（人教A版2019选择性必修第一册）数学 专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】（举一反三）（原卷版+解析）

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专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】【人教A版（2019）】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc4225" 【题型1 求空间点的坐标】  PAGEREF _Toc4225 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc18829" 【题型2 空间向量运算的坐标表示】  PAGEREF _Toc18829 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc26397" 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】  PAGEREF _Toc26397 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc1736" 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】  PAGEREF _Toc1736 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc1894" 【题型5 空间向量模长的坐标表示】  PAGEREF _Toc1894 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc19610" 【题型6 空间向量平行的坐标表示】  PAGEREF _Toc19610 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc13829" 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】  PAGEREF _Toc13829 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc25633" 【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】  PAGEREF _Toc25633 \h 8【知识点1 空间直角坐标系】1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 eq \o(OA,\s\up6(→)) 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．【题型1 求空间点的坐标】【例1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）空间直角坐标系中，已知A−1,1,3，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（    ）A．1,1,−3 B．−1,−1,−3 C．1,1,3 D．−1,−1,3【变式1-1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知点A(3,−1,0)，若向量AB=−1,6,−3，则点B的坐标是（    ）A．(1,−6,3) B．(5,4,−3) C．(−1,6,−3) D．(2,5,−3)【变式1-2】（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）若点A1,2,3，点B4,−1,0，且AC=2CB，则点C的坐标为（    ）A．3,0,1 B．2,1,2C．32,−32,−32 D．52,12,32【变式1-3】（2023·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z)下列叙述中正确的是（    ）①点P关于x轴的对称点是P1(x,−y,z)②点P关于yOz平面的对称点是P2(−x,y,z)③点P关于y轴的对称点是P3(x,−y,z)④点P关于原点的对称点是P4(−x,−y,−z)A．①② B．①③ C．②④ D．②③【知识点2 空间向量的坐标运算】1．空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．2．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有【题型2 空间向量运算的坐标表示】【例2】（2023春·全国·高二校联考开学考试）已知向量a=3,−4,2，b=2,−3,1，则a−2b=（    ）A．7,−10,4 B．5,−7,3 C．1,−1,1 D．−1,2,0【变式2-1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知向量AB=2,3,1,AC=4,5,3，那么BC=（　　）A．−2,−2,−2 B．（8，15，3） C．（6，8，4） D．（2，2，2）【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）已知向量a=2,3,−4,b=−4,−3,−2,b=12c−2a,则c=（    ）A．0,3,−6 B．0,6,−20 C．0,6,−6 D．6,6,−6【变式2-3】（2022秋·河南信阳·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，若向量AB=（﹣3，5，2），CD=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为（     ）A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】【例3】（2022·全国·高二专题练习）若A(2,−4,−1)，B(−1,5,1)，C(3,−4,1)，则CA⋅CB=（    ）A．-11 B．3 C．4 D．15【变式3-1】（2023春·高二课时练习）若a=2,3,2,b=1,2,2,c=−1,2,2，则a−b⋅c的值为（    ）A．−1 B．0 C．1 D．2【变式3-2】（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则AO1⋅AC1的值为（ ）A．-1 B．0 C．1 D．2【变式3-3】（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，P是正六棱柱内（不含表面）的一点，则AP⋅AB的取值范围是（    ）A．(−12,32) B．(−32,12)C．(−12,1) D．(0,32)【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】【例4】（2022秋·广东江门·高二校考期中）a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(3，2，λ)，若c=2a+b，则实数λ等于（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【变式4-1】（2022秋·广西南宁·高二校考期中）已知a=−3,2,5，b=1,x,−1，且a⋅b=2，则x的值是（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【变式4-2】（2023秋·北京丰台·高二校考期末）若向量a=(1,−1,λ),b=(1,−2,1),c=(1,1,1)，满足条件(c−a)⋅b=−1，则λ=（    ）A．−1 B．−2 C．1 D．2【变式4-3】（2023秋·河南郑州·高二校考阶段练习）已知点A1,−1,2，B2,−1,1，C3,3,2，又点Px,7,−2在平面ABC内，则x的值为（    ）A．11 B．9 C．1 D．−4【知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题】1．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)) \r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).2．空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq \o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).3．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得．【题型5 空间向量模长的坐标表示】【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=14CD，H为C1G的中点．求|FH|.【变式5-1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4，E，F，G分别为棱DD1，A1D1，BB1的中点.  (1)求线段FG的长度；(2)求CG⋅EF.【变式5-2】（2023春·福建龙岩·高二校考阶段练习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M,N分别是B1C1，A1A的中点．(1)求M,N的距离；(2)求cosBA1,CB1的值．【变式5-3】（2022秋·福建·高二校联考阶段练习）已知空间三点，A0,2,3，B−2,1,6，C(1,−1,5)．(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积；(2)若AD=7，且∠DAB=∠DAC=60°，点P是BC的中点，求DP的值．【题型6 空间向量平行的坐标表示】【例6】（2023春·高二课时练习）已知空间三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设a=AB,b=AC.若(ka+b)//(a−3b)，求实数k的值．【变式6-1】（2022·高二课时练习）已知A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5)，且ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标．【变式6-2】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）已知a=1,4,−2，b=−2,2,4.(1)若c=12b，求cos的值；(2)若ka+b∥a−3b，求实数k的值.【变式6-3】（2022·高二课时练习）正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，BD＝λDQ，求λ的值．【题型7 空间向量垂直的坐标表示】【例7】（2023春·高二单元测试）已知空间三点A(−2,0,2),B(−1,1,2)，C(−3 ,0,4)，设a=AB,b=AC.若m(a+b)+n(a−b)与2a−b垂直，求m,n满足的关系式.【变式7-1】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知a=3,2,−1，b=2,1,2．(1)求a−b⋅a+2b；(2)当a−b⊥a+kb时，求实数k的值．【变式7-2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知空间中三点A2,0,−2，B1,−1,3，C3,0,1，设a=AB，b=AC.(1)若c=3，且c∥BC，求向量c；(2)已知向量a+kb与b互相垂直，求k的值.【变式7-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知a=1,−4,5，b=−2,3,2，点A−3,−2,3，B−2,−3,2．(1)求2a+b的值．(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】【例8】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=14CD．求cosEF,C1G．【变式8-1】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量a=(−4,2,4),b=(−6,3,−2).(1)求|a|；(2)求向量a与b夹角的余弦值.【变式8-2】（2023春·高二课时练习）已知空间中的三点P(−2,0,2),M(−1,1,2),N(−3,0,4)，a=PM，b=PN.(1)求△PMN的面积；(2)当ka+b与ka−2b的夹角为钝角时，求k的范围．【变式8-3】（2023·江苏·高二专题练习）棱长为2的正方体中，E、F分别是DD1、DB的中点，G在棱CD上，且CG=13CD，H是C1G的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：EF⊥B1C；(2)求cos；(3)求FH的长．专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】【人教A版（2019）】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc4225" 【题型1 求空间点的坐标】  PAGEREF _Toc4225 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc18829" 【题型2 空间向量运算的坐标表示】  PAGEREF _Toc18829 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc26397" 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】  PAGEREF _Toc26397 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc1736" 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】  PAGEREF _Toc1736 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc1894" 【题型5 空间向量模长的坐标表示】  PAGEREF _Toc1894 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc19610" 【题型6 空间向量平行的坐标表示】  PAGEREF _Toc19610 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc13829" 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】  PAGEREF _Toc13829 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc25633" 【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】  PAGEREF _Toc25633 \h 15【知识点1 空间直角坐标系】1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 eq \o(OA,\s\up6(→)) 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．【题型1 求空间点的坐标】【例1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）空间直角坐标系中，已知A−1,1,3，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（    ）A．1,1,−3 B．−1,−1,−3 C．1,1,3 D．−1,−1,3【解题思路】根据空间直角坐标系中点关于yOz平面的对称点的特征可得答案.【解答过程】根据空间直角坐标系的对称性可得A−1,1,3关于yOz平面的对称点的坐标为1,1,3，故选：C.【变式1-1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知点A(3,−1,0)，若向量AB=−1,6,−3，则点B的坐标是（    ）A．(1,−6,3) B．(5,4,−3) C．(−1,6,−3) D．(2,5,−3)【解题思路】设Bx,y,z，表达出AB=x−3,y+1,z，从而列出方程组，求出点B的坐标为2,5,−3.【解答过程】设Bx,y,z，则AB=x−3,y+1,z，因为AB=−1,6,−3，所以x−3=−1,y+1=6,z=−3，解得：x=2,y=5,z=−3，故点B的坐标为2,5,−3.故选：D.【变式1-2】（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）若点A1,2,3，点B4,−1,0，且AC=2CB，则点C的坐标为（    ）A．3,0,1 B．2,1,2C．32,−32,−32 D．52,12,32【解题思路】设Cx,y,z，根据AC=2CB列方程组即可求解.【解答过程】设Cx,y,z，则AC=x−1,y−2,z−3，CB=4−x,−1−y,−z，因为AC=2CB，所以x−1=24−xy−2=2−1−yz−3=2−z，解得x=3y=0z=1.故点C的坐标为3,0,1.故选:A.【变式1-3】（2023·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z)下列叙述中正确的是（    ）①点P关于x轴的对称点是P1(x,−y,z)②点P关于yOz平面的对称点是P2(−x,y,z)③点P关于y轴的对称点是P3(x,−y,z)④点P关于原点的对称点是P4(−x,−y,−z)A．①② B．①③ C．②④ D．②③【解题思路】根据空间坐标的对称性进行判断即可．【解答过程】点P关于x轴的对称点的坐标是(x，−y，−z)，故①错误；点P关于yOz平面的对称点的坐标是(−x，y，z)，则②正确；点P关于y轴的对称点的坐标是(−x，y，−z)，则③错误；点P关于原点的对称点的坐标是(−x，−y，−z)，故④正确，故正确的命题的序号是②④，故选：C.【知识点2 空间向量的坐标运算】1．空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．2．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有【题型2 空间向量运算的坐标表示】【例2】（2023春·全国·高二校联考开学考试）已知向量a=3,−4,2，b=2,−3,1，则a−2b=（    ）A．7,−10,4 B．5,−7,3 C．1,−1,1 D．−1,2,0【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示得出答案.【解答过程】a−2b=3−2×2,−4−2×−3,2−2×1=−1,2,0，故选：D.【变式2-1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知向量AB=2,3,1,AC=4,5,3，那么BC=（　　）A．−2,−2,−2 B．（8，15，3） C．（6，8，4） D．（2，2，2）【解题思路】利用向量减法的法则及坐标运算即可求解.【解答过程】因为AB=2,3,1,AC=4,5,3，所以BC=AC−AB=4−2,5−3,3−1=2,2,2.故选：D.【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）已知向量a=2,3,−4,b=−4,−3,−2,b=12c−2a,则c=（    ）A．0,3,−6 B．0,6,−20 C．0,6,−6 D．6,6,−6【解题思路】推导出c=4a+2b,利用向量坐标运算法则直接求解.【解答过程】∵向量a=2,3,−4,b=−4,−3,−2,b=12c−2a,∴c=4a+2b=8,12,−16+−8,−6,−4=0,6,−20.故选:B.【变式2-3】（2022秋·河南信阳·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，若向量AB=（﹣3，5，2），CD=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为（     ）A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）【解题思路】根据空间向量的加法减法运算及三角形中线的性质求解.【解答过程】如图，取AC中点M，连接ME,MF, 如图，则ME=12AB=(−32,52,1), MF=12CD=(−72,−12,−2),而EF=MF−ME=(−2,−3,−3),故选：B.【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】【例3】（2022·全国·高二专题练习）若A(2,−4,−1)，B(−1,5,1)，C(3,−4,1)，则CA⋅CB=（    ）A．-11 B．3 C．4 D．15【解题思路】先求出CA，CB的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可【解答过程】由已知，CA=(2−3,−4−(−4),−1−1)=(−1,0,−2)，CB=(−1−3,5−(−4),1−1)=(−4,9,0)，∴CA⋅CB=4+0+0=4.故选：C．【变式3-1】（2023春·高二课时练习）若a=2,3,2,b=1,2,2,c=−1,2,2，则a−b⋅c的值为（    ）A．−1 B．0 C．1 D．2【解题思路】直接利用数量积的坐标运算即可求得.【解答过程】因为a=2,3,2,b=1,2,2,c=−1,2,2，所以a−b⋅c=1,1,0⋅−1,2,2=−1+2+0=1.故选：C.【变式3-2】（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则AO1⋅AC1的值为（ ）A．-1 B．0 C．1 D．2【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出AO1⋅AC1.【解答过程】建立如图所示空间直角坐标系，A1,0,0,O112,12,1,C10,1,1，AO1=−12,12,1,AC1=−1,1,1，AO1⋅AC1=−12,12,1⋅−1,1,1=12+12+1=2故选：D.【变式3-3】（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，P是正六棱柱内（不含表面）的一点，则AP⋅AB的取值范围是（    ）A．(−12,32) B．(−32,12)C．(−12,1) D．(0,32)【解题思路】建立空间直角坐标系，设P(x,y,z)，由正六边形的性质可知−12