专题3-5 抛物线定义及性质12种题型归类（讲+练）-高二数学热点题型讲与练（人教A版选择性必修第一册）

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热点考题归纳
【题型一】抛物线定义：焦点与准线
【典例分析】
1.（2021上·广东湛江·高二统考期末）已知抛物线C的焦点到准线的距离大于2，则C的方程可能为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023上·河北邯郸·高二校联考期中）抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023上·陕西宝鸡·高二校联考期末）两抛物线与的焦点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023下·四川资阳·高二统考期末）抛物线：过点，则的焦点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．1
3.（2020·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）抛物线的焦点到其准线的距离为 .
【题型二】抛物线定义：方程求参
【典例分析】
1.（2020·云南昆明·高三阶段练习）抛物线的准线方程是，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·高二课时练习）若抛物线上的点到焦点的最短距离为1，则p的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·福建厦门·统考模拟预测）已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（ ）
A．1B．C．2D．4
2.（2021上·四川攀枝花·高二攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）若抛物线的焦点坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3.（2021下·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）设为抛物线的焦点，曲线与交于，轴，则（ ）
A．B．C．D．
【题型三】抛物线求轨迹：定义型
【典例分析】
1.（2023·全国·高三专题练习）点P到点的距离比它到直线l：的距离大4，则点P的轨迹是（ ）
A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．以上都不对
2.（2022下·福建福州·高二统考期中）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·高二课时练习）到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．圆C．抛物线D．直线
2.（2021上·陕西宝鸡·高二统考期末）点到点 的距离比它到直线的距离小2，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
3.（2020上·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期末）点到直线的距离比到点F(0，-1)的距离大，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【题型四】抛物线求轨迹：内切圆外切圆型
【典例分析】
1.（2021·高二课前预习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
2.（2021上·浙江·高三学业考试）如图，在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r，射线AB交圆A于点P，过P作圆A的切线l，当r（）变化时，l与圆B的公共点的轨迹是
A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个圆上B．一个椭圆上C．一条抛物线上D．双曲线的一支上
2.（2020·高二课时练习）过点且与y轴相切的圆的圆心轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．直线D．抛物线
3.（2021下·四川·高二双流中学校考开学考试）已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为 .
【题型五】抛物线求轨迹：点到直线距离公式型
【典例分析】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对
2.（2021上·高二课前预习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ．
【变式演练】
1.（2021上·高二单元测试）方程表示的曲线为
A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．圆
2.（2020·高二课时练习）若点满足，则动点M的轨迹是（ ）
A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线
【题型六】抛物线焦半径
【典例分析】
1.（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知抛物线的焦点为在抛物线上，且，则（ ）
A．2B．4C．8D．12
2.（2023·广西梧州·统考一模）若点为抛物线上一点，为焦点，且，则点到轴的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．（2022上·江西·高二校联考期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，若，则（ ）
A．3B．C．6D．
2.（2022上·北京·高三统考开学考试）抛物线W：的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3.（2021上·天津红桥·高二统考期末）抛物线上一点到焦点的距离是，则点的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
【题型七】中点弦
【典例分析】
1.（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知抛物线，直线交该抛物线于两点．若线段的中点坐标为，则直线斜率为（ ）
A．B．C．D．
2.（2020·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习）已知抛物线，直线交抛物线于两点，是的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，且，若，则k为（ ）
A．B．C．D．2
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·高二课时练习）已知抛物线的顶点为原点，焦点在轴上，直线与抛物线交于两点，若为的中点，则抛物线的方程为( )
A．B．C．D．
2.（2023下·重庆南岸·高二校考期中）为坐标原点，过点作直线的垂线，交抛物线于，两点，为线段的中点，若是等腰直角三角形，则（ ）
A．6B．4C．2D．1
3.（2022·江苏南通·统考模拟预测）已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为坐标原点，则（ ）
A．2B．C．4D．
【题型八】焦点弦：梯形性质
【典例分析】
1.（2023·河南开封·统考模拟预测）已知直线过抛物线的焦点，直线与抛物线相交于两点，若的中点到抛物线的准线的距离为，则（ ）
A．B．C．D．2
2.（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于点A，B，线段的中点M的横坐标为4，则长为（ ）
A．10B．8C．5D．4
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则线段的中点M到抛物线C的准线的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2.（2021上·四川宜宾·高二统考期末）已知点是抛物线的焦点，过作斜率为的直线交抛物线于不同两点，，点为的中点，则到抛物线准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
3.（2021上·四川宜宾·高二统考期末）已知点是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线于不同的两点，，设，点为的中点，则到抛物线准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【题型九】最值：点线距离互化
【典例分析】
1.已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．
2.已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．
2.是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
3.设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则____．
【题型十】焦点弦面积
【典例分析】
1.（2021·山西太原·统考一模）已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于两点，若的面积与（为坐标原点）的面积之比是2，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2021上·安徽合肥·高二校联考期末）如图，是抛物线的焦点，过作直线交抛物线于、两点，若与的面积之比为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2020上·河北·高三校联考期末）已知过抛物线的焦点作斜率为的直线交抛物线于两点，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，若四边形的面积是，则抛物线的方程是
A．B．C．D．
2.（2021·江西新余·统考模拟预测）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，使，过点作与轴垂直的直线交抛物线于点，则的面积是（ ）
A．64B．32C．16D．8
【题型十一】面积最值型
【典例分析】
1.（2020全国·校联考一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则的面积的最小值为
A．B．
C．D．
2.（2022·四川绵阳·统考二模）过抛物线的焦点任作一直线交抛物线于两点，O为坐标原点，则的面积的最小值为
A．2B．
C．4D．8
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023上·河南三门峡·高二统考期末）抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，点为抛物线上的动点，且点在的右下方，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2020下·浙江嘉兴·高二校考期中）已知点为抛物线上的两点，为坐标原点，且，则的面积的最小值为（ ）
A．8B．16C．32D．64
3.（2020下·吉林·高三校联考阶段练习）过点的直线与抛物线交于两点，，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【题型十二】焦点弦定比分点
【典例分析】
1.（2021上·江西南昌·高二南昌二中校考期中）在直角坐标系中,抛物线的焦点为,准线为，点是准线上任一点，直线交抛物线于，两点，若，则的面积
A．4B．C．D．
2.已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于，两点，点是线段的中点，以为直径的圆与轴相交于，两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.已知直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM与抛物线C交于O，N，若，则p=（ ）
A．B．1C．2D．4
2.．（2020上·河北沧州·高二校考期中）已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，则的面积（为坐标原点）为（ ）
A．B．C．D．
1.（2020上·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知点到抛物线（）的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022上·四川成都·高二成都七中校考期中）抛物线的准线方程为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3.（2021上·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
4.（2021上·吉林·高二统考期中）动圆经过点，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程是 .
5.（2023上·江西景德镇·高二江西省乐平中学校考期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线
6.（2022上·安徽亳州·高二统考期末）设抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
7.（2023上·河南洛阳·高二洛阳市第一高级中学校考期中）设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
8.（2020下·云南玉溪·高二峨山彝族自治县第一中学校考期中）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段的中点纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为（ ）.
A．B．C．D．
9.点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为41，则的值等于______.
10.．（2021·四川南充·统考一模）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，且，过点作与轴垂直的直线交抛物线于点，则的面积是（ ）
A．16B．8C．64D．32
11.（2022·海南·统考二模）已知抛物线的焦点为，过点作互相垂直的两直线，与抛物线分别相交于，以及，，若，则四边形的面积的最小值为
A．B．C．D．
12.（2022上·内蒙古包头·高二包头市第九中学校考期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则为坐标原点的面积等于（ ）
A．B．C．D．
一、热考题型归纳
【题型一】 抛物线定义：焦点与准线
【题型二】 抛物线定义：方程求参
【题型三】 抛物线求轨迹：定义型
【题型四】 抛物线求轨迹： 内外切圆型
【题型五】 抛物线求轨迹： 点到直线距离型
【题型六】 抛物线焦半径
【题型七】 中点弦
【题型八】 焦点弦：梯形性质
【题型九】 最值：点线距离互化
【题型十】 焦点弦面积
【题型十一】面积最值型
【题型十二】焦点弦定比分点型
二、培优练
抛物线：
(1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
(2)抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
抛物线中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.

圆相切时，要讨论内切与外切，内切要根据条件判断或者讨论“小圆与大圆”
抛物线焦半径
焦半径问题：
①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq \f(p,2) (随焦点位置变动而改变)；
②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (其中，α为直线AB的倾斜角)；
③eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；
设，利用点差法得到，
设是过抛物线的焦点的弦，若，，则：
（1），；
（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，，
弦长，（为直线的倾斜角）；
（3）；
（4）以为直径的圆与准线相切；
（5）以或为直径的圆与轴相切.
抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.
S△OAB＝eq \f(p2,2sinα)(其中，α为直线AB的倾斜角)
圆锥曲线中求面积常规类型
（1）
(2)三角形恒过数轴上的定线段，可分为左右或者上下面积，转化为
(3)三角形恒过某定点，可分为左右或者上下面积，转化为
（4）四边形面积，注意根据题中条件，直接求面积或者转化为三角形面积求解。
抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.
eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；
焦半径公式得：，，