上海高一下期中真题精选（易错41题专练）（范围：第6章三角~8.2向量的数量积）-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）

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1．（2022春•浦东新区校级期中）已知角α是第二象限角，且|cs|＝﹣cs，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【分析】根据α的范围判断出的范围，再由含有绝对值的式子得到角的余弦值的符号，根据“一全正二正弦三正切四余弦”再进一步判断的范围．
【解答】解：由α是第二象限角知，是第一或第三象限角．
又∵|cs|＝﹣cs，∴cs＜0，
∴是第三象限角．
故选：C．
【点评】本题的考点是三角函数值的符号判断，需要利用题中三角函数的等式以及角的范围和“一全正二正弦三正切四余弦”，进行判断角所在的象限．
2．（2020春•徐汇区校级期中）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ）
A．sin（α+β）＞sinα+sinβB．sin（α+β）＞csα+csβ
C．cs（α+β）＜sinα+sinβD．cs（α+β）＜csα+csβ
【分析】对于A，B中的α，β可以分别令为30°，60°验证即可，对于C中的α，β可以令他们都等于15°，验证即可，对于D我们可以用放缩法给出证明cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ＜csα×1+csβ×1＝csα+csβ
【解答】解：对于AB中的α，β可以分别令为30°，60°则知道A，B均不成立
对于C中的α，β可以令他们都等于15°，则知道C不成立
cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ＜csα×1+csβ×1＝csα+csβ
故选：D．
【点评】本题考查了两角和与差的正余弦公式，同时也考查了放缩法对命题的证明，属于基础题．
3．（2022春•浦东新区校级期中）对于函数f（x）＝sin（2x+），下列命题：
①函数图象关于直线x＝﹣对称；
②函数图象关于点（，0）对称；
③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到；
④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的．
（纵坐标不变）而得到；其中正确的命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】①把x＝﹣代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误；
②把x＝，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误；
③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；
④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误．
【解答】解：①把x＝﹣代入函数f（x）＝sin（2x+）＝0，所以，①不正确；
②把x＝，代入函数f（x）＝sin（2x+）＝0，函数值为0，所以②正确；
③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位得到函数为f（x）＝sin（2x+），所以不正确；
④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数f（x）＝sin（2x+），正确；
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型．
4．（2022春•浦东新区校级期中）在等式①•＝；②；③；④；⑤若，则；正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据数量积的定义和性质、运算性质逐项判断．
【解答】解：①•＝0，故①错误；
②，故②正确；
③不正确，因为前者是的共线向量，后者是的共线向量；
④＝，故④正确；
⑤若，当时，则未必成立，故⑤错误．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量数量积的定义和性质以及运算性质，属于基础题．
5．（2022春•浦东新区校级期中）我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y＝2020相交于A，B两点，且|AB|＝2，则＝（ ）
A．B．C．D．﹣
【分析】根据平行于横轴的直线与平行曲线截得的线段长度相等，得到|AB|＝2是周期，
利用周期公式求得ω的值，再求f（）的值．
【解答】解：由题意知，T＝|AB|＝2，
所以＝2，解得ω＝；
所以f（x）＝tan（x+），
所以f（）＝tan（+）＝tan＝．
故选：A．
【点评】本题考查了正切函数的周期性与三角函数值计算问题，解题的关键是准确理解给定的信息，得出该函数的周期．
6．（2020春•宝山区校级期中）已知函数f（x）＝asinx+csx的一条对称轴为x＝，则函数g（x）＝sinx﹣acsx的一条对称轴可以为（ ）
A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝
【分析】利用辅助角公式分别将f（x）和g（x）进行化简，结合正弦函数和余弦函数的对称性进行求解即可．
【解答】解：f（x）＝（sinx+csx），
令csθ＝，sinθ＝，
则f（x）＝（sinxcsθ+csxsinθ）＝sin（x+θ），
∵f（x）的一条对称轴为x＝，
∴+θ＝kπ+，即θ＝kπ+，k∈Z，
g（x）＝sinx﹣acsx＝（sinx﹣csx）＝（sinxsinθ﹣csxcsθ）＝﹣cs（x+θ），
由x+θ＝mπ，m∈Z，
得x＝mπ﹣θ＝mπ﹣kπ+＝（m﹣k）π﹣，m，k∈Z，
当m﹣k＝1时，对称轴为x＝π﹣＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．难度中等．
7．（2020春•徐汇区校级期中）若函数f（x）＝sin（2x﹣）与 g（x）＝csx﹣sinx都在区间（a，b）（0＜a＜b＜π）上单调递减，则b﹣a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出函数f（x）、g（x）在（0，π）上的单调递减区间，从而求得b﹣a的最大值．
【解答】解：函数f（x）＝sin（2x﹣）在（0，）上单调递增，
在（，）上单调递减，在（，π）上单调递减；
函数g（x）＝csx﹣sinx＝cs（x+）在（0，）上单调递减，
在（，π）上单调递增；
∴f（x）、g（x）都在区间（，）上单调递减，
∴b﹣a的最大值为﹣＝．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数在某一区间上的单调性问题，是中档题．
8．（2020春•上海期中）函数f（x）＝sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（ ）
A．8B．9C．10D．11
【分析】作出函数f（x）的图象，设＝＝…＝＝k，则由数形结合即可得到结论．
【解答】解：设＝＝…＝＝k，
则条件等价为f（x）＝kx，的根的个数，
作出函数f（x）和y＝kx的图象，
由图象可知y＝kx与函数f（x）最多有10个交点，
即n的最大值为10，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数交点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
二．填空题（共23小题）
9．（2021春•浦东新区校级期中）函数的最小正周期为 ．
【分析】直接利用正切函数的周期公式T＝，求出函数的最小正周期．
【解答】解：因为函数，所以T＝＝．
所以函数的最小正周期为．
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查正切函数的周期的求法，考查计算能力，送分题．
10．（2020春•徐汇区校级期中）已知点A（2，﹣1）在角α的终边上，则sinα＝ ﹣ ．
【分析】根据三角函数的坐标法定义，直接计算即可．
【解答】解：设O为坐标原点，因为A（2，﹣1）．
由已知得，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的坐标法定义，以及学生的运算能力，属于基础题．
11．（2022春•浦东新区校级期中）函数的最小正周期T＝ π ．
【分析】先利用差角的余弦公式展开，再利用差角的正弦公式化简，可得，故可求函数的周期．
【解答】解：由题意，＝＝
∴
故答案为π
【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的恒等变形．把函数y的解析式利用三角函数的恒等变形化为一个角的正弦函数是解本题的关键．
12．（2022春•浦东新区校级期中）已知，且，则＝ ．
【分析】先利用同角三角函数基本关系求得sinα的值，在利用诱导公式对原式化简整理，把csα和sinα的值代入即可求得答案．
【解答】解：∵
∴sinα＝﹣＝﹣
∴原式＝＝＝﹣2
故答案为：﹣2
【点评】本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．解题时注意三角函数的正负．
13．（2022春•杨浦区校级期中）若θ∈[，]，sin2θ＝，则sinθ＝ ．
【分析】由θ的范围求出2θ的范围，再由平方关系求出cs2θ，根据倍角的余弦公式变形求出sinθ的值．
【解答】解：由得，，
∴＝﹣＝，
∵cs2θ＝1﹣2sin2θ，sinθ＞0
∴sinθ＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平方关系和倍角的余弦公式的应用，注意角的范围确定，以及三角函数值的符号问题．
14．（2022春•闵行区期中）已知sinα＝，且α是第二象限角，那么tanα的值是 ﹣ ．
【分析】先利用α所在的象限判断出csα的正负，然后利用同角三角函数的基本关系，根据sinα的值求得csα的值，进而求得tanα．
【解答】解：∵α是第二象限角
∴csα＝﹣＝﹣
∴tanα＝＝﹣
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系．注重了对学生基础知识的掌握．
15．（2021春•徐汇区期中）已知cs（α+β）csα+sin（α+β）sinα＝﹣，则cs2β＝ ﹣ ．
【分析】直接利用两角差的余弦函数，求出csβ，然后利用二倍角公式求出cs2β的值．
【解答】解：因为，
所以csβ＝﹣，cs2β＝2cs2β﹣1＝＝．
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查两角差的三角函数以及二倍角公式的应用，考查计算能力．
16．（2021春•黄浦区校级期中）函数y＝sinx+csx的最小正周期是 2π ．
【分析】利用两角和的正弦公式将函数化简为：y＝sinx+csx＝sin（x+），其周期为＝2π．
【解答】解：∵y＝sinx+csx＝sin（x+），∴T＝＝2π．
故答案为 2π
【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的最小正周期，属基础题．
17．（2020春•浦东新区期中）某高一学生骑车行驶，开始看见塔在南偏东30°方向，沿南偏东60°方向骑行2千米后，看见塔在正西方向，则此时这名学生与塔的距离大约为 1.2 千米．（结果保留两位有效数字）
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用方位角和正弦定理，即可求得结果．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；
可得∠AOB＝∠BOC﹣∠AOC＝60°﹣30°＝30°，
∠ABO＝90°﹣60°＝30°，OB＝2，
所以∠OAB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
在△OAB中，利用正弦定理得：＝，
解得BC＝＝＝≈1.2，
所以此时这名学生与塔的距离大约为1.2千米．
故答案为：1.2．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
18．（2020春•上海期中）已知，若，则sinα＝ ．
【分析】根据同角的三角函数关系与三角恒等变换，计算即可．
【解答】解：，所以α+∈（，），
又，所以sin（α+）＝＝；
所以sinα＝sin[（α+）﹣]
＝sin（α+）cs﹣cs（α+）sin
＝×﹣（﹣）×
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数求值问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
19．（2020春•闵行区校级期中）在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．若a2+b（b﹣a）＝1，c＝1，则a﹣b的取值范围为 （1，） ．
【分析】先根据余弦定理求得角C，结合正弦定理把a﹣b转化为2（sinA﹣sinB），再结合AB之间的关系求出角A的范围，与正弦函数相结合即可求得结论．
【解答】解：因为在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．
∵a2+b（b﹣a）＝1，c＝1⇒a2+b2﹣ab＝c2⇒2csC＝⇒csC＝⇒C＝30°，
∴＝＝＝＝2；
∴a＝2sinA，b＝2sinB；
∴a﹣b＝2（sinA﹣sinB）＝2[sinA﹣sin（150°﹣A）]＝2[sinA﹣（csA+sinA）]＝2（sinA﹣csA）＝2sin（A﹣30°）；
∵0°＜A＜90°，0°＜B＜90°，A+B＝150°；
∴60°＜A＜90°；
∴30°＜A﹣30°＜60°⇒2sin（A﹣30°）∈（1，）；
故a﹣b∈（1，）；
故答案为：（1，）．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
20．（2022春•徐汇区校级期中）把函数按进行平移，得到函数y＝g（x），且满足g（﹣x）＝﹣g（x），则使得最小时，m＝ ．
【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：把函数 按进行平移，得到函数y＝g（x）＝2sin（x+﹣m）的图象，
∵满足g（﹣x）＝﹣g（x），∴g（x）为奇函数，
则使得最小时，m＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
21．（2022春•徐汇区校级期中）函数的值域是 ．
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，＝，由正弦函数的性质可得，代入函数可求函数的值域．
【解答】解：∵
＝
＝
＝
＝
又∵
∴
故答案为：
【点评】本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式的综合运用，把不同名的三角函数化简为y＝Asin（ωx+φ）的形式，利用正弦函数的性质研究y＝Asin（ωx+φ）的性质．
22．（2021春•杨浦区校级期中）函数的单调递增区间为 ．
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，结合余弦函数的单调性求解即可．
【解答】解：函数，
即，解得，
所以单调递增区间为．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦函数的单调性的求解，诱导公式的应用，是基础题．
23．（2021春•金山区期中）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为 y＝sin4x ．
【分析】按照左加右减的原则，求出函数所有点向右平移个单位的解析式，然后求出将图象上所有点的横坐标变为原来的倍时的解析式即可．
【解答】解：将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数＝sin2x，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
则所得的图象的函数解析式为y＝sin4x．
故答案为：y＝sin4x．
【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与伸缩变换，注意x的系数与函数平移的方向，易错题．
24．（2020春•徐汇区校级期中）若函数在区间上有两个不同的零点x1，x2，则x1+x2﹣a的取值范围是 ．
【分析】由题意将问题转化为与y＝1﹣a在区间上有两个不同的交点的问题，作出两个函数的图象，可求解．
【解答】解：若函数在区间上有两个不同的零点x1，x2，
即在区间上有两个不同的零点x1，x2，
也就是与y＝1﹣a区间上有两个不同的交点，横坐标分别为x1，x2，
数形结合可知，，
∴
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，以及利用数形结合思想解决问题的能力，同时考查了学生的运算能力，属于中档题．
25．（2022春•普陀区校级期中）已知向量在向量方向上的投影为，且，则＝ ﹣18 （结果用数值表示）．
【分析】根据投影向量的计算公式，结合数量积的定义式求解．
【解答】解：向量在向量方向上的投影向量为＝﹣2，
故，故＝﹣2×＝﹣18．
故答案为：﹣18．
【点评】本题考查投影向量的定义、数量积的定义，属于基础题．
26．（2022春•奉贤区校级期中）已知△ABC为边长3的正三角形，则•＝ ﹣ ．
【分析】运用向量的数量积的定义，注意夹角为π﹣B，运用公式计算即可得到．
【解答】解：•＝||•||•cs（π﹣B）
＝﹣3×3×cs60°
＝﹣9×
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查平面向量的数量积的定义，考查向量夹角的概念，属于基础题和易错题．
27．（2022春•宝山区校级期中）在△ABC中，，，则AB边的长度为 4 ．
【分析】结合数量积的定义，结合三角形中的射影定理，可求出AB的长．
【解答】解：因为，，
所以，，
，||csB＝3，
上述两式相加得AB＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查平面向量的数量积的几何意义和三角形中的射影定理，属于中档题．
28．（2022春•普陀区校级期中）如图，圆O是半径为1的圆，OA＝，设B，C为圆上的任意2个点，则•的取值范围是 [﹣，3] ．
【分析】根据平面向量的数量积和二次函数的性质，结合余弦函数的性质即可求出结果．
【解答】解：如图，
设D是线段BC的中点，则OD⊥BC，连接OA，OB．OC，OD，设θ为和的夹角，
则 •＝（﹣）•＝•﹣•＝||•||•∠BCO﹣||•||•csθ
＝﹣|•csθ≥﹣|＝（||﹣）2﹣，
∵||∈[0，2]，∴当||＝时，• 有最小值为﹣，
当||＝2且csθ＝﹣1时，﹣|•csθ有最大值为3，即 • 有最大值为3，
故答案为：[﹣，3]．
【点评】本题考查了向量的数量积和二次函数的性质应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
29．（2021春•浦东新区校级期中）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）．若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）＝f（）＝﹣f（）．则f（x）的最小正周期为 ．
【分析】f（）＝f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）＝﹣f（）．可得函数的一个对称中心，利用对称中心与对称轴距离的最小值为周期，则周期可求
【解答】解：由f（）＝f（）可知函数f（x）的一条对称轴为x＝＝，
又f（）＝﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），
由于f（x）在区间[，]上具有单调性，
则≤T所以T≥π，从而T＝4（）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查f（x）＝Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题
30．（2020春•浦东新区校级期中）函数f（x）＝sinωx （ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3……An…在点列{An}中存在三个不同的点Ak，At，Ap，使得△AkAtAp是等腰直角三角形将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2019＝ π ．
【分析】由三角函数的对称性求出对应的对称轴，得对称轴对应的交点坐标，结合△AkAtAp是等腰直角三角形，归纳出满足条件的数列{ωn}，进行求解即可．
【解答】解：由ωx＝kπ+，得x＝，k∈Z，
由题意得x＝，，，…，，
即A1（，1），A2（，﹣1），A3（，1），A4（，﹣1）…，
由△A1A2A3是等腰直角三角形，
得＝﹣1，
即＝﹣1，得ω1＝，
同理△A1A4A7是等腰直角三角形得＝﹣1，得ω2＝．
同理△A1A6A11是等腰直角三角形得•＝﹣1，得ω3＝．
……
ωn＝，
则ω2019＝＝π，
故答案为：π
【点评】本题主要考查三角函数对称性的应用，结合条件求出三角函数的对称轴以及结合等腰直角三角形归纳出{ωn}是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
31．（2020春•浦东新区校级期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若3a2＝2b2+c2，则的最大值为 ．
【分析】由余弦定理求出csA和tanA的取值范围，结合基本不等式进行求解即可．
【解答】解：由3a2＝2b2+c2，得3a2＝3b2﹣b2+3c2﹣2c2，
则b2+2c2＝3（b2+c2﹣a2）＝6bccsA，同时a2＝（2b2+c2），
则csA＝＝＝≥＝，
＝＝＝＝，
tanA＝≤＝，当且仅当b＝c时取等号，
则＝≤，
故的最大值为，
故答案为：
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，结合余弦定理以及基本不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
三．解答题（共10小题）
32．（2020春•杨浦区校级期中）△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b+c＝1，且（a+c）（a﹣c）＝b（b﹣c）．
（1）求角A的大小；
（2）求三角形面积S△ABC的最大值．
【分析】（1）根据余弦定理求出csA和A的值；
（2）利用基本不等式求出bc的最大值，再求三角形面积S△ABC的最大值．
【解答】解：（1）△ABC中，由（a+c）（a﹣c）＝b（b﹣c），
得a2﹣c2＝b2﹣bc，b2+c2﹣a2＝bc，
所以csA＝＝＝；
又A∈（0，π），
所以A＝；
（2）由b+c＝1，A＝，所以bc≤＝＝，
当且仅当a＝b＝时取等号，
所以三角形面积S△ABC的最大值为：
Smax＝bcsinA＝××sin＝．
【点评】本题主要考查了余弦定理和基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
33．（2021春•奉贤区期中）已知函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内，当x＝时，y有最大值为2，当x＝时，y有最小值为﹣2．
（1）求函数y＝Asin（ωx+φ）表达式；
（2）并画出函数y＝Asin（ωx+φ）在一个周期内的简图．（用“五点法”）；
（3）当x∈[0，]时，求函数的最值．
【分析】（1）根据题意得A＝2，周期为T＝π，求出ω＝2，φ＝，从而得到函数的解析式；
（2）结合（1）的解析式，用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；
（3）求出x∈[0，]时2x+的取值范围，即可求得函数的最小值和最大值．
【解答】解：（1）在1个周期内，当x＝时y有最大值为2，当时y有最小值为﹣2，
所以A＝2，且函数的周期T＝2×（﹣）＝π，所以ω＝＝2．
把（，2）代入f（x）＝2sin（2x+φ），得2×+φ＝+2kπ，k∈Z；
解得φ＝+2kπ，k∈Z，结合|φ|＜，取k＝0，得φ＝；
所以函数表达式为y＝2sin（2x+）．
（2）由题意列表如下：
描点、连线，画出函数在1个周期[﹣，]上的简图如下：
（3）x∈[0，]时，2x+∈[，]，所以sin（2x+）∈[﹣，1]，
所以2x+＝，即x＝时，y＝2sin（2x+）＝﹣1为最小值；
2x+＝，即x＝时，y＝2sin（2x+）＝2为最大值．
所以，当x＝时，y有最小值为﹣1，当x＝时，y有最大值为2．
【点评】本题考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题．
34．（2022春•浦东新区校级期中）已知．
（1）求向量的夹角θ；
（2）求．
【分析】（1）由平面向量的数量积求csθ和θ的值；
（2）根据平面向量的数量积求模长．
【解答】解：（1）由||＝6，||＝4，（﹣2）•（+3）＝﹣72，
所以+﹣6＝﹣72，
所以＝﹣72﹣36+6×16＝﹣12；
所以csθ＝＝＝﹣，
又θ∈[0，π]，
所以向量的夹角为θ＝；
（2）＝+6+9＝36+6×（﹣12）+9×16＝108，
所以＝＝6．
【点评】本题考查了平面向量的数量积以及三角函数的运算问题，是基础题．
35．（2020春•徐汇区校级期中）如图，矩形ABCD中，E，F两点分别在边AB，BC上，∠DEF＝90°，设∠ADE＝α，∠EDF＝β．
（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；
（2）若，且sin（+x）＝，cs（﹣y）＝，求cs（x﹣y）的值．
【分析】（1）根据题意利用直角三角形的边角关系，即可证明cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（2）利用三角恒等变换化简求值即可．
【解答】解：（1）由已知∠ADE＝∠BEF＝α，
所以cs（α+β）＝cs∠DFC＝＝＝•﹣•
＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（2）由已知，
从而，
，
所以
＝．
【点评】本题考查了直角三角形边角关系应用问题，也考查了三角函数化简求值问题，是中档题．
36．（2020春•上海期中）已知函数f（x）＝cs2x+2sinxcsx+1，x∈R．
（1）把f（x）表示为Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{asinx，acsx}．x∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期和值域；
（2）根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调递增区间；
（3）根据题意可得g（x）的最小值不小于f（x）的最小值，g（x）的最大值不大于f（x）的最大值，
求出g（x）的值域，再列出关于a的不等式组，求解即可．
【解答】解：（1）函数f（x）＝cs2x+2sinxcsx+1＝cs2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+1，x∈R；
∴f（x）的最小正周期为T＝＝π，值域为[﹣1，3]；
（2）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；
（3）若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，
则{y|y＝g（x）}⊆{y|y＝f（x）}，
由g（x）的值域为[﹣a，a]，f（x）的值域为[﹣1，3]，
∴，
解得0＜a≤；
所以实数a的取值范围是（0，]．
【点评】本题考查了三角函数的化简与三角函数性质应用问题，是中档题．
37．（2021春•静安区校级期中）已知函数．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，π]时，f（x）的值域为[3，4]，求a、b的值．
【分析】（1）a＝1时f（x）＝（2cs2+sinx）+b，利用三角恒等变换求出f（x）的解析式，再求单调递增区间
（2）由三角恒等变换化简f（x），讨论a的正负，求出对应a、b的值．
【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝（2cs2+sinx）+b＝csx+1+sinx+b＝sin（x+）+1+b，
2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，
2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z；
所以f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z；
（2）f（x）＝a（2cs2+sinx）+b＝a（csx+1+sinx）+b＝asin（x+）+a+b，
当x∈[0，π]时，sin（x+）∈[﹣，1]；
当a＞0时，由，解得；
当a＜0时，由，解得；
综上知，a＝﹣1，b＝3；或a＝1﹣，b＝4．
【点评】本题考查了三角函数的性质与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
38．（2021春•杨浦区校级期中）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）＝f（x+t）（t∈（0，π））为偶函数，求t的值．
（3）若h（x）＝f（x）•f（x﹣），x∈[0，]，求h（x）的取值范围．
【分析】（1）由函数f（x）的部分图象求出A、T和ω、φ的值，即可写出函数解析式．
（2）根据函数g（x）为偶函数，结合正弦函数的图象与性质，根据t的取值范围，从而求出t的值．
（3）化简函数h（x）的解析式，根据x的取值范围，结合三角函数的图象与性质，即可求出h（x）的取值范围．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，
A＝，＝﹣（﹣）＝，解得T＝π，
所以ω＝＝2，
由“五点法”画图知，（﹣，0）是第一个点，
所以2×（﹣）+φ＝0，解得φ＝，
所以f（x）＝sin（2x+）．
（2）函数g（x）＝f（x+t）＝sin[2（x+t）+]＝sin（2x+2t+），
g（x）为偶函数，2t+＝+kπ，k∈Z，t＝+，k∈Z，
又t∈（0，π），所以t＝，或t＝．
（3）函数h（x）＝f（x）•f（x﹣）
＝sin（2x+）•sin[2（x﹣）+]
＝3（sin2xcs+cs2xsin）•sin2x
＝3（sin22x+sin2xcs2x），
＝3（•+•sin4x）
＝+（sin4x﹣cs4x）
＝+sin（4x﹣），
当x∈[0，]时，4x﹣∈[﹣，]，
即sin（4x﹣）∈[﹣，1]，
所以+sin（4x﹣）∈[0，]，
所以函数h（x）的取值范围是[0，]．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力，是中档题．
39．（2022春•长宁区校级期中）已知O为坐标系原点，，，．
（1）若ABC是以A为直角顶点的直角三角形，求m的值及此时三角形的面积；
（2）若A，B，C三点共线，求m的值及此时线段中点P的坐标．
【分析】（1）由向量的坐标运算化简＝（3，1），＝（2﹣m，1﹣m），结合ABC是以A为直角顶点的直角三角形得•＝0，从而求得m，再求面积即可；
（2）由三点共线知3（1﹣m）﹣1（2﹣m）＝0，从而求m，再求点P的坐标即可．
【解答】解：（1）∵，，，
∴＝﹣＝（3，1），
＝﹣＝（2﹣m，1﹣m），
又∵ABC是以A为直角顶点的直角三角形，
∴•＝3（2﹣m）+（1﹣m）＝0，
解得m＝，
则||＝＝，
＝（，﹣），||＝，
∴S△ABC＝××＝；
（2）∵A，B，C三点共线，
∴3（1﹣m）﹣1（2﹣m）＝0，
解得m＝，
∵，＝（，﹣），
∴A（3，﹣4），C（，﹣），
∴P（，﹣）．
【点评】本题考查了平面向量的运算及平行与垂直的性质应用，属于中档题．
40．（2021春•静安区期中）已知函数f（x）＝asinx+bcsx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x＝时，f（x）取得最大值．
（1）计算f（）的值；
（2）设g（x）＝f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．
【分析】首先，根据已知得到f（x）＝sin（x+θ），然后根据最值建立等式，得到a＝b，再化简函数f（x）＝asin（x+），
（1）将代入解析式求值；
（2）求出g（x）解析式，利用奇偶函数定义判断奇偶性．
【解答】解：由已知得到f（x）＝sin（x+θ），又x＝时，f（x）取得最大值．
所以a＝b，f（x）＝asin（x+），
所以（1）f（）＝asin（3π）＝0；
（2）g（x）为偶函数．
理由：设g（x）＝f（﹣x）＝asin（﹣x）＝acsx，
所以函数g（﹣x）＝g（x），为偶函数．
【点评】本题考查了三角函数的性质以及奇偶性的判定；属于基础题．
41．（2021春•静安区校级期中）已知三个互不相同的平面向量||＝||＝||＝1，与夹角为60°，与夹角为60°，
（1）求证：（﹣）⊥；
（2）|k++|＞，求k的范围．
【分析】（1）计算（﹣）•＝0，即可证明（﹣）⊥；
（2）由平面向量的模长公式，求不等式|k++|＞的解集即可．
【解答】（1）证明：因为（﹣）•＝•﹣•＝1×1×cs60°﹣1×1×cs60°＝0，
所以（﹣）⊥；
（2）解：因为与夹角为60°+60°＝1200，
且|k++|＞，
所以＞6，
即k2+++2k•+2k•+2•＞6，
所以k2+1+1+2k×1×1×cs120°+2k×1×1×cs60°+2×1×1×cs60°＞6，
化简得k2＞3，解得k＜﹣或k＞，
所以k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长的计算问题，是基础题．
2x+
0
π
2π
x
﹣

y＝2sin（2x+）
0
2
0
﹣2
0