2022-2023学年广西来宾市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年广西来宾市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a，b∈R，(a+3i)+(2−i)=5+bi，则ab=( )
A. −4B. 7C. −8D. 6
2.在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，则|AB+AD+AC|等于( )
A. 2 5B. 2 3C. 3D. 4
3.下列命题正确的是( )
A. 棱柱的底面一定是平行四边形B. 棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
C. 棱锥的底面一定是三角形D. 棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
4.若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A. 直线a必垂直于平面βB. 直线b必垂直于平面α
C. 直线a不一定垂直于平面βD. 过a的平面与过b的平面垂直
5.已知正方形OABC的边长为2，它的水平放置的一个平面图形的直观图为O′A′B′C′(O′A′在O′x′轴上)，则图形O′A′B′C′的面积是( )
A. 4B. 2C. 2D. 1
6.若高校从五位优秀大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中挑选三人执行“援藏”工作，这五人被选中的机会均等，则甲或乙被选中的概率为( )
A. 23B. 25C. 35D. 910
7.某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民每天的健身运动时间(健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标)，所得数据都在区间[5,40](单位：分钟)中，其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的70百分位数是( )
A. 29分钟B. 27分钟C. 29.5分钟D. 30.5分钟
8.已知三棱锥A−BCD是球的内接三棱倠，其中△ABC是等腰直角三角形，AD⊥平面ABC，AD=4，AB=AC= 6，则该球的表面积为( )
A. 28πB. 24πC. 16πD. 32 3π
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题正确的是( )
A. 三点确定一个平面B. 一条直线和直线外一点确定一个平面
C. 圆心和圆上两点可确定一个平面D. 梯形可确定一个平面
10.正方形ABCD中，AB=2，E为BC中点.则下列说法正确的是( )
A. AB⋅DE=4B. AB+BC=4
C. DE=AB−12BCD. ED在BC方向上的投影为1
11.下列说法正确的是( )
A. 抛掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”
B. 若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1.则甲组数提比乙组数据稳定
C. 一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数是3，众数是5
D. 为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式
12.已知数据甲：x1，x2…，xn的均值为x甲−，标准差为S甲，中位数为T甲，极差为R甲，数据乙：3x1−1，3x2−1，…，3xn−1的均值为x乙−，标准差为S乙，中位数为T乙，极差为R乙，则下列关系中正确的是( )
A. x甲−=3x乙−B. S甲=3S乙C. T甲=3T乙D. R甲=3R乙
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算复数3+i1−i=______.
14.甲、乙两名优秀大学毕业生准备应聘某世界五百强企业，甲通过面试的概率是34，乙通过面试的概率是23，且甲、乙是否通过面试是相互独立的.那么这两名大学生至少有一名通过面试的概率为______.
15.△ABC中，D为BC中点，AE=2EB，AD=λAB+μCE，则λ+μ=______.
16.已知O为△ABC外接圆的圆心，D为BC边的中点，且BC=4，AO⋅AD=6，则△ABC面积的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a,b满足a=( 3,1)，(a−2b)⋅(a+2b)=−12，a⋅b=2.
(1)求向量a与b的夹角的大小：
(2)求|2a+b|的值.
18.(本小题12分)
某高中学校为了了解生源学校对本校的评价，从招生片区的所有生源学校中随机抽取了100个老师对学校进行评价，包括学校领导满意度、环境满意度、服务志度、教学水平等方面进行调查，并把调查结果转化为老师的评价指数x，得到了如表的频率分布表：
(1)画出这100个老师评价指数的频率分布直方图；
(2)考评价指数在[80,100)则表示对学校“非常满意”，现从评价指数在[60,100)的老师中按照分层抽样的方式抽取6名教师，从这6人中任选2人，求恰有1人“非常满意”的概率.
19.(本小题12分)
在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且m=(csA,−sinA)，n=(csC,sinC)，且m⋅n=−13.
(1)求csB的值；
(2)若c=2，△ABC的面积为2 2，求边b.
20.(本小题12分)
如图，正四棱锥P−ABCD的高PO=4，AB=6，AC交BD于O，E为侧棱PC的中点.
(1)求证：PA//平面OBE；
(2)求O到平面EBC的距离.
21.(本小题12分)
2023年全国第一届学生(青年)运动会(简称学青会)将在广西南宁举办，某中学欲在两名优秀学生中挑选一名参加志愿者服务活动(翻译)，他们的5次口语测试成绩如表：
请运用所学统计知识挑选一名合适的学生参加运动会的志愿者活动(说明理由).
22.(本小题12分)
如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是BD1和AD的中点.
(1)求证：CD1⊥EF；
(2)求直线CD1与平面BEF所成角的正弦值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为(a+3i)+(2−i)=5+bi，即(a+2)+2i=5+bi，
所以a+2=5b=2，解得a=3b=2，所以ab=6.
故选：D.
根据复数相等列出方程组，解出a，b再计算即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：在矩形ABCD中，由AB=2，BC=1可得AC= 5，
又因为AB+AD=AC，
故AB+AD+AC=2AC，
故|AB+AD+AC|=2 5.
故选：A.
根据向量的加法运算法化简AB+AD+AC=2AC，根据矩形的特征可求对角线AC的长度，进而可求模长．
本题考查了向量的线性运算、向量的模，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了棱柱、棱锥的结构特征与应用问题，是基础题．
根据题意，对选项中的命题分析判断真假性即可．
【解答】
解：对于A，棱柱的底面不一定是平行四边形，也可以是三角形或六边形等，所以A错误；
对于B，棱锥被平面分成的两部分也可能都是棱锥，如过棱锥顶点的平面与底面相交把棱锥分成的两部分，所以B错误；
对于C，棱锥的底面不一定是三角形，也可以是四边形或其他平面图形，所以C错误；
对于D，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱，如用平行于底面的平面截棱柱分成的两部分，所以D正确．
故选：D.
4.【答案】C
【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABCD⊥面AA1DD1，
①，AA1⊂平面ABCD，AB⊂面AA1DD1，AA1⊥AB，AA1⊥平面ABCD；
②DA1⊂平面ABCD，DC⊂面AA1DD1，DA1⊥DC，DA1不垂直平面ABCD.
故选：C.
借助正方体判定．
本题考查了空间线线，线面、面面位置关系，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，平行四边形O′A′B′C′的底边长为2，另一边长为1，夹角为45∘，
所以图形O′A′B′C′的面积为S=O′A′×O′C′×sin45∘=2×1× 22= 2.
故选：C.
根据题意，由斜二测画法分析直观图为平行四边形，求出其相邻边长，计算可得答案．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：所有的基本事件可列举为：
(甲乙丙)，(甲乙丁)，(甲乙戊)，(甲丙丁)，
(甲丙戊)，(甲丁戊)，(乙丙丁)，(乙丙戊)，
(丙丁戊)，(乙丁戊)共10个，
甲乙都未被录用的事件为1个，
故甲或乙被录用的概率为1−110=910.
故选：D.
列举出所有的基本事件，再根据对立事件求出满足条件的概率即可．
本题考查了古典概型问题，考查对立事件，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：健身运动时间在30分钟以下的比例为(0.01+0.01+0.04+0.06+0.05)×5=0.85=85%，
在25分钟以下的比例为85%−0.05×5=60%，因此70百分位数一定位于[25,30)内，
由25+5×0.7−−0.6=27，可以估计健身运动时间的样本数据的70百分位数是27分钟．
故选：B.
首先分析可得70百分位数一定位于[25,30)内，再根据百分位数计算规则计算可得．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为AD⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以AD⊥AB，AD⊥AC，
又因为△ABC是等腰直角三角形，AB=AC= 6，所以AB⊥AC，
所以可将三棱锥A−BCD补成长方体，
如图：
，
则三棱锥A−BCD的外接球就是长方体的外接球，
长方体外接球的直径等于长方体的对角线，
即2R= AD2+AB2+AC2= 16+6+6= 28⇒4R2=28，
所以外接球的表面积为4R2π=28π，
故选：A.
先证明AD⊥AB，AD⊥AC，AB⊥AC，再将三棱锥A−BCD补成长方体，利用三棱锥A−BCD的外接球就是长方体的外接球求解即可．
本题考查三棱锥的外接球表面积的计算，关键是构造长方体模型进行计算，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，不共线的三点确定一个平面，所以选项A错误；
对于B，一条直线和直线外一点确定一个平面，所以选项B正确；
对于C，如果圆上两点和圆心共线，则不能确定一个平面，所以选项C错误；
对于D，梯形上下底是两平行直线，可以确定一个平面，所以选项D正确．
故选：BD.
根据题意，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可．
本题考查了确定平面的条件应用问题，是基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：由题意E为BC中点，以A为原点，AB，AD分别为x轴，
y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
则A(0,0)，B(2,0)，A(2,2)，D(0,2)，E(2,1)，
所以AB=(2,0)，DE=(2,−1)，BC=(0,2)
对于选项A，AB⋅DE=2×2+0×(−1)=4，
所以选项A正确；
对于选项B，AB+BC=(2,1)≠4，
所以选项B错误；
对于选项C，因为DE=DC+CE=AB−12BC，
所以选项C正确；
对于选项D，ED在BC方向上的投影为12BC=1，
所以选项D正确．
故选：ACD.
以A为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标再逐项求解判断．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了向量投影的运算，属中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A错误；
对于B，因为方差越小越稳定，故B正确；
对于C，数据1、2、5、5、5、3、3按从小到大排列后为1、2、3、3、5、5、5，则其中位数为3，众数为5，故C正确；
对于D，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故D错误．
故选：BC.
对于A根据随机事件的定义即可求解；对于B根据方差的性质及作用即可求解；对于C根据中位数和众数的定义即可求解；对于D抽样调查和全面调查的定义即可求解；
本题考查了随机事件的概率性质、方差的性质、抽样调查、中位数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12.【答案】BD
【解析】解：3x1−1，3x2−1，…，3xn−1的均值为3x−甲−1，故A错误，
3x1−1，3x2−1，…，3xn−1的标准差为 9S甲2=3S甲，故B正确；
3x1−1，3x2−1，…，3xn−1的中位数为3T甲−1，故C错误；
3x1−1，3x2−1，…，3xn−1的极差为3R乙，故D正确．
故选：BD.
根据已知条件，结合平均数、方差的线性公式，以及中位数、极差的定义，即可求解．
本题主要考查平均数、方差的线性公式，以及中位数、极差的定义，属于基础题．
13.【答案】1+2i
【解析】解：复数3+i1−i=(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+4i2=1+2i
故答案为：1+2i.
复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi(a,b∈R)的形式．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
14.【答案】1112
【解析】解：∵甲乙两射手的射击相互独立，
甲乙两射手同时瞄准一个目标射击且目标被射中的对立事件是：
甲乙二人都没有射中目标，
∴目标被射中的概率为P=1−(1−34)(1−23)=1112.
故答案为：1112.
根据相互独立事件的概率和对立事件的概率之和等于1即可求解．
本题考查了相互独立事件的概率和对立事件的概率，是基础题．
15.【答案】13
【解析】解：∵D为BC中点，AE=2EB，
∴AD=12(AB+AC)=12AB+12(AE−CE)
=12AB+12(23AB−CE)=56AB−12CE，
∵AD=λAB+μCE，
∴λ=56,μ=−12，
∴λ+μ=56−12=13，
故答案为：13
由向量的线性运算结合已知条件即可得出结果．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题．
16.【答案】4 2
【解析】解：∵O为△ABC外接圆的圆心，D为BC边的中点，
∴AO⋅AD=AO⋅12(AB+AC)=12AO⋅AB+12AO⋅AC=14AB2+14AC2=6，
∴AB2+AC2=24，
∵BC=4，由余弦定理得16=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅csA，
∴AB⋅AC⋅csA=4，∴csA=4AB⋅AC，∴sinA= 1−16AB2⋅AC2，
∴S△ABC=12AB⋅AC⋅sinA=12AB⋅AC⋅ 1−16AB2⋅AC2=12 AB2⋅AC2−16，
∵24=AB2+AC2≥2AB⋅AC，∴AB⋅AC≤12，当且仅当AB=AC=2 3时取等号，
∴△ABC面积的最大值为12 144−16=4 2，
故答案为：4 2.
利用向量的数量积运算得到AB2+AC2=24，再利用余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式求最值即可．
本题考查了向量的数量积运算，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式求最值，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由a=( 3,1)得|a|=2，
由(a+2b)⋅(a−2b)=|a|2−4|b|2=−12，得|b|=2，
设向量a与b的夹角为θ，
由a⋅b=|a|⋅|b|csθ=2，得csθ=12，
因为θ∈[0,π]，所以θ=π3，
即向量a与b的夹角的大小为π3.
(2)|2a+b|= (2a+b)2= 4|a|2+4a⋅b+|b|2=2 7.
【解析】(1)由(a−2b)⋅(a+2b)=−12，利用数量积的运算律，结合平面向量的夹角公式求解；
(2)利用模公式求解．
本题考查平面向量的夹角与数量积，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题中数据可得，
所以频率分布直方图如下，
(2)由分层抽样知，[60,80)抽取4人，[80,100)抽取2人，
标记这6人为：[60,80)的4人为A，B，C，D，[80,100)的2人为E，F，
基本事件有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)，共15个，
记：“恰有1人”非常满意“”为事件A，包含的基本事件有：(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)，共8个，
则P(A)=815.
【解析】(1)先列出频率分布表，再画出频率分布直方图；
(2)先由分层抽样抽出6人，再由古典概型求概率．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意知，m⋅n=csAcsC−sinAsinC=cs(A+C)=−csB=−13，
所以csB=13.
(2)由(1)知csB=13，
因为B∈(0,π)，
所以sinB= 1−cs2B=2 23，
又△ABC的面积为2 2，
所以12acsinB=2 2，即12a×2×2 23=2 2，解得a=3，
由余弦定理知，b2=a2+c2−2accsB=32+22−2×3×2×13=9，
解得b=3.
【解析】(1)结合平面向量数量积的坐标运算法则与两角和的余弦公式，对m⋅n=−13进行运算，即可；
(2)先由三角形面积公式，求得a的值，再利用余弦定理，即可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理，三角形面积公式，平面向量数量积的坐标运算，两角和的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，AC∩BD=O，
则O为AC的中点，因为E为PC的中点，则OE//PA，
又因为PA⊄平面OBE，OE⊂平面OBE，
所以，PA//平面OBE.
(2)在正四棱锥P−ABCD中，O为底面ABCD的中心，
则PO⊥底面ABCD，
因为E为PC的中点，则点E到平面ABCD的距离为h=12PO=2，
S△OBC=14×6×6=9，
因此VE−OBC=13S△OBC=13×9×2=6，
因为AB=BC=6，
依题意PB=PC= 34，
所以△PBC中BC边上的高为5.
S△BCE=12S△PBC=14×6×5=152，
设O到面BCE的距离为d，
由VE−OBC=VO−BEC得：d=3×6152=125.
【解析】(1)根据线面平行的判定定理证明即可；
(2)根据等体积法转化求O到平面EBC的距离即可；
本题考查线面平行以及点到平面的距离相关知识，属于中档题．
21.【答案】解：x甲−=72+85+86+90+925=85，x乙−=76+83+85+87+945=85，
S甲2=(72−85)2+(85−85)2+(86−85)2+(90−85)2+(92−85)25=48.8，
S乙2=(76−85)2+(83−85)2+(85−85)2+(87−85)2+(94−85)25=34，
∵x甲−=x乙−，s甲2>s乙2，
∴两个人平均水平一样，但是乙更稳定，应该选择乙比较合理．
【解析】由平均数和方差公式求解即可得出答案．
本题主要考查了平均数和方差的计算，属于基础题．
22.【答案】解：(1)证明：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
取CD1的中点G，连接EG、DG，如图所示：
∵E是BD1的中点，
∴EG//BC，EG=12BC，
∵F是AD的中点，且AD//BC，AD=BC，
∴DF//BC，DF=12BC，
∴EG//DF，EG=DF，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF//DG，
∵正方体ABCD−A1B1C1D1，G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，
∴CD1⊥EF；
(2)设C到平面BEF(即平面BFD1)的距离为d，直线CD1与平面BEF所成角为θ，
不妨设正方体棱长为2，则EF=DG= 2，
由(1)得DG⊥CD1，根据棱柱的结构特征可得BC⊥平面CDD1C1，
∵DG⊂平面CDD1C1，
∴BC⊥DG，
又CD1，BC⊂平面BCD1，CD1∩BC=C，
则DG⊥平面BCD1，
∵EF//DG，
∴EF⊥平面BCD1，
∴VC−BFD1=VF−BCD1，即13S△BFD1⋅d=13S△BCD1⋅EF，
∴d=2×2 2× 22 3× 2=2 63，
∴直线CD1与平面BEF所成角的正弦值为sinθ=dCD1=2 632 2= 33.
【解析】(1)取CD1的中点G，连接EG、DG，由题意得EF//DG，又G为CD1的中点，则DG⊥CD1，即可证明结论；
(2)设C到平面BEF(即平面BFD1)的距离为d，直线CD1与平面BEF所成角为θ，由线面垂直的判定定理可证得EF⊥平面BCD1，即VC−BFD1=VF−BCD1，利用等体积法求出d，再由sinθ=dCD1，即可得出答案．
本题考查直线与平面垂直和直线与平面的角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．评价指数x
[0,20)
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100)
频数
10
10
20
40
20
序号
1
2
3
4
5
甲
72
85
86
90
92
乙
76
83
85
87
94
评价指数x
[0,20)
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100)
频数
10
10
20
40
20
频率
0.1
0.1
0.2
0.4
0.2
频率/组距
0.005
0.005
0.01
0.02
0.01