专题3-2 椭圆大题综合11种题型归类（讲+练）-高二数学热点题型讲与练（人教A版选择性必修第一册）

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热点考题归纳
【题型一】求椭圆方程
【典例分析】
设椭圆：（），长轴的两个端点分别为，，短轴的两个端点分别为，．
(1)证明：四边形为菱形；
(2)若四边形的面积为120，边长为13，求椭圆C的方程．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)与椭圆有相同的焦点，且经过点；
(2)点，，，中恰有三个点在椭圆上.
2.求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别为，并且椭圆经过点．
(2)已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上，求C的方程．
【题型二】求椭圆型轨迹方程
【典例分析】
1..在平面直角坐标系中，已知点， ，设直线，的斜率分别为，，且，记点A的轨迹为E,求E的方程．
2.．若动点的坐标满足方程，试判断动点的轨迹，并写出其标准方程．

【提分秘籍】
【变式演练】
1.一个动圆Q与圆外切，与圆内切，试判断圆心Q的轨迹，并说明理由．
2.已知点M到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设点M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程，并说明轨迹是什么图形．

【题型三】韦达定理基础型
【典例分析】
（2023·陕西西安·统考二模）如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，的中点为.设为原点，射线交椭圆于点.当四边形为平行四边形时，求的值.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·广东湛江·高三校考阶段练习）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
2.（2022秋·陕西汉中·高二校联考期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，，点在椭圆上且满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程．
【题型四】直线过（m，0）型设法应用
【典例分析】
（2023秋·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知随圆的左､右焦点分别为点在上，的周长为，面积为.
(1)求的方程.
(2)设的左､右顶点分别为，过点的直线与交于两点（不同于左右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，则是否存在实常数，使得恒成立.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．（2021秋·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆的离心率为，长轴长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程．
2.（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知，E为直线上一纵坐标不为0的点，且直线DE交C于H，G两点，证明：.
【题型五】中点弦型
【典例分析】
椭圆的一个焦点，离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)求以点为中点的弦所在的直线方程.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，点在E上，且．
(1)求E的标准方程；
(2)若直线l与E交于A，B两点，且AB中点为，求直线l的方程．

2.．已知曲线C的方程为．
(1)判断曲线C是什么曲线，并求其标准方程；
(2)过点的直线l交曲线C于M，N两点，若点P为线段MN的中点，求直线l的方程．

【题型六】面积基础型
【典例分析】
已知抛物线与椭圆有公共的焦点，的左､右焦点分别为，该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点为椭圆上一点，过点的直线与椭圆交于异于点的两点，若的面积是，求直线的方程.

【提分秘籍】
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积．
2.已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，且的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)当时，斜率为的直线交椭圆于，两点（，两点在直线的异侧），若四边形的面积为，求直线的方程．

【题型七】无定点无斜率型直线
【典例分析】
设O为坐标原点，椭圆的离心率为，且过点．
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于P，Q两点，且的面积是，求证：．

【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：的离心率是，点在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l:交C于P，Q两点（不同于点A），直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，线段MN的中点为，证明：直线l过定点，并求出定点坐标．
2.（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率.过的直线交椭圆于A，B两点，且的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
【题型八】求面积最值型
【典例分析】
（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆的下焦点、上焦点为，离心率为.过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于，两点.
(1)求的值；
(2)求（为坐标原点）面积的最大值.
【变式演练】
1.（2023秋·全国·高二期中）在中，已知点，，边上的中线长与边上的中线长之和为6；记的重心的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若圆：，，过坐标原点且与轴不重合的任意直线与圆相交于点，，直线，与曲线的另一个交点分别是点，，求面积的最大值.
2.（2023春·湖北恩施·高二校联考期中）已知椭圆与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线交轴，轴于两点．
(1)求满足的关系式；
(2)当点运动时，求点的轨迹的方程；
(3)若轨迹与直线交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．
【题型九】椭圆与直线过定点
【典例分析】
已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点相同，为C的左、右焦点，M为C上任意一点，最大值为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过点F2的直线l：y＝kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点．若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

【提分秘籍】
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点.

2.已知点在椭圆：（）上，且点到椭圆右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点，是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．

【题型十】椭圆与直线斜率定值型
【典例分析】
已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标.
【变式演练】
1.已知椭圆C：，长轴是短轴的3倍，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

2..已知椭圆的左、右顶点分别是，过点的直线交于两点（异于）.当直线过点）时，恰好为的中点.
(1)求的离心率；
(2)若，直线与交于点，直线的斜率分别为，证明：是定值.
【题型十一】线段定比分点型
【典例分析】
（2021春·云南昭通·高二校考期末）设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°，到直线l的距离为.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果，求椭圆C的方程.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.已知椭圆的短轴长为，且椭圆的一个焦点在圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的焦距小于，过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于两点，若，求

2.已知椭圆C：的离心率，焦距为2，直线l与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l过椭圆的右焦点F，且，求直线l方程．

1．（2023秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆经过点，左，右焦点分别为，，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设A为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点，以为直径的圆过点A，求的最大值．
2．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，，求证：为定值．
3．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过上两点，作斜率均为的两条直线，与的另两个交点分别为，.若直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
4．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点.
(1)求的方程；
(2)记为坐标原点，求面积的最大值.
5．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．
6．（2023秋·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知半椭圆和半圆组成曲线.如图所示，半椭圆内切于矩形，CD与y轴交于点G，点P是半圆上异于A，B的任意一点.当点P位于点处时，的面积最大.

(1)求曲线的方程；
(2)连接PC，PD分别交AB于点E，F，求证：为定值.
7．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二八一中学校考阶段练习）已知动点到定点的距离是它到直线的距离的倍，记点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)若点，过点的直线与交于，两点，求面积的最大值.
8.（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，定点，是圆内一动点，圆与以线段为直径的圆内切．求动点的轨迹方程.
一、热考题型归纳
【题型一】 求椭圆方程
【题型二】 求椭圆轨迹方程
【题型三】 韦达定理基础型
【题型四】 直线过（m，0）型设法应用
【题型五】 中点弦型
【题型六】 面积基础型
【题型七】 无定点无斜率型直线
【题型八】 求面积资质型
【题型九】 椭圆与直线过定点
【题型十】 椭圆与直线斜率定值型
【题型十一】线段定比分点型
二、培优练
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.
利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
如果直线过x轴上定点（m，0），则可以设方程为x=ty+m，其中t为变量，这个设法直线，包含垂直型直线，但不包括水平（x轴）型直线
直线与椭圆相交，与中点有关，可以用伟大定理，也可以用点差法
椭圆与直线求面积常规类型
（1）
(2)三角形恒过数轴上的定线段，可分为左右或者上下面积，转化为
(3)三角形恒过某定点，可分为左右或者上下面积，转化为
（4）四边形面积，注意根据题中条件，直接求面积或者转化为三角形面积求解。
当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型：，依旧得讨论k是否存在情况
当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。
（1）
（2），此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。
（3）设“双变量”时，第一种设法较多。因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实际上也没有特别大的计算优势。
（4）重要！双变量设法，在授课时，一定要讲清楚以下这个规律：
一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。
直线与圆锥曲线综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理；
④由所得等式恒成立可整理得到定点.
椭圆与直线定比分点型
1.利用公式，可消去参数
2.可以直接借助韦达定理反解消去两根
定比分点型，即题中向量（或者线段长度满足）可以利用公式，可消去