2022-2023学年广西百色市高一下学期数学期末考试模拟试题（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年广西百色市高一下学期数学期末考试模拟试题（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足z1+i=2−i，则复数z对应的点在第象限( )
A. 一B. 二C. 三D. 四
2.已知AB=1,2，AC=4,m，若AB⊥AC，则BC=( )
A. 2B. 3C. 5D. 12
3.为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取100名男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方图.已知立定跳远195cm及以上成绩为合格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的数据估计全校1000名男生中立定跳远项目合格的男生有( )
A. 660名B. 940名C. 970名D. 800名
4.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
B. 若n//m，n⊥α，则m⊥α
C. 若m⊥α，m⊥n，则n//α
D. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
5.若b2+c2−bc=a2，且bc=tanBtanC，则△ABC的形状为( )
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
6.在△ABC中，M是AC边上一点，且AM=12MC,N是BM上一点，若AN=19AC+mBC，则实数m的值为( )
A. −13B. −16C. 16D. 13
7.甲、乙两人进行了羽毛球比赛，双方约定：先胜2局者获得比赛的胜利．若某局比赛甲先发球，则这局比赛甲获胜的概率是35；若某局比赛乙先发球，则这局比赛甲获胜的概率是13.已知每局比赛都分出胜负，且各局比赛结果互不影响，若第一局是甲先发球，从第二局开始，每局由上一局的获胜者发球，则这次羽毛球比赛甲获胜的概率是( )
A. 425B. 1225C. 1325D. 2125
8.金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为18 3，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是( )
A. 18πB. 9 2πC. 6πD. 6π
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某公司生产甲、乙、丙三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，则( )
A. 在每一种型号的轿车中可采用抽签法抽取
B. 抽样比为1200
C. 三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D. 这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
10.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A. i2023+i4+i25=1
B. 复数z=1+2i的虚部为2i
C. z=a+bi，z2为纯虚数的充要条件是a=b≠0
D. 已知复数z满足z+1=z+i，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
11.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个白球、2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则( )
A. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件
B. “都是白球”与“都是黑球”是互斥事件
C. “至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件
D. “第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立
12.在如图所示的三棱锥O−ABC中，OA=OB=OC=1，OA，OB，OC两两互相垂直，下列结论正确的为( )
A. 直线AB与平面OBC所成的角为30∘
B. 二面角O−BC−A的正切值为 2
C. O到面ABC的距离为 3
D. 作OM⊥平面ABC，垂足为M，则M为△ABC的重心
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(λ,2)，b=−1,3，若a//a+b，则λ=__________.
14.圆台的上、下底面半径分别是10和20，体积是70003 3π，则圆台的母线长为__________.
15.已知一组数据2x1+4,2x2+4,2x3+4,2x4+4的平均数和方差均为4，则x1+1,x2+1,x3+1,x4+1的方差为__________.
16.如图，某山的高度BC=300m，一架无人机在Q处观测到山顶C 的仰角为15∘，地面上A处的俯角为45∘，若∠BAC=60∘，则此无人机距离地面的高度PQ为__________m.
四、解答题：本题共8小题，共94分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a=(1,2)，b=(3,−2).
(1)求a−2b；
(2)已知c= 10，且(2a+c)⊥c，求向量a与向量c的夹角．
18.(本小题12分)
牯藏节是苗族的传统节日，西江苗寨为了丰富居民的业余生活，举办了关于牯藏节的知识竞赛，比赛共分为两轮.在第一轮比赛中，每一位选手均需要参加两关比赛，若在两关比赛均达标，则进入第二轮比赛.已知在第一轮比赛中，选手A、B 第一关达标的概率分别为45，23；第二关达标的概率分别是34，35，A、B在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响.
(1)分别求出A、B进入第二轮比赛的概率；
(2)若A、B两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率.
19.(本小题12分)
已知在某次招考测试中，甲､乙､丙3人各自通过测试的概率分别为25,34,13.求：
(1)至少有1人通过测试的概率；
(2)恰有2人通过测试的概率．
20.(本小题12分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E,F,G分别是BC,DC,SC的中点，求证：
(1)EG//平面BDD1B1；
(2)平面EFG//平面BDD1B1.
21.(本小题12分)
如图：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为DD1的中点.

(1)求证：BD1//平面AMC；
(2)在线段CC1上是否存在一点N，使得平面AMC//平面BND1，说明理由.
22.(本小题12分)
从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)及中位数(保留一位小数)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
23.(本小题12分)
从① 3bsinA1+csB=a；②asinB− 3bcsBcsC= 3ccs2B；③(sinA−sinC)2=sin2B−sinAsinC这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________.
(1)求角В的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，с=1，求a的取值范围.
注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分.
24.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=3.
(1)若点E为线段PD的中点，求证：AE⊥平面PDC；
(2)若EP=−12ED，则线段AB上是否存在一点F，使得EF//平面PBC，若存在，请确定点F的位置，并求三棱锥F−PBC的体积.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
由题，计算出复数 z ，由复数的几何意义即可判断答案.
本题考查复数的运算和几何意义，是基础题
【解答】
解：因为 z1+i=2−i= 5 ， z= 51+i= 5(1−i)(1+i)(1−i)= 52− 52i ，
所以复数 z 对应的点的坐标为 ( 52,− 52) ，在第四象限.
故选：D
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，向量模的坐标表示，属于基础题.
先利用平面向量垂直的坐标表示求得 m ，再利用平面向量线性运算与模的坐标表示即可求得结果.
【解答】
解：因为 AB=1,2,AC=4,m ， AB⊥AC ，
所以 1×4+2m=0 ，得 m=−2 ，则 AC=4,−2 ，
所以 BC=AC−AB=3,−4 ，
故 BC= 9+16=5 .
故选：C.
3.【答案】B
【解析】【分析】
在频率分布直方图中，根据频率之和为1求出a，然后直接计算求解即可.
本题考查频率分布直方图，是基础题
【解答】
解：由频率分布直方图可知 (a+0.014+0.020+0.010+a)×20=1 ，所以实数 a=0.003 ，
所以可估计全校1000名男生中立定跳远项目合格的男生有 (0.014+0.020+0.010+0.003)×20×1000=940 名.
故选：B.
4.【答案】B
【解析】【分析】
根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案.
本题考查空间中直线与直线的位置关系，是基础题
【解答】
解：对于A，若 m⊂α ， n⊂α ， m//β ， n//β ， m∩n=P ，则 α//β ，故错误；
对于B， n//m ， n⊥α ，则 m⊥α ，正确；
对于C， m⊥α ， m⊥n ，则 n//α 或 n⊂α ，故错误；
对于D，若 α//β ， m⊂α ， n⊂β ，则 m//n 或异面，故错误.
故选：B
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用正、余弦定理判断三角形的形状.
由 b2+c2−bc=a2 ，利用余弦定理得到 A=π3 ，再由 bc=tanBtanC ，利用正弦定理结合商数关系得到 B=C 判断.
【解答】
解：因为 b2+c2−bc=a2 ，所以 csA=b2+c2−a22bc=12 ，
因为 A,B,C∈0,π ，所以 A=π3 ，
又因为 bc=tanBtanC ，所以 sinBsinC=sinBcsCsinCcsB ，
即 csB=csC ，所以 B=C ，
故 △ABC 是等边三角形，
故选：D.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平面向量共线定理与三点共线问题.
根据平面向量基本定理用 AM,AB 表示 AN ，又因为 B,N,M 三点共线，利用系数和为1求解结果.
【解答】
解：由 AM=12MC ，得出 AC=3AM ，
由 AN=19AC+mBC 得 AN=19AC+mAC−AB=19+mAC−mAB
=13+3mAM−mAB ，
因为 B,N,M 三点共线，所以 13+3m+−m=1 ，解得 m=13 .
故选：D.
7.【答案】C
【解析】【分析】
先分析出甲获胜的情况：①甲先连胜两局，②甲第一局和第三局胜利，③甲第二局和第三局胜利，再由互斥事件概率公式求解.
本题考查互斥事件概率公式，是中档题
【解答】
解：这次羽毛球比赛甲获胜的情况有三种：
①甲连续获得2局比赛的胜利，其概率 P1=35×35=925 ；
②甲第一局和第三局比赛获胜，乙第二局比赛获胜，其概率 P2=35×25×13=225 ；
③乙第一局比赛获胜，甲第二局和第三局比赛获胜，其概率 P3=25×13×35=225 .
故所求概率 P=P1+P2+P3=1325 .
故选：C.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查球的切、接问题，题目较难，先利用条件求出正多形的边长，再将求最大球的体积转化成求金刚石的内切球体积，进而转化成求截面 EMFH 内切圆的半径，从而求出结果.
【解答】
解：如图，设底面 ABCD 中心为 O ，BC ，AD 中点分别为 H，M，连接 OH， EO ，EH ，MF ，HF ，EM ，
设金刚石的边长为 a ，则由题知， 8×12a2sin60∘=2 3a2=18 3 ，所以 a=3 ，
在等边 △EBC 中， BC 边上的高 EH= EC2−CH2= 32−(32)2=3 32 ，
在 Rt△EOH 中， EO= EH2−OH2= 274−94=3 22 ，
由题可知，最大球即为金刚石的内切球，由对称性易知球心在 O 点，与面 EBC 的切点在线段 EH 上，
球的半径即为截面 EMFH 内切圆的半径，设内切圆半径为 r ，
由等面积法可知： 3 22⋅32=3 32⋅r ，解得 r= 62 ，所以内切球的半径为 R= 62
则内切球体积为 V=43πR3=43π( 62)3= 6π.
故选：D.
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查分层随机抽样，属于基础题.
根据三种随机抽样方法的特点可判断ABD；然后根据分层抽样计算可判断C.
【解答】
解：因每一种型号的轿车数量较多，不适合用抽签法，故A错误；
在按比例分配的分层随机抽样中，抽样比为 461200+6000+2000=1200 ，故B正确；
在按比例分配的分层随机抽样中，三种型号的轿车应依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确；
在按比例分配的分层随机抽样中，每一辆被抽到的概率是相等的，故D正确．
故选：BCD
10.【答案】AD
【解析】【分析】
根据i的周期性可判断A，根据虚部概念判断B，根据复数乘方运算及纯虚数概念判断C，根据复数模的运算即可得到点的轨迹判断D.
本题考查复数的代数表示和运算，是中档题
【解答】
解：对选项A： i2023+i4+i25=i3+1+i=−i+1+i=1 ，正确；
对选项B：复数 z=1+2i 的虚部为2，而不是 2i ，错误；
对选项C： z=a+bi,a∈R,b∈R ，则 z2=a+bi2=a2+2abi+b2i2=a2−b2+2abi，若 z2 为纯虚数，则 a2−b2=02ab≠0 ，所以 a=±b,a≠0,b≠0 ，错误；
对选项D：设 z=x+yi,x∈R,y∈R ，由 z+1=z+i 可得， x+1+yi=x+y+1i ，所以 x+12+y2= x2+y+12 ，平方化简得： y=x ，所以 z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 y=x ，正确.
故选：AD
11.【答案】BC
【解析】【分析】
根据互斥，对立事件与相互独立事件的定义逐个判断即可
本题考查互斥事件、对立事件的定义，是中档题
【解答】
解：对A，“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”均包含“一个白球一个黑球”的情况，故A错误；
对B，“都是白球”与“都是黑球”不能同时发生，且不是对立事件，故为互斥事件，故B正确；
对C，“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件，故C正确；
对D，事件 A“第一次摸到的是白球”的概率 PA=35 ，事件 B“第二次摸到的是黑球”的概率PB=35×24+25×14=25 ，又PAB=35×24=310 ，因为PAB≠PAPB，故“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”不相互独立，故D错误.
故选：BC
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查直线与平面所成的角，考查二面角，考查点面距离，考查线面垂直的性质.
利用线面垂直的判定定理可得 AO⊥ 平面 OBC ，可得 ∠ABO 为直线 AB 与平面 OBC所成的角，即可判断A项；
利用线面垂直的判定定理可得 BC⊥ 平面 AOD ，即得 ∠ODA 为二面角 O−BC−A 的平面角，即可判断B项；
利用等体积法求点面距离即可判断C项；
利用线面垂直的性质定理结合等边三角形的性质即可判断D项.
【解答】
解：因为 OA ， OB ， OC 两两互相垂直， OB∩OC=O ，OB、OC⊂平面 OBC ， AO⊥ 平面 OBC ，
故 ∠ABO 为直线 AB 与平面 OBC 所成的角，又 OA=OB=OC=1 ，所以 ∠ABO=45∘ ，故直线 AB 与平面 OBC 所成的角为 45∘ ，故A错误；
取 BC 中点为 D ，连接 OD,AD ，
因为 OA=OB=OC=1 ， OA ， OB ， OC 两两互相垂直，所以 AB=AC=BC= 2 ， OD⊥BC,AD⊥BC,
因为 OD∩AD=D ，OD、AD⊂平面 AOD ，所以 BC⊥ 平面 AOD ，故 ∠ODA 为二面角 O−BC−A 的平面角，则 tan∠ODA=OAOD= 2 ，故二面角 O−BC−A 的正切值为 2 ，故B项正确；
因为 AB=AC=BC= 2 ，所以 AD= 62 ，设 O 到面 ABC 的距离为 h ，
则 VA−OBC=13×12×1×1×1=VO−ABC=13×12× 2× 62×h ，解得 h= 33 ，故C项错误；
因为 AB=AC=BC= 2 ，故 △ABC 为等边三角形，
因为 OM⊥ 平面 ABC ，则 M 点为 O 点在平面 ABC 上的投影，又 OA=OB=OC=1 ，即 O 点到 △ABC 顶点 A,B,C 的距离相等，即 M 点到 △ABC 顶点 A,B,C 的距离相等，故 M 为 △ABC 的重心，故D项正确.
故选：BD.
13.【答案】−23
【解析】【分析】
根据向量的坐标运算和向量共线的坐标表示列方程求 λ .
本题考查向量共线的坐标表示，是基础题
【解答】
解：因为 a=(λ,2) ， b=−1,3 ，
所以 a+b=λ−1,5 ，又 a//a+b ，
所以 5λ−2λ−1=0 ，
所以 λ=−23 .
故答案为： −23 .
14.【答案】20
【解析】【分析】
本题考查了圆台的结构特征与体积公式．
结合图形，利用圆台的体积公式以及勾股定理进行求解.
【解答】
解：如图，圆台的上、下底面半径分别是10和20，所以 BH=20−10=10 ，
设圆台上底面面积为 S′ ，下底面面积为 S ，高为 h ，母线长为 l ，
所以 S′=π⋅102=100π ， S=π⋅202=400π ，
根据圆台的体积公式 S=13h(S+S′+ SS′)=70003 3π ，
解得 h= 10 3 ，在 Rt△ABH 中，由勾股定理有： BH2+h2=AB2=l2 ，
解得 l= 102+(10 3)2=20 .则圆台的母线长为20.
故答案为：20.
15.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查平均数和方差，属于基础题.
根据 2x1+4,2x2+4,2x3+4,2x4+4的平均数和方差均为4，得到 x1+x2+x3+x4=0 ， x 12+x 22+x 32+x 42=4 ，从而求出 x1+1,x2+1,x3+1,x4+1 的平均数和方差.
【解答】
解：由题意得： 2x1+4+2x2+4+2x3+4+2x4+4=16 ，
解得： 2x1+2x2+2x3+2x4=0 ， x1+x2+x3+x4=0 ，
且 142x1+4−42+2x2+4−42+2x3+4−42+2x4+4−42=4 ，
解得： x 12+x 22+x 32+x 42=4 ，
故 x1+1,x2+1,x3+1,x4+1 的平均数为 14x1+1+x2+1+x3+1+x4+1=1 ，
故方差为 14x1+1−12+x2+1−12+x3+1−12+x4+1−12=14x 12+x 22+x 32+x 42=1 .
故答案为：1.
16.【答案】200
【解析】【分析】
本题考查利用正弦定理解决高度问题，属于中档题.
在直角三角形中求出 AC ，在△ACQ中利用正弦定理求出 AQ ，在Rt△APQ中求PQ 即可.
【解答】
解：根据题意，在Rt△ABC中，∠BAC=60∘，BC=300m，
所以 AC=BCsin 60∘=300 32=200 3m ，
在 △ACQ中，∠AQC=45∘+15∘=60∘，∠QAC=180∘−45∘−60∘=75∘，
所以∠QCA=180∘−∠AQC−∠QAC=45∘，
由正弦定理，得 AQsin45∘=ACsin60∘ ，即AQ=200 3× 22 32=200 2 m，
在Rt△APQ中，PQ=AQsin45∘=200 2× 22=200m.
故答案为：200
17.【答案】解：(1)向量 a=(1,2) ， b=(3,−2) ，则 a−2b=(1,2)−2(3,−2)=(−5,6) ，
所以 |a−2b|= (−5)2+62= 61 .
(2)由 c= 10 ， (2a+c)⊥c ，得 (2a+c)⋅c=2a⋅c+c2=2a⋅c+10=0 ，解得 a⋅c=−5 ，
由 a=(1,2) ，得 |a|= 5 ，于是 cs⟨a,c⟩=a⋅c|a||c|=−5 5× 10=− 22 ，
而 ⟨a,c⟩∈[0,π] ，则有 ⟨a,c⟩=3π4 ，
所以向量 a 与向量 c 的夹角 3π4 .

【解析】本题考查向量模和夹角的坐标运算，属于中档题.
(1)利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.
(2)由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答.
18.【答案】解：(1)由选手 A 、 B 第一关达标的概率分别为 45 ， 23 ；第二关达标的概率分别是 34 ， 35 ，
记“ A 、 B 进入第二轮比赛”分别为事件 M1 和事件 M2 ，
则 PM1=45×34=35 ， PM2=23×35=25 .
所以 A 、 B 进入第二轮比赛的概率分别为 35 和 25 .
(2)记“两人中至少有一人进入第二轮比赛”为事件 M3 ，
则 PM3=1−1−35×1−25=1925 .
所以两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率为 1925 .

【解析】(1)根据相互独立事件的乘法公式可求出结果；
(2)根据对立事件的概率公式可求出结果.
本题考查相互独立事件的概率公式，是中档题
19.【答案】解：(1)设事件 A= “甲通过测试”，事件 B= 乙通过测试”，事件 C= “丙通过测试”，
事件 A,B,C 与 A,B,C 相互独立，由题意有： PA=25,PB=34,PC=13 .
设事件 M1= “甲､乙､丙3人中至少有1人通过测试”，则 M1 的对立事件 M1=A B C，
PM1=1−PM1=1−35×14×23=910.
(2)设事件 M2= “甲､乙､丙3人中恰有2人通过测试”，则 M2=ABC+ABC+ABC ，
由于事件 A,B,C,A,B,C 均相互独立，并且事件 ABC,ABC,ABC 两两互斥，
因此 PM2=P(A)⋅P(B)⋅P(C)+P(A)⋅P(B)⋅P(C)+P(A)⋅P(B)⋅P(C)
=25×34×1−13+25×1−34×13+1−25×34×13=2360.

【解析】本题考查相互独立事件和对立事件的概率乘法公式，属于一般题.
(1)设事件 A= “甲通过测试”，事件 B= 乙通过测试”，事件 C= “丙通过测试”，事件 A,B,C 与 A,B,C 相互独立，至少有1人通过测试的 对立事件为1人也没用过，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
(2)设事件 M2= “甲､乙､丙3人中恰有2人通过测试”，则 M2=ABC+ABC+ABC ，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
20.【答案】解：(1)
如图，连接 SB ，∵E,G 分别是 BC,SC 的中点，∴EG// SB .
又∵SB⊂ 平面 BDD1B1 ， EG⊄ 平面 BDD1B1 ，∴直线 EG// 平面 BDD1B1 .
(2)连接SD，∵F,G 分别是 DC,SC 的中点，
∴FG//SD .又∵SD⊂ 平面 BDD1B1 ， FG⊄ 平面 BDD1B1 ，
∴FG// 平面 BDD1B1 ，由(1)知， EG// 平面 BDD1B1 ，
且 EG⊂ 平面 EFG ， FG⊂ 平面 EFG ， EG∩FG=G ，
∴平面 EFG //平面 BDD1B1 .

【解析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；
(2)利用面面平行的判定定理证明.
本题考查面面平行的判定，是基础题
21.【答案】(1)证明：连接BD交AC于O，连接MO，
∵底面 ABCD 为正方形，∴O为BD的中点.
∵M为 DD1 的中点，在 △DBD1 中，OM是 △DBD1 的中位线，
所以 OM//BD1 .
又 OM⊂ 平面 AMC ， BD1⊄ 平面 AMC ，
∴BD1 // 平面 AMC ；
(2)解：当点N为CC1的中点时满足平面 AMC // 平面 BND1 ，
∵N为 CC1 的中点，M为 DD1 的中点，
∴CN//MD1 ，且 CN=MD1 ，
∴四边形 CND1M 为平行四边形，∴D1N//MC ，
∵MC⊂ 平面 AMC ， D1N⊄ 平面 AMC ，
∴D1N // 平面 AMC ；
由(1)知 BD1 // 平面 AMC ，
又∵BD1∩D1N=D1 ，BD1,D1N⊂平面BND1，
∴平面 AMC // 平面 BND1 .

【解析】本题考查了线面平行和面面平行的判定，考查逻辑推理能力，属于中档题.
(1)连接BD交AC于O，连接MO，通过证明 OM//BD1 可证明结论；
(2)当点N为CC1的中点时满足平面 AMC // 平面 BND1 ，通过证明 D1N // 平面 AMC 结合 BD1 // 平面 AMC 可证明结论.
22.【答案】解：(1)
则频率分布直方图如下图所示：
(2)质量指标值的样本平均数为：
80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100 ，
质量指标值的样本方差为：
s2=−202×0.06+−102×0.26+02×0.38+102×0.22+202×0.08=104 ，
∴这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104.
第一组频率为：0.06，第二组频率为：0.26，第三组频率为：0.38，
∵0.06+0.26<0.5，0.06+0.26+0.38>0.5，
∴中位数落在第三组 95,105 内，设中位数为x，
则 0.006×10+0.026×10+0.038×(x−95)=0.5 ，解得 x≈99.7 ，
因此，中位数为99.7；
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例约为 0.38+0.22+0.08=0.68 ，
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．

【解析】本题考查频率直方图，考查平均数，中位数，方差，考查用样本的分布估计总体的分布，属于中等题.
(1)由图表绘制直方图即可；
(2)根据直方图，结合平均数、中位数的概念求值；
(3)根据质量指标值不低于95的产品所占比例说明即可.
23.【答案】解：(1)若选①
由正弦定理得 3sinBsinA1+csB=sinA ，即 3sinBsinA=sinA(1+csB)
因为 0所以 3sinB=1+csB ，所以 sinB−π6=12 ，
又因为 −π6若选②
因为 asinB− 3bcsBcsC= 3ccs2B ，
由正弦定理得 sinAsinB= 3sinBcsBcsC+ 3sinCcs2B ，
即 sinAsinB= 3csB(sinBcsC+sinCcsB) = 3csBsin(B+C) ，
所以 sinAsinB= 3csBsinA ，
由 A∈(0,π) ，得 sinA≠0 ，
所以 sinB= 3csB ，即 tanB= 3 ，
因为 B∈(0,π) ，所以 B=π3 .
若选③
由 (sinA−sinC)2=sin2B−sinAsinC ，化简得 sin2A+sin2C−sin2B=sinAsinC .
由正弦定理得： a2+c2−b2=ac ，即 a2+c2−b22ac=12 ，所以 csB=12 .
因为 B∈(0,π) ，所以 B=π3 .
(2)在 △ABC 中，由正弦定理 asinA=csinC ，得 a=csinAsinC ，
由(1)知： B=π3 ，又с=1代入上式得： a=sin2π3−CsinC=12sinC+ 32csCsinC =12+ 32tanC .
因为 △ABC 为锐角三角形，所以 0所以 tanC> 33 ，所以 a=12+ 32tanC∈12,2 .

【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用.
(1)若选①，正弦定理边化角得 3sinBsinA=sinA(1+csB) ，根据角A的范围及辅助角公式，即可得答案.
若选②，正弦定理边化角得 sinAsinB= 3sinBcsBcsC+ 3sinCcs2B ，根据两角和的正弦公式，化简整理，即可得答案.
若选③，正弦定理角化边可得 a2+c2−b2=ac ，根据余弦定理，即可得答案.
(2)根据正弦定理，可得 a=csinAsinC ，根据题干条件，代入化简整理 a=12+ 32tanC ，根据锐角三角形，可得角C的范围，即可得答案.
24.【答案】解：(1)因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD，
因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩ 平面ABCD=AD，CD⊂ 平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
又AE⊂ 平面PAD，所以CD⊥AE.
又因为PA=PD=AD，且E为中点，所以AE⊥PD，
又因为PD∩ CD=D，所以AE⊥平面PDC；
(2)如图分别取AB､CD的三等分点F､G，
结合题意可得：EG//PC，FG//BC.
又因为PC⊂ 平面PBC，EG⊄ 平面PBC，所以 EG// 平面PBC，同理 FG// 平面PBC.
因为EG⊂ 平面EFG，FG⊂ 平面EFG，平面 EG∩FG=G，
所以平面 EFG// 平面PBC，又因为EF⊂ 平面EFG，所以 EF// 平面PBC，
此时F为AB靠近点В的三等分点，
所以 V F−PBC=V P−FBC=13VP−ADC=13VC−PAD=13×13S△PAD⋅CD=19×9 34×3=3 34.

【解析】本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，线面平行的判定，棱锥体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.
(1)根据面面垂直的性质，结合正方形的性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；
(2)根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，结合面面平行的性质、三棱锥的体积公式进行求解即可.
质量指标值分组
75,85
85,95
95,105
105,115
115,125
频数
6
26
38
22
8
质量指标值分组
75,85
85,95
95,105
105,115
115,125
频数
6
26
38
22
8
频率/组距
0.006
0.026
0.038
0.022
0.008