专题4-1 数列通项及函数性质12种题型归类（讲+练）-高二数学热点题型讲与练（人教A版选择性必修第一册）

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热点考题归纳
【题型一】数列概念
【典例分析】
1.．（2021下·高二课时练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．数列可表示为集合
B．数列，，，与数列是相同的数列
C．数列的第项为
D．数列，可记为
2.（2023下·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）下列结论中，正确的是（ ）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023下·云南曲靖·高二曲靖市民族中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．数列与是相同的
B．数列可以表示为
C．数列与是相同的数列
D．数列的第项为
2.（2014上·广西玉林·高二校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．数列与数列是相同的数列
B．数列0，2，4，6，8，…，可记为，
C．数列的第项为
D．数列既是递增数列又是无穷数列
3.（2021上·陕西渭南·高二校考阶段练习）下列有关数列的说法正确的是（ ）
①数列与数列是同一数列；
②数列的第项是；
③数列中的每一项都与它的序号有关.
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【题型二】观察法求数列的项
【典例分析】
1.（2023下·陕西安康·高二校联考期末）观察下列数的规律：1，1，2，3，5，8……，则第9个数是（ ）
A．21B．22C．33D．34
2.（2021下·高二课时练习）数列1，3，6，10，，21，28，…中，由给出的数之间的关系可知的值是（ ）
A．12B．15C．17D．18
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023下·安徽·高二统考期末）数列的第11项是（ ）
A．B．C．D．
2.．（2023下·江西新余·高二校联考阶段练习）已知数列1，，2，，4，…，根据该数列的规律，16是该数列的（ ）
A．第7项B．第8项
C．第9项D．第10项
3.（2023·全国·高三专题练习）观察下列各式：
；
；
；
；
；
则（ ）
A．28B．76C．123D．10
【题型三】数阵、图形型归纳
【典例分析】
1.（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，若，则（ ）

A．34B．35C．88D．89
2.（2021·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字来表达这个世界．在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释中国传统文化中的太极衍生原理，如图．该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若记该数列为，则（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023下·湖北·高二武汉市第四十九中学校联考期中）如图展示的是一个树形图的从上至下的前6行生长过程，依据图中所示的生长规律，第10行的圆点个数是（ ）．

A．55B．34C．21D．13
2.（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）将正整数排成下表：
则在表中数字2021出现在（ ）
A．第44行第77列B．第45行第82列
C．第45行第85列D．第45行第88列
3.（2023上·山东济宁·高二嘉祥县第一中学校考期末）观察下面数阵，
则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ）
A．545B．547C．549D．551
【题型四】求通项：归纳分析型
【典例分析】
1.．（2023下·甘肃兰州·高一兰州一中校考期末）数列的一个通项公式为 .
2.（2023上·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）数列{an}：1，， ， ，…，的一个通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022上·福建漳州·高二校考期中）下列不能作为数列，，，，的通项公式的是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2023·全国·高三专题练习）数列…的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
3.（2023上·福建龙岩·高二校考阶段练习）数列 的一个通项公式为 .
【题型五】求通项：累加法
【典例分析】
1.（2023上·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2023下·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，，则取最小值时，（ ）
A．3B．4C．5D．6
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023下·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期中）已知数列满足，则=（ ）
A．B．C．D．
2.（2023下·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）设表示落在区间内的偶数个数，已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
3.（2023下·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知数列满足，，则的通项为（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【题型六】求通项：累乘法
【典例分析】
1.．（2023上·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期末）已知，，则数列的通项公式是（ ）
A．nB．C．2nD．
2.（2022上·福建莆田·高二莆田第六中学校考阶段练习）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022上·江苏南通·高三统考期中）已知数列满足，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
2.．（2021下·河南·高二校联考期中）已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A．B．
C．D．
3.（2021下·广西百色·高一校考阶段练习）已知中，，，则数列的通项公式是（ ）
A．B．C．D．
【题型七】an与sn型求项
【典例分析】
1.（2023上·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）已知数列的前项和，则的值为（ ）
A．125B．135C．145D．155
2．（2023上·江西·高三校联考开学考试）记为数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
2.（2023下·北京海淀·高二北理工附中校考期中）数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
3.（2023·北京朝阳·二模）已知数列的前n项和是，则（ ）
A．9B．16C．31D．33
【题型八】求通项：an与sn互化型
【典例分析】
1.（2022上·广东江门·高二统考期末）已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
2.（2022下·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·河南平顶山·统考二模）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2020·全国·高二假期作业）数列的前项和，则（ ）．
A． B． C． D．
3.．（2020下·江西·高一南昌市第三中学校考开学考试）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【题型九】求通项：隐形和求通项
【典例分析】
1.（2022·高二课时练习）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
2.．（2022上·河北石家庄·高二统考期末）若数列满足，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．（2021上·河北沧州·高二沧州市一中校考阶段练习）已知正项数列中，则，数列的通项公式为（ ）.
A．B．C．D．
2.（2021上·河南·高三校联考开学考试）若数列满足：，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
3.（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则 ．
【题型十】求通项：周期数列
【典例分析】
1.（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知无穷正整数数列满足，则的可能值有（ ）个
A．2B．4C．6D．9
2.（2023上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）已知数列满足，，则（ ）
A．2B．C．D．2023
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023上·北京丰台·高三统考期中）数列满足，则（ ）
A．B．
C．D．
2.（2024上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知数列满足且，则（ ）
A．3B．C．-2D．
3.（2023上·云南曲靖·高三校考阶段练习）数列满足，且，则数列的前2024项的和（ ）
A．B．C．D．
【题型十一】数列函数性质：单调性
【典例分析】
1.（2022上·高二单元测试）已知数列，满足：；若数列为单调递减数列，则数列的通项公式可能是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023下·高二课时练习）已知函数，设，则下列说法中错误的是（ ）
A．是无穷数列B．是递增数列
C．不是常数列D．中有最大项
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·北京密云·统考三模）设数列的前n项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不是充分也不是必要条件
2.（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3.（2023下·江苏南京·高三江苏省江浦高级中学校考阶段练习）已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【题型十二】数列的函数性质：数列最值
【典例分析】
1.（2023下·江西九江·高二校考阶段练习）已知数列中，，它的最小项是（ ）
A．第四项B．第五项C．第六项D．第四项或第五项
2.（2023下·辽宁辽阳·高二统考期末）在数列中，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023下·高二课时练习）数列中最大的项是（ ）
A．107B．108C．D．109
2.（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的通项公式为，则当最小时，（ ）
A．9B．10C．11D．12
3.．（2022下·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（ ）
A．B．C．D．
1.（2022·高二课时练习）现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列1，1，1，1，…是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；
⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．
其中正确的有（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
2.（2023上·天津河西·高二统考期末）观察数列的特点，则括号中应填入的适当的数为（ ）
A．B．
C．D．
3.（2022上·河南洛阳·高三校联考阶段练习）某正方形数阵如图所示，依据观察，位于第36行第8列的数为（ ）
A．367B．330C．328D．324
4.（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前5项为，，，，，则的一个通项公式为 .
5.（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知正项数列 中，，则（ ）
A．B．
C．D．
6.（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，则的通项公式为 ．
7.（2023上·海南·高三统考期末）若数列的前n项和，则（ ）
A．7B．8C．15D．16
8.（2021上·河南驻马店·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
9.（2022下·全国·高三校联考阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为 .
10.（2023上·福建·高二统考期中）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
11.（2023·北京海淀·高三101中学校考阶段练习）设等差数列的通项公式为，则“函数满足对恒成立”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12.（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的通项公式为，前n项和为，则取最小值时n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
一、热考题型归纳
【题型一】 数列概念
【题型二】 观察法求数列的项
【题型三】 数阵、图形型归纳
【题型四】 求通项：归纳分析型
【题型五】 求通项：累加法
【题型六】 求通项：累乘法
【题型七】 an与sn型求项
【题型八】 求通项：an与sn互化型
【题型九】 求通项：隐形和求通项
【题型十】 求通项：周期数列
【题型十一】数列的函数性质：单调性
【题型十二】数列的函数性质：数列最值
二、培优练
数列的定义
（1）按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每个数叫作这个数列的项.
（2）项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列.
（3）数列的一般形式可以写成：，简记为，其中称为数列的第1项或首项，称为第2项，，称为第项.
数列的递推公式
如果已知一个数列的第1项或（前几项），且任一项与前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.
数列的通项公式
（1）一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.
（2）数列可以看成一类特殊的函数，其定义域为 或.
（3）数列的图象是散点图
归纳推理的一般步骤:
一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.；
二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：
（1）数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；
（2）形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
递推公式求通项公式，有以下几种方法：
型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项；
利用累加法求通项：
形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项；
利用累乘法求通项：
通项an与前n项和Sn的关系是：
an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
已知求的三个步骤:(1)先利用求出.(2)用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式．(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．
“隐和”型：
若型，则可以再写一个，做差，得到，
若数列{an}满足
若数列{an}满足
若数列{an}满足
若数列{an}满足
若数列{an}满足
判断数列的单调性，常用的方法有作差比较法、作商比较法和函数图象法：
（1）作差比较法：当时，递增；当时，递减.
（2）作商比较法：若，则当时，递增；当时，递减.
（3）函数图象法：设，则可用函数的图象来研究数列的单调性
数列前n项和的最大最小值问题，通常有函数图象法和邻项变号法：
（1）函数图象法：求出数列的前n项和，利用函数的图象性质来研究的最大最小值问题.
（2）邻项变号法：
若当时，，当时，，则数列中，最大；
若当时，，当时，，则数列中，最小.