2022-2023学年甘肃省酒泉市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年甘肃省酒泉市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足(z−1)i=1+i，则z=( )
A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i
2.对于非零向量a，b，c，下列命题正确的是( )
A. 若a⋅b=a⋅c，则b=c，
B. 若a+b=c，则|a|+|b|>|c|
C. 若(a⋅b)c=0，则a⊥b
D. 若a⋅b>0，则向量a，b的夹角为锐角
3.cs5π12− 3sin5π12的值是( )
A. 0B. − 2C. 2D. 2
4.关于数学建模的认识：
①数学建模活动是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程；②数学建模过程主要包括：问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析与检验和推广应用；
③数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁，建立既符合实际又能够利用现有方法求解的合理数学模型是解决实际问题的关键步骤之一；
④按照数学建模的流程，模型求解之后，还需要对模型解的正确性进行检验.
以上说法正确的是( )
A. ②B. ①②C. ①②③D. ①②③④
5.给出下列四个命题，其中正确的命题是( )
①平行于同一直线的两条直线平行；
②平行于同一平面的两条直线平行；
③平行于同一直线的两个平面平行；
④平行于同一平面的两个平面平行.
A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③
6.在△ABC中，若a=2bcsC，则△ABC一定是( )
A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰三角形
7.“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一.其内容是：“任意一一个大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和.”若我们将10拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率是( )
A. 25B. 35C. 27D. 37
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b)：(b+c)：(c+a)=5：6：7，则下列结论正确的是( )
A. sinA：sinB：sinC=2：3：4
B. △ABC为锐角三角形
C. 若a=6，则△ABC的面积是6 15
D. 若△ABC外接圆半径是R，内切圆半径为r，则Rr=165
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列各对事件中，为相互独立事件的是( )
A. 掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”
B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D. 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”
10.若过M作PQ的垂线，垂足为N，则称向昰PM在PQ上的投影向量为PN.如图，已知四边形ABCD，BCFE均为正方形，则下列结论正确的是( )
A. AC在AF上的投影向量为35AFB. AC在AF上的投影向量为 53AF
C. AB+AC在AB上的投影向量为AED. AB+AC在AB上的投影向量为32AE
11.下列选项中，与cs(−2023π3)的值相等的是( )
A. 2cs15∘cs75∘B. sin86∘cs56∘−cs86∘sin56∘
C. 1(1+tan3∘)(1+tan42∘)D. cs16π5+cs8π5
12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、CC1的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线BN与MB1是异面直线
B. 直线AM与BN是平行直线
C. 三棱柱AA1D1−BB1C1的外接球的表面积为3π
D. 平面BMN截正方体所得的截面面积为92
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设x∈C，则方程x+|x|=1+3i的解为______.
14.若一个圆锥的母线与底面所成的角为π6，体积为64π，则此圆锥的高为______.
15.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的一个顶点A在平面α内，其余顶点均在平面α的同侧.正方体上与顶点A相邻的三个顶点B，D，A1到平面α的距离分别为1，2，4，则这个正方体其余顶点到平面α的距离的最大值为______.
16.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以直角三角形的斜边为边得到的正方形).类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且DF=2AF，点M为AB的中点，点P是△DEF内(含边界)一点，且MP=λMD−MB，则λ的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a=(−3,1)，b=(1,−2)，m=a+kb，(k∈R)
(1)若向量m与a垂直，求实数k的值
(2)当k为何值时，向量m与a+b平行.
18.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别为35，−513.
(1)求cs(β−α)的值；
(2)求sin2α−cs2α1+cs2α的值.
19.(本小题12分)
在复平面内，正方形ABCD的两个顶点A，B对应的复数分别为1+i，2−3i，求另外两个顶点C，D对应的复数.
20.(本小题12分)
如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，AB=PA，M，N，Q分别是AB，PC，PB的中点.
(1)求证：MN//平面PAD；
(2)求证：直线AQ⊥平面PBC；
(3)求直线PB与平面PAD所成的角.
21.(本小题12分)
为了促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设，2020年该市某中学的某新生想通过考核选拨进入该校的“电影社”和“心理社”，已知该同学过考核选拨进入这两个社团成功与否相互独立.根据报名情况和他本人的才艺能力，该同学分别进入“电影社”的概率和“心理社”的概率16和p，假设至少进入一个社团的概率为38.
(1)求该同学进入心理社的概率p；
(2)学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分，求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=cs(π2−2x)+2 3cs2x− 3.
(1)若x∈[0,π2]，求函数f(x)的值域；
(2)设三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知b=2，且锐角B满足f(B)=0，求a+c的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由(z−1)i=1+i，得z−1=1+ii=−i(1+i)−i2=1−i，
∴z=2−i.
故选：C.
由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z−1，进一步求得z.
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的应用，向量的共线，考查计算能力，属于中档题．
利用向量的垂直，判断A的正误；向量共线判断B的正误；根据向量的数量积的符号，判断D的正误；推出结果即可．
【解答】
解：对于A，当a⊥b，a⊥c时，b与c不一定相等；所以A不正确；
对于B，当a，b同向时，结论不成立；所以B不正确；
对于C，a⋅b为实数，(a⋅b)c=0，c是非零向量，所以a⋅b=0，所以a⊥b，正确．
对于D，当a⋅b>0时，向量a，b的夹角可能为锐角，也可能为0，所以D不正确；
故选：C.
3.【答案】B
【解析】解：cs5π12− 3sin5π12=2sin(5π12+5π6)=2sin15π12=2sin5π4=2sin(π+π4)=−2sinπ4=− 2.
故选：B.
根据辅助角公式及诱导公式化简、求值即可．
本题考查了三角恒等变化、诱导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：对于①，数学建模活动是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程，正确，
对于②，数学建模过程主要包括：问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析与检验和推广应用，正确，
对于③，数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁，建立既符合实际又能够利用现有方法求解的合理数学模型是解决实际问题的关键步骤之一，正确，
对于④，按照数学建模的流程，模型求解之后，还需要对模型解的正确性进行检验，正确，
故选：D.
根据数学建模的有关知识逐个分析判断即可．
本题主要考查数学建模的有关知识，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由平行公理可得，平行于同一直线的两条直线平行，故①正确；
平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故②错误；
平行于同一直线的两个平面平行或相交，故③错误；
由面面平行的性质定理可得平行于同一平面的两个平面平行，故④正确．
故选：C.
利用平行公理判断①；由平行于同一平面有三种位置关系判断B；由平行于同一直线的两平面平行或相交判断③；由面面平行的性质可判断④．
本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力、推理能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：法一：因为a=2bcsC=2b×a2+b2−c22ab，
整理得b=c，
故△ABC为等腰三角形；
法二：因为a=2bcsC，
所以sinA=2sinBcsC，
所以sin(B+C)=2sinBcsC=sinBcsC+sinCcsB，
所以sinBcsC−sinCcsB=0，
所以sin(B−C)=0，
所以B=C，
故△ABC为等腰三角形．
故选：D.
法一：由已知结合余弦定理进行化简可得a，b关系，进而可判断三角形形状．
法二：利用正弦定理及和差角公式进行化简可得B，C的关系，进而可判断三角形形状．
本题主要考查了正弦定理及余弦定理，和差角公式在三角形形状判断中的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，将10拆成两个正整数的和，记“两个加数都大于2”为事件A，“两个加数都为素数”为事件B，
在加数都大于2的条件下则事件A有(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，这5种情况
事件B有(3,7)，(5,5)，(7,3)，这3种情况，
故要求概率P=35.
故选：B.
求出两个加数都大于2的情况，即两个加数都为素数的情况，由古典概型公式可得出概率．
本题考查古典概型的计算，注意列举法的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：设a+b=5t，b+c=6t，c+a=7t，则a=3t，b=2t，c=4t，
对于A，sinA：sinB：sinC=3：2：4，故A错误；
对于B，csC=a2+b2−c22ab=−14<0，角C为钝角，故B错误；
对于C，若a=6，则t=2，b=4，c=8，csC=−14⇒sinC= 154，
所以△ABC的面积S=12absinC=12×6×4× 154=3 15，故C错误；
对于D，由正弦定理R=c2sinC=8t 15=8 15t15，
△ABC的周长l=9t，S=12absinC=3 154t2，所以内切圆半径r=2sl= 156t，∴Rr=165，故D正确．
故选：D.
根据条件求出三角形三边的比值，利用正弦定理和余弦定理可以判断选项A，B错误；对于C，求出三边长后，可利用三角形面积公式求解；对于D，利用正弦定理和等面积法可求出△ABC外接圆半径R，内切圆半径r，可判断D正确．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，事件M的发生与否与对事件N没有影响，是相互独立事件；
对于B，事件M的发生与否与对事件N没有影响，是相互独立事件；
对于C，若事件M发生，事件N发生的概率P=12，若事件M不发生，事件N发生的概率P=14，事件M与N不是相互独立事件；
对于D，事件M的发生与否与对事件N没有影响，是相互独立事件；
故选：ABD.
根据题意，由相互独立事件的定义依次分析选项，综合可得答案．
本题考查相互独立事件的定义，注意相互独立事件与互斥事件的区别，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：根据题意，设正方形ABCD和正方形BCFE的边长都是1，
则有AC=AB+AD，AF=2AB+AD，则|AC|= 1+1= 2，|AF|= 1+4= 5，
AC⋅AF=(AB+AD)⋅(2AB+AD)=2AB2+AD2+3AB⋅AD=3，
故AC在AF上的投影向量为AC⋅AF|AF|AF|AF|=AC⋅AF|AF|2AF=35AF，故A正确，B错误；
AB+AC=2AB+AD，则(AB+AC)⋅AB=2AB2+AB⋅AD=2，
则AB+AC在AB上的投影向量(AB+AC)⋅AB|AB|2AB=2AB=AE，则C正确，D错误．
故选：AC.
根据题意，由投影向量的计算公式求出AC在AF上的投影向量和AB+AC在AB上的投影向量，分析选项可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及投影向量的计算，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：cs(−2023π3)=cs2023π3=csπ3=12，
对于A，2cs15∘cs75∘=2sin15∘cs15∘=sin30∘=12，故A符合题意；
对于B，sin86∘cs56∘−cs86∘sin56∘=sin(86∘−56∘)=sin30∘=12，故B符合题意；
对于C，1(1+tan3∘)(1+tan42∘)=11+tan3∘⋅tan42∘+tan3∘+tan42∘
=11+tan3∘⋅tan42∘+tan45∘(1−tan3∘⋅tan42∘)=11+tan45∘=12，故C符合题意：
对于D，cs16π5+cs8π5=cs(3π+π5)+cs(π+3π5)=−(csπ5+cs3π5)<0，故D不符合题意．
故选：ABC.
根据诱导公式和三角恒等变换一一计算即可．
本题主要考查了诱导公式，二倍角公式及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：对于A，∵BN⊂平面BB1C1C，B1∈平面BB1C1C，M∉平面BB1C1C，
由异面直线的定义可知，直线BN与MB1是异面直线，故A对；
对于B，假设直线AM与BN是平行直线，则A、M、B、N四点共面，
∵平面AA1B1B//平面CC1D1D，平面ABNM∩平面AA1B1B=AB，
平面ABNM∩平面CC1D1D=MN，∴MN//AB，
又∵C1D1//AB，∴，C1D1//MN，这与MN∩C1D1=M矛盾，
假设不成立，故AM与BN不平行，故B错；
对于C，正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球半径为R= 32AB= 3，
即三棱柱AA1D1−BB1C1的外接球的半径为 3，该球的表面积为4πR2=12π，故C错；
对于D，连接CD1，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BC//A1D1且BC=A1D1，
∴四边形A1BCD1为平行四边形，则A1B//CD1，
∵M、N分别为C1D1、CC1的中点，
∴MN//CD1且MN=12CD1=12 CC12+C1D12=12 22+22= 2，
故MN//AB1且AB1= 2AB=2 2，故A1、B、N、M四点共面，
∴平面BMN截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面图形为梯形A1B1NM，
由勾股定理可得BN= BC2+CN2= 22+12= 5，同理可得A1M= 5，
故梯形A1B1NM为等腰梯形，
过点M、N分别在平面A1B1NM内作ME⊥A1B1，NF⊥A1B1，垂足分别为点E、F，
在Rt△A1ME和Rt△BNF中，A1M=BN，∠MA1E=∠NBF，∠A1EM=∠BFN=90∘，
∴△A1ME≌△BNF，∴，A1E=BF，
在梯形A1B1NM内，∵MN//EF，ME⊥A1B1，NF⊥A1B1，
∴四边形EFNM为矩形，故EF=MN= 2，
∴A1M=BN=A1B1−EF2= 22，故ME= A1M2−A1E2= 5−( 22)2=3 22，
∴梯形A1B1NM的面积为S梯形A1B1NM=(A1B1+MN)⋅ME2=(2 2+ 2)×3 222=92，
故平面BMN截正方体所得的截面面积为92，故D对．
故选：AD.
利用异面直线的定义可判断A选项；利用反证法结合面面平行的性质可判断B选项；求出AA1D1−BB1C1的外接球的表面积，可判断C选项；分析出平面BMN截正方体所得截面图形为梯形A1B1NM，并计算出A1B1NM的面积，可判断D选项．
本题主要考查异面直线的判断，线线平行的判断，球的表面积的求法，截面面积的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】−4+3i
【解析】解：令x=a+bi(a,b∈R)，
则a+bi+ a2+b2=1+3i；
∴a+ a2+b2=1b=3⇒a=−4b=3；
∴x=−4+3i；
故答案为：−4+3i.
由已知中x∈C，令x=a+bi(a,b∈R)，解方程x+|x|=1+3i，即可得到结论．
本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，复数的模．
14.【答案】4
【解析】解：∵一个圆锥的母线与底面所成的角为π6，体积为64π，
设此圆锥的高为h，
∴R= 3h13πR2h=64π，
解得此圆锥的高为h=4.
故答案为：4.
利用圆锥的结构特征、体积公式能求出则此圆锥的高．
本题考查圆锥的结构特征、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】7
【解析】解：因为B，D，A1到平面α的距离为1，2，4，
所以D，A1的中点到平面α的距离为3，
所以D1到平面α的距离为6，
B，A1的中点到平面α的距离为52，
所以B1到平面α的距离为5，
D，B的中点到平面α的距离为32，
所以C到平面α的距离为3，
C，A1的中点到平面α的距离为72，
则C1到平面α的距离为7，
所以这个正方体其余顶点到平面α的距离最大值为7.
故答案为：7.
计算这个正方体其余顶点到平面α的距离，即可得出答案．
本题考查立体几何中空间距离，解题关键是掌握正方体几何特征，属于中档题．
16.【答案】2
【解析】解：由MP=λMD−MB得：MP+MB=λMD，
又M为AB的中点，所以MB=−MA，
所以MP−MA=AP=λMD，过A作MD的平行线交ED于点Q，
当P与Q重合时，λ的值最大．
因为M为AB的中点，且MD//AQ，
所以D为BQ的中点，此时AQ=2MD，
所以λ的最大值为2.
故答案为：2.
由题设MB=−MA，易得λMD=MP+MB=MP−MA=AP，过A作MD的平行线交ED于点Q，即可判断P与Q重合时λ的值最大，进而求最大值．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由已知可得m=(−3+k,1−2k)，
因为向量m与a垂直，所以−3×(−3+k)+1×(1−2k)=0，
解得k=2；
(2)a+b=(−2,−1)，因为m与a+b平行，
所以−2×(1−2k)=−1×(−3+k)，解得k=1，
所以当k=1时，向量m与a+b平行．
【解析】(1)根据向量垂直的坐标公式可得；
(2)根据向量平行的坐标公式可得．
本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B，且点A，B的横坐标分别为35，−513，
显然，点A在第一象限，点B在第二象限，则点A，B的纵坐标分别为45，1213，
由已知及三角函数定义得sinα=45，sinβ=1213，而csα=35，csβ=−513，
所以cs(β−α)=csαcsβ+sinαsinβ=35×(−513)+45×1213=3365；
(2)由(1)得tanα=43，sin2α−cs2α1+cs2α=2sinαcsα−cs2α2cs2α=tanα−12=43−12=56，
所以sin2α−cs2α1+cs2α的值是56.
【解析】(1)根据给定条件求出点A，B的纵坐标，再借助三角函数定义计算两个角的正弦与余弦，结合差角的余弦公式，代入计算作答．
(2)利用(1)求出tanα，再利用二倍角公式化简计算作答．
本题考查三角函数的定义的应用，属于基础题．
19.【答案】解：由题意A(1,1)，B(2,−3)，
AB=(1,−4)，
所以DA=(4,1)，CB=(4,1)，
或DA=(−4,−1)，CB=(−4,−1)，
所以C(−2,−4)，D(−3,0)，
或C(6,−2)，D(5,2)，
所以C，D对应复数为−2−4i，−3或6−2i，5+2i.
【解析】利用向量进行计算．
本题主要考查复数的几何意义，属中档题．
20.【答案】证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，如下图所示：
因为E、N分别为PD、PC的中点，则EN//CD且EN=12CD，
因为四边形ABCD为正方形，则AB//CD且AB=CD，
因为M为AB的中点，则AM//CD且AM=12CD，
所以，EN//AM且EN=AM，故四边形AMNE为平行四边形，所以，MN//AE，
因为MN⊄平面PAD，AE⊂平面平面PAD，所以，MN//平面PAD.
(2)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，则BC⊥PA，
因为四边形ABCD为正方形，则AB⊥BC，
因为AB∩PA=A，AB、PA⊂平面PAB，所以，BC⊥平面PAB，
因为AQ⊂平面PAB，则AQ⊥BC，
因为AB=AP，Q为OB的中点，则AQ⊥PB，
因为BC∩PB=B，BC、PB⊂平面PBC，因此，AQ⊥平面PBC.
(3)因为四边形ABCD为正方形，则AB⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以，PA⊥AB，
因为PA∩AD=A，PA、AD⊂平面PAD，所以，AB⊥平面PAD，
所以，PB与平面PAD所成角为∠APB，
因为PA⊥AB，PA=AB，则△PAB为等腰直角三角形，且∠APB=π4，
因此，直线PB与平面PAD所成的角为π4.
【解析】(1)取PD的中点E，连接AE、EN，证明出四边形AMNE为平行四边形，可得出MN//AE，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
(2)证明出BC⊥平面PAB，可得出AQ⊥BC，利用等腰三角形三线合一的性质可得出AQ⊥PB，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；
(3)推导出AB⊥平面PAD，可知PB与平面PAD所成角为∠APB，分析△PAB的形状，即可得出结果．
本题主要考查线面平行和判定的判定定理以及直线与平面所成的角，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可知，1−(1−16)×(1−p)=38，
解得p=14；
(2)令该同学在社团方面获得校本选修课加分分数为ξ，
则P(ξ=1)=(1−14)×16=18，
P(ξ=1.5)=14×16=124，
所以该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率为：
P=18+124=16.
【解析】本题主要考查了独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式，属于基础题．
(1)利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式即可求解；
(2)利用独立事件的概率乘法公式分别求得分数为1和1.5时的概率，再利用互斥事件概率计算公式即可求解．
22.【答案】解：(1)由题意f(x)=sin2x+ 3cs2x
=2sin(2x+π3)，
当x∈[0,π2]，可得2x+π3∈[π3,43π]，所以sin(2x+π3)∈[− 32,1]，
所以f(x)∈[− 3,2]；
(2)由(1)可得f(B)=sin(2B+π3)=0，即2B+π3=0或2B+π3=π，
而B为锐角，可得B=π3，
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB=(a+c)2−2ac−ac，因为b=2，
即4=(a+c)2−3ac≥(a+c)2−3⋅(a+c)24，当且仅当a=c时取等号．
解得(a+c)2≤16，
即a+c≤4，
三角形中a+c>b=2，
所以a+c的范围为(2,4].
【解析】(1)由半角公式及诱导公式可得函数f(x)的解析式，再由x的范围，可得2x−π3的范围，进而可得函数的值域；
(2)由题意及(1)可得B角的大小，由余弦定理及也找不到是，可得a+c的最大值，再由三角形的性质可得a+c的范围．
本题考查辅助角公式的应用及余弦定理，均值不等式的应用，属于中档题．