面的距离；
（2）一辆宽为、 高为的货车可顺利通过门口，理由：
假定曲臂杆旋转至如图所示的位置，
过点作于点，过点作于点，于点，交于点，
由题意得：
，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，
货车高度,
∴，
∴，
∵小区门口宽度为，
∴点距离大门口的墙壁的距离为 ，宽为，
综上，一辆宽为、 高为的货车可顺利通过门口．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长；
（1）利用角平分线的性质得出，进而得出；
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得出是的直径，进而根据三角形的外角的性质得出，然后根据（1）的结论得出，根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵与都是弧所对的圆周角，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
22．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可；
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可．
（3）过点作于点，利用勾股定理求得，则的面积可求；利用相似三角形的判定与性质求得的面积，则，再利用二次函数的性质求得面积的最大值．
【详解】（1）证明∶ ∵ ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴与的面积比
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴与的面积比；
（3）过点作于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴关于的函数表达式为，
，
∴四边形的面积的最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理与性质定理是解题的关键．
23．任务1：；任务2：喷水口升高的最小值为米；任务3：建议花卉的种植宽度为米
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式．
任务1：依据题意，用待定系数法求得抛物线的:函数表达式；
任务2：依据题意，由喷泉池的半径为米，令，则，从而可以求出喷水口升高的最小值；
任务3:：依据题意，当向上平移个单位，再令，，求出x的值，再减去即可判断得解．
【详解】解：任务1：由题意得，，顶点为，
可设抛物线的函数表达式为，
抛物线过，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
任务2：由题意，喷泉池的半径为米，
令，则，
喷水口升高的最小值为米；
任务3：当向上平移个单位，
则，
令，，
解得：，（舍去），
米，
建议花卉的种植宽度为米．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用垂径定理，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质解答即可；
（3）设 ，则利用垂径定理和勾股定理求得值，连接，利用（2）的结论，三角形的中位线定理和等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【详解】（1）∵为直径，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴ ,
，
∴的半径；
（2）∵过点作，
∴，
∵，
∴为的中位线，
，
∵，
∴,
∴，
在和中,
，
，
，
，
；
（3），
设 ，则，
，
，
，
，
解得：(负数不合题意，舍去)，
，
连接，如图，
，
，
由（2）知: 为的中点，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键.