2022-2023学年贵州省贵阳市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年贵州省贵阳市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.i为虚数单位，i3=( )
A. −iB. iC. −1D. 1
2.平面直角坐标系中，已知A(1,1)，B(−1,0)，C(0,1)，则AB+AC=( )
A. (−1,1)B. (−3,−1)C. (3,−1)D. (0,2)
3.已知事件A，B互斥，若P(A)=15，P(A∪B)=815.则P(B)=( )
A. 13B. 23C. 715D. 815
4.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若m⊥n，n//α，则m⊥αB. 若m//n，n⊥α，则m⊥α
C. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若m⊥α，α⊥β，则m⊥β
5.已知直角三角形三边长分别为3，4，5，以其中一条边所在直线为轴旋转一周后得到一个几何体，则该几何体的最大体积为( )
A. 485πB. 12πC. 16πD. 32π
6.从正五边形的5个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是锐角三角形的概率为( )
A. 15B. 13C. 12D. 25
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a= 3，b=3，B=2A，则c=( )
A. 32B. 3C. 3D. 2 3
8.利用向量方法研究函数f(x)=asinx+bcsx(x∈R,a,b不同时为0)，过程如下：
设m=(b,a)，n=(csx,sinx)
则f(x)=m⋅n=|m||n|cs⟨m,n⟩= a2+b2cs⟨m,n⟩.
所以当m与n方向相同时，f(x)取到最大值 a2+b2
当m与n方向相反时，f(x)取到最小值− a2+b2；
根据以上研究，下列关于函数g(x)=3sinx+4csx的结论正确的是( )
A. 最大值为5，取到最大值时tanx=34B. 最大值为5，取到最大值时tanx=43
C. 最大值为 5，取到最大值时tanx=34D. 最大值为 5，取到最大值时tanx=43
二、多选题：本题共2小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z的共轭复数为z−，则下列说法正确的是( )
A. z+z−一定是实数B. z⋅z−一定是实数
C. z−z−一定是纯虚数D. z2=|z|2
10.底面为平行四边形的四棱柱称为平行六面体，连接平行六面体不在同一面上两个顶点的线段称为平行六面体的体对角线.以下关于平行六面体的命题，正确的是( )
A. 平行六面体的4条体对角线交于一点且互相平分
B. 平行六面体的8个顶点在同一球面上
C. 平行六面体的4条体对角线长的平方和等于所有棱长的平方和
D. 各棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60∘，则体对角线AC1的长为 6
三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知平面向量a，b满足|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为60∘，则a⋅b=______.
12.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是______.
13.一个圆台的上、下底面圆周在同一球面上，已知圆台上、下底面的半径分别为3cm和4cm，球的表面积为100πcm2，则该圆台的高为______cm.
14.某校采用比例分配分层随机抽样采集了高一年级学生的身高情况，部分统计数据如表：
则估计该校高一年级的全体学生的身高平均数为______，方差为______.
(注：由人教版高中数学必修第二册习题9.2拓广探索可知以下结论：
已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x−，s12；n，y−，s22.记总的样本平均数为ω−，样本方差为s2，则s2=1m+n{m[s12+(x−−ω−)2]+n[s22+(y−−ω−)2]})
15.魏晋时期的刘徽在其所撰《海岛算经》中，运用二次测望法解决实际测量问题，是世界测量学上取得的伟大成就.某数学学习小组受《海岛算经》中“望山松”一题的启发，进行了如下测量实践活动：
如图，为测量山顶松树的高AB，在山底C所在水平面内，选择D、E两点，使C、D、E三点在同一直线上，在D点测得A点和B点的仰角分别为60∘、45∘，在E点测得A点的仰角为30∘，测得基线DE的长为100米.由以上测量数据可得出：
①松树的高AB=______米(精确到0.1)；
②∠ADB和∠AEB分别是人在D点和E点观测松树的视角，其大小关系为：∠ADB______∠AEB(填“>”，“r2，
由正弦定理得ABsin∠AEB=2r1,ABsin∠ADB=2r2，
所以ABsin∠AEB>ABsin∠ADB，所以sin∠ADB>sin∠AEB，
因为∠ADB，∠AEB都为锐角，所以∠ADB>∠AEB.
故答案为：36.6，>
由题意可得∠DEA=DAE=30∘，则可得AD=DE=100，然后求出AC，BC可求得AB的值，由图可知△ABE的外接圆大于△ABD，然后分别在两个三角形中利用正弦定理比较即可．
本题考查了正弦定理的实际应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由题意，E，F，G分别是AB，AD，BC边的中点，
则法一：
EF=EA+AF=−12a+12b，
EG=EB+BG=12a+12b；
法二：
EF=AF−AE=12b−12a，
EG=BG−BE=12b−(−12a)=12a+12b；
(2)若EF⊥EG，则EF⋅EG=0，
所以(−12a+12b)⋅(12a+12b)=14b2−14a2=0，
所以|a|2=|b|2，
所以|a||b|=1.
【解析】(1)由题设知E，F，G分别是对应边的中点，由平面向量的线性运算可用a，b表示EF，EG；
(2)若EF⊥EG，则有EF⋅EG=0，根据此关系式即可求解．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属基础题．
17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，10×(0.010+0.015+0.015+m+0.025+0.005)=1，
解得m=0.030；
(2)因为0.1+0.15+0.15=0.40.5，
所以中位数在第4组，设中位数为n，
则0.1+0.15+0.15+0.03(n−70)=0.5，
解得n≈73.33，
所以可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为73.33；
(3)由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品有60个，二等品有40个，
所抽取的5个口罩中一等品有5×60100=3个，二等品有5−3=2个．
【解析】(1)利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，即可求出m的值；
(2)根据中位数的定义求解；
(3)根据分层抽样的定义求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数的计算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为bcsA=( 2c−a)csB，
所以bcsA+acsB= 2ccsB，
由正弦定理可得sinBcsA+sinAcsB= 2sinCcsB，
即sin(A+B)= 2sinCcsB，
可得sinC= 2sinCcsB，
因为在△ABC中，sinC≠0，
所以csB= 22，
因为B∈(0,π)，
所以B=π4.
(2)因为B=π4，a=4，b=3，
所以由正弦定理有4sinA=3 22，
则sinA=2 23，
则csA=13或−13，
若csA=13，则csC=−cs(A+B)=−( 22×13− 22×2 23)>0，
此时△ABC为锐角三角形，不满足条件，
若csA=−13，此时△ABC为钝角三角形，
则sinC=sin(A+B)=( 22×(−13)+ 22×2 23)=4− 26，
可得S△ABC=12absinC=4− 2.
【解析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得csB= 22，结合B∈(0,π)，可求B的值．
(2)由正弦定理可求sinA的值，利用同角三角函数基本关系式可求csA的值，利用两角和的余弦公式可求csC的值，可求sinC的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：因为AD=CD，E为AC的中点，
所以AC⊥DE，
在△ABD和△CBD中，
AD=CD∠ADB=∠CDBDB=DB，
所以△ABD≌△CBD，
所以AB=CB，
又E为AC的中点，
所以AC⊥BE，
又DE，BE⊂平面BDE，DE∩BE=E，
所以AC⊥平面BDE，
又AC⊂平面FAC，
所以平面FAC⊥平面BDE.
(2)连接EF，
因为∠AFC是二面角A−DB−C的平面角，
所以AF⊥BD，CF⊥BD，
又AF，CF⊂平面AFC，AF∩CF=F，
所以BD⊥平面AFC，
因为EF⊂平面AFC，
所以BD⊥EF，
因为AD⊥CD，AD=CD，DE=1，
所以AC=2，
又由(1)知AC⊥平面BDE，
所以四面体A−BCD的体积VA−BCD=13×S△DBE×AC，
又因为四面体A−BCD的体积为 33，
所以 33=13×(12×1×BE)×2，
解得BE= 3，
因为S△BDE=12DE⋅BE=12BD⋅EF，
即DE⋅BE=BD⋅EF，1× 3= 12+( 3)2EF，
所以EF= 32，
又AC⊥平面BED，
所以AC⊥EF，
所以S△AFC=12AC⋅EF=12×2× 32= 32.
【解析】(1)由AD=CD，E为AC的中点，得AC⊥DE，可证明△ABD≌△CBD，则AB=CB，又E为AC的中点，即AC⊥BE，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE，进而可得答案．
(2)连接EF，由∠AFC是二面角A−DB−C的平面角，可得AF⊥BD，CF⊥BD，进而可得BD⊥平面AFC，则BD⊥EF，推出AC=2，四面体A−BCD的体积VA−BCD=13×S△DBE×AC，解得BE，由等面积法可得EF，又AC⊥平面BED，则AC⊥EF，进而可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)若选择①：证明：
由秦九韶公式证明海伦公式：
S△ABC= 14[a2c2−(c2+a2−b22)2]
= 14(ac+c2+a2−b22)(ac−c2+a2−b22)
= 14((a+c)2−b22)(b2−(a−c)22)
= a+b+c2⋅a+c−b2⋅b+a−c2⋅b+c−a2
设p=12(a+b+c)，
所以S△ABC= a+b+c2(a+b+c2−b)(a+b+c2−c)(a+b+c2−a)
= p(p−a)(p−b)(p−c)，
上述每一步均为等价变形，所以秦九韶公式与海伦公式是等价的．
若选择②：
因为p=12(a+b+c+d)，且MN=2，NP=4，PQ=5，QM=3，
所以p=12(2+4+5+3)=7，
所以S= (p−a)(p−b)(p−c)(p−d)−abcdcs2θ= 120−abcdcs2θ，
因为四边形MNPQ是圆内接四边形，对角和为180∘，
所以θ=90∘，代入可得S=2 30.
(2)设内切圆半径为r，因为S△ABC=12(a+b+c)r，
代入S△ABC=6，a=4，r=1，可得b+c=8，①，
又p=12(a+b+c)=S△ABCr=6，
由海伦公式S△ABC= p(p−a)(p−b)(p−c)，
可得6= 6(6−4)(6−b)(6−c)，
整理可得bc−6(b+c)+36=3，
代入①可得bc=15，②，
联立①②，b+c=8bc=15，
又因为b