2022-2023学年广西玉林市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年广西玉林市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2+i1−i=( )
A. 12+32iB. −12+32iC. 12−32iD. −12−32i
2.在以下调查中，适合用全面调查的是( )
A. 调查一个县各村的粮食播种面积B. 调查一批玉米种子的发芽率
C. 调查一批炮弹的杀伤半径D. 调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例．
3.若四边形ABCD满足AB+CD=0，(AB−AD)⋅AC=0，则该四边形一定是( )
A. 直角梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
4.如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点P距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得P的仰角为30∘，∠ABO=120∘，∠BAO=30∘，AB=60(单位：m)，(点A，B，O在同一水平地面上)，则大跳台最高高度OP=( )
A. 45mB. 45 2mC. 60mD. 60 3m
5.用斜二测画法作出△ABC的水平放置的直观图△A′B′C′如图所示，其中A′C′= 3,A′B′=1，则△ABC绕AC所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为( )
A. 53π
B. 2π
C. 3π
D. ( 13+1)π
6.一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，无放回的随机选取两张标签，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
7.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则以下命题正确的是( )
A. 若m//n，m//α，n//β，则α//βB. 若m⊥n，m⊥α，则n//α
C. 若m//α，m⊥n，则n⊥αD. 若m⊥α，m//β，则α⊥β
8.如图，在△ABC中，∠BAC=π3,AD=23AB,P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若|AC|=2,|AB|=5，则|AP|的值为( )
A. 314B. 132C. 312D. 134
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.沙糖桔网店2022年全年的月收支数据如图所示，则针对2022年这一年的收支情况，下列说法中正确的是( )
A. 月收入的最大值为90万元，最小值为30万元
B. 这一年的总利润超过400
C. 这12个月利润的中位数与众数均为30
D. 11月份的利润最大
10.已知a,b是单位向量，且a+b=(−1,1)，则( )
A. a与b垂直
B. |a+b|=2
C. a与a−b的夹角为3π4
D. a在a+b上投影向量的坐标为(−12,12)
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是( )
A. 若A=30∘，b=5，a=2，则△ABC有2个解
B. 若A>B，则sinA>sinB
C. 若acsB−bcsA=c，则△ABC为直角三角形
D. 若△ABC为锐角三角形，且B=π6，则csA+sinC的取值范围为( 32,32)
12.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )
A. 点A1与点G到平面AEF的距离相等
B. 直线AF与平面CDD1C1所成角的正弦值为 53
C. 二面角F−AE−C的余弦值为23
D. 平面AEF截正方体所得的截面面积为92
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.设∠A与∠B的两边分别平行，若∠A=60∘，则∠B=______.
14.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒，内有谷二十八颗．今欲知米内杂谷多少．”意思是：官府开仓接受百姓纳粮，甲户交米1534石到廊前，检验出米里夹杂着谷子，于是从米样粒取出一捻，数出共254粒，其中有谷子28颗，则这批米内有谷子约______石(结果四舍五入保留整数).
15.若复数Z1=2+3i，Z2=3−2i(其中i为虚数单位)在复平面内所对应的向量分别为OZ1和OZ2，则△OZ1Z2的面积为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：
(1)2人中恰有1个人译出密码的概率；
(2)2人中至少有1人译出密码的概率.
17.(本小题12分)
已知复数z=m2+m−2+(2m2−m−1)i，其中m∈R，i为虚数单位.
(1)当实数m取何值时，复数z是纯虚数；
(2)若复数z在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
18.(本小题12分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中AB=1，M为DD1的中点，
(1)求三棱锥M−ABC的体积；
(2)若N为CC1的中点，求证：平面AMC//平面BND1.
19.(本小题12分)
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=2 3,(a+c)2−b2=ac，
(1)求角B的大小；
(2)若AD是∠BAC的内角平分线，当△ABC面积最大时，求AD的长.
20.(本小题12分)
某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的300名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数xi(i=1,2,⋯,300)全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：[45,55),[55,65),⋯,[85,95],整理得到如下频率分布直方图(同组数据以这组数据的中间值作为代表).
(1)求m的值，并估计此次校内测试分数的平均值x−；
(2)学校要求按照分数从高到低选拔前30名的学生进行培训，试估计这30名学生的最低分数；
(3)试估计这300名学生的分数xi(i=1,2,⋯,300)的方差s2，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了[x−−2s,x−+2s]范围内？
(参考公式：s2=1ni=1nfi(xi−x−)2，其中fi为各组频数；参考数据： 129≈11.4)
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，△PAD是正三角形，E为线段AD的中点，点F为棱PC上的动点．
(1)求证：平面PBC⊥平面PBE；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD.
①当点F恰为PC中点时，求异面直线PD与BF所成角的余弦值；
②在平面PBE内确定一点H，使CH+FH的值最小，并求此时BHBP的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i2=12+32i.
故选：A.
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式，
对于A，调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查；
对于B，调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，且具有破坏性，不适合全面调查；
对于C，调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，可以使用抽样调查；
对于D，查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例．，调查数目较多，不适合全面调查．
故选：A.
根据全面调查的定义可得出合适的选项．
本题考查全面调查的定义、性质等基础知识，考查基本概念，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
首先根据AB+CD=0判断出四边形为平行四边形，然后根据(AB−AD)⋅AC=0证明四边形对角线互相垂直，最后综合以上结论得出四边形为菱形．
本题考查平面向量与共线向量，以及向量内积判断两个向量的垂直关系，需要通过对向量间的关系转化为线段间的关系，然后即可判断四边形的形状．属于基础题．
【解答】
解：AB+CD=0⇒AB=−CD⇒
四边形ABCD为平行四边形，
(AB−AD)⋅AC=DB⋅AC=0⇒DB⊥AC
对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
故选：C.
4.【答案】C
【解析】解：在△ABO中，∠ABO=120∘，∠BAO=30∘，AB=60，可得∠AOB=30∘，
由正弦定理ABsin∠AOB=OAsin∠ABO，即6012=OA 32，
可得OA=60 3，
由题意OP⊥面OAB，可得OP⊥OA，
∠PAO=30∘，
所以OP=OA⋅tan∠PAO=60 3⋅ 33=60，
故选：C.
在△ABO中，由余弦定理可得OA的值，在△APO中，由角∠PAO正切值可得OP的值．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，直观图△A′B′C′中A′C′= 3,A′B′=1，
由此还原△A′B′C′的原图△ABC，
其中AB=A′B′=1,AC=2 3，则BC= AB2+AC2= 13，如图：
△ABC绕AC所在直线旋转一周后所形成的几何体为圆锥，
该圆锥的底面半径为1，母线长为 13，
所以圆锥的表面积S=π×1× 13+π×12=( 13+1)π.
故选：D.
根据题意，由直观图作出原图△ABC，分析可得△ABC绕AC所在直线旋转一周后所形成的几何体为圆锥，由圆锥的表面积公式计算可得答案．
本题考查圆锥的表面积计算，涉及斜二测画法，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意得：总的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10件．
其中两张标签上的数字为相邻整数的事件为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)共4件．
所以两张标签上的数字为相邻整数的概率是410=25.
故选：B.
由题意得：总的基本事件的总数是共10件，其中两张标签上的数字为相邻整数的事件为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)共4件．
解决此类问题的关键是找出基本事件总数与符合条件的事件总数，利用概率公式可以得到答案．
7.【答案】D
【解析】解：若m//n，m//α，n//β，则α//β或α与β相交，故A错误；
若m⊥n，m⊥α，则n⊂α或n//α，故B错误；
若m//α，m⊥n，则n⊂α或n//α或n与α相交，相交也不一定垂直，故C错误；
若m//β，则β内存在直线n，使m//n，又m⊥α，则n⊥α，可得α⊥β，故D正确．
故选：D.
由平行于同一直线的两平面的位置关系判定A；由直线与直线垂直、直线与平面垂直分析线面关系判定B；由直线与平面平行、直线与直线垂直分析线面关系判定C；由直线与平面平行的性质及面面垂直的判定判断D.
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵AD=23AB且AP=mAC+12AB，
∴AB=32AD，则AP=mAC+34AD，
又∵P、C、D三点共线，
则m+34=1，即m=14，
又|AC|=2,|AB|=5，
则|AP|2=116AC2+14AC⋅AB+14AB2=116×4+14×2×5×12+14×25=314，
则|AP|的值为 312.
故选：C.
由平面向量的线性运算和平面向量基本定理可求出m，再由求模公式直接计算即可．
本题考查平面向量的线性运算和模，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：由图可知，月收入的最大值为90万元，最小值为30万元，故A正确；
由图可知，1−12月份的利润表，
故1−12月份的总利润为20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=3801，此时△ABC无解，即选项A错误；
对于选项B，∵A>B，∴a>b，
由正弦定理得，asinA=bsinB，∴sinA>sinB，即选项B正确；
对于选项C，由正弦定理及acsB−bcsA=c，知sinAcsB−sinBcsA=sinC，
所以sinAcsB−sinBcsA=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
整理得csAsinB=0，
又0