2022-2023学年贵州省黔东南州高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年贵州省黔东南州高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设z=2+i1−i，则z的虚部为( )
A. 32B. −32C. 12D. −12
2.掷一枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的点数为奇数且小于4，则事件A发生的概率为( )
A. 14B. 23C. 12D. 13
3.下列说法正确的是( )
A. 三个点可以确定一个平面B. 两条平行直线一定能确定一个平面
C. 两条直线没有公共点则一定平行D. 若直线a不在平面α内，则a与α无交点
4.在△ABC中，点M为BC上的点，且BM=23BC，若AM=13AB+μAC，则μ是( )
A. 13B. 53C. 1D. 23
5.已知100个数据的第75百分位数是97，则下面说法正确的是( )
A. 把这100个数据从小到大排列后，97是第75个数据和第76个数据的平均数
B. 把这100个数据从小到大排列后，97是第74个数据和第75个数据的平均数
C. 把这100个数据从小到大排列后，一定有75个数小于或等于97
D. 把这100个数据从小到大排列后，97是第75个数据
6.在△ABC中，A=π3,AB=4,AC=3，则△ABC外接圆的面积为( )
A. 3πB. 11π3C. 13π3D. 4π
7.已知平面α，β和直线m，n，下列说法正确的是( )
A. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
B. 若m//α，m//β，则α//β
C. 若α//β，直线m与平面α相交，则直线m必与平面β相交
D. 若平面α内有无穷多条直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行
8.已知底面为矩形的直四棱柱高为4，体积为16，各顶点都在一个球面上，则这个球的体积的最小值是( )
A. 8 6πB. 24πC. 12πD. 92 6π
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知a=(csα,sinα),b=(csβ,sinβ)，则正确的选项是( )
A. a和b都是单位向量B. 若α=β，则a//b
C. 若a⊥b，则α=β+π2D. (a+b)⊥(a−b)
10.为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分)，绘制了如图所示的六维能力雷达图.例如，图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下列说法正确的是( )
A. 甲的逻辑推理指标值高于乙的逻辑推理指标值
B. 甲的数学建模指标值高于乙的直观想象指标值
C. 甲的数学运算指标值高于甲的直观想象指标值
D. 甲的六维能力整体水平低于乙的六维能力整体水平
11.已知函数f(x)=cs2x−sin2x，则( )
A. f(x)=cs2xB. f(x)的最小正周期为π
C. f(x)在(0,π3)上单调递减D. f(x)在(−π3,π6)上单调递增
12.已知△ABC的内角A，B，C所对的分别是a，b，c，且a=b，D是△ABC外一点，若 3(acsC+ccsA)=2bsinB，DC=1，DA=3，则下列说法正确的是( )
A. a=b= 32B. 若AB=3，则A，B，C，D四点共圆
C. △ABC是等边三角形D. 四边形ABCD面积的最大值为5 32+3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(−2,3),b=(λ+2,3)，若a⊥b，则λ=______.
14.若一个圆锥的轴截面是边长为 3的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.
15.2022年北京冬奥会期间，出现一“墩”难求的现象，现有甲、乙、丙3个好朋友商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲购买到的概率为12，乙购买到的概率为13，丙购买到的概率为14，则甲、乙、丙3人中至少有1人购买到的概率为______.
16.已知E、F、G、H分别是正方体ABCD−A1B1C1D1，边AB，CD，B1C1，A1D1的中点，则异面直线EH与GF所成角的余弦值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知a与b夹角为30∘.
(1)若向量a=(1,0)，b=(1,λ)，求λ；
(2)若|a|= 3，|b|=2，求|a+b|.
18.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，csA=−14，c=3，从①sinA=2sinB；②sinA+sinB=2sinC中选择一个作为已知条件，求：
(1)b的值；
(2)△ABC的面积.
19.(本小题12分)
东湖湿地公园是凯里市2022年的重点民生工程项目之一，自建成起很多市民到此拍照打卡，为了解市民对公园的体验感，从凯里市游客中随机抽取100名市民对该项目进行评分，根据所得数据，按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值，并计算市民评分的平均数；
(2)为进一步完善公园的建设，按分层随机抽样的方法从评分在[60,80)中抽取6人，再随机抽取其中2人进行访谈，求这2人的评分在同一组的概率.
20.(本小题12分)
如图，在三棱台ABC−DEF中，DE=2AB，DE⊥EF，CF⊥EF，G，H分别是DF，EF的中点.
(1)求证：AE//平面CGH；
(2)求证：平面AEF⊥平面BGH.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2 2csxsin(x+π4).
(1)求f(x)的最小正周期，并求f(x)在[0,π2]上的单调递增区间；
(2)现将f(x)图象向左平移π8个单位长度，再向下平移1个单位长度得到g(x)的图象，若存在x∈[−π6,π3]，使得g(x)22.(本小题12分)
如图所示，某市拟为长6km的池塘OP的一侧修建一条安全道路，道路的前一部分为曲线DBC，该曲线为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<ω<1,0<φ<π2)在x∈[0,3]的图象，道路的后一部分为折线段CMP，为保证行走安全，需要限定∠CMP=120∘.
(1)求A，ω，φ的值和CP两点间的距离；
(2)设∠MCP=θ，当θ为何值时，折线段道路CMP的距离最长.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：∵z=2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i2=12+32i，
∴z的虚部为32，
故选：A
2.【答案】D
【解析】解：掷一枚质地均匀的骰子，点数向上的结果有1，2，3，4，5，6共6种，
其中满足掷出的点数为奇数且小于4有1，3共2种，
所以事件A发生的概率为26=13.
故选：D.
根据古典概型概率公式求解即可．
本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：选项A：不共线的三个点可以确定一个平面，选项A错误；
选项B：两条平行直线一定能确定一个平面，选项B正确；
选项C：两条直线没有公共点可以平行或者异面，选项C错误；
选项D：若直线a不在平面α内，则a与α无交点或者有一个交点，选项D错误．
故选：B.
根据空间点线面关系辨析即可；
本题主要考查了平面的基本性质及推论，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为BM=23BC，
所以AM−AB=23(AC−AB)，
所以AM=23AC+13AB，
因为AM=13AB+μAC，
所以μ=13.
故选：D.
根据向量三点共线定理求解即可．
本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：这100个数据从小到大排列，100×75%=75，
第75百分位数是第75个数据和第76个数据的平均数．
故选：A.
根据百分位数定义判断即可；
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，∵A=π3,AB=4,AC=5，
∴由余弦定理得BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅csA=32+42−2×3×4×12=13，
∴BC= 13，
设△ABC外接圆的半径为R，
由正弦定理得BCsinA=2R，
∴R=BC2sinA= 132× 32= 393
∴△ABC外接圆的面积为πR2=13π3.
故选：C.
根据余弦定理求得BC= 13，再根据正弦定理求得外接圆的半径R= 393，即可求解．
本题主要考查了余弦定理及正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：对于A：若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，
则α//β或α与β相交，故A错误；
对于B：若m//α，m//β，
则α//β或α与β相交，故B错误；
对于C：若α//β，直线m与平面α相交，
则直线m必与平面β相交，故C正确；
对于D：若平面α内有无穷多条直线都与平面β平行，
则平面α与平面β平行或相交，故D错误．
故选：C.
根据直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可．
本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：设底面矩形的长为a(a>0)、宽为b(b>0)，外接球的半径为R，
则4ab=16，即ab=4，
又长方体的体对角线即为外接球的直径，所以(2R)2=a2+b2+42，
即4R2=a2+b2+16≥2ab+16=24，当且仅当a=b=2时取等号，
所以R≥ 6，即外接球的半径最小值为 6，
所以这个球的体积的最小值为4πR33=8 6π.
故选：A.
设底面矩形的长为a(a>0)、宽为b(b>0)，外接球的半径为R，依题意可得ab=4，且(2R)2=a2+b2+42，利用重要不等式求出R的最小值，即可求出球的体积的最小值．
本题主要考查了长方体的外接球问题，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A：|a|= cs2α+sin2α=1，|b|= cs2β+sin2β=1，
故a和b都是单位向量，故A正确；
对于B：若α=β，则a=b，所以a//b，故B正确；
对于C：若a⊥b，即a⋅b=csαcsβ+sinαsinβ=cs(α−β)=0，
所以α−β=π2+kπ，k∈Z，即α=β+π2+kπ，k∈Z，故C错误；
对于D：因为(a+b)⋅(a−b)=a2−b2=|a|2−|b|2=0，所以(a+b)⊥(a−b)，故D正确．
故选：ABD.
根据平方关系求出|a|，|b|即可判断A，根据共线向量判断B，根据向量数量积的坐标表示及两角差的余弦公式判断C，根据数量积的运算律和向量垂直的性质判断D.
本题主要考查向量垂直、共线的性质，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于选项A，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理指标值高于乙的逻辑推理指标值，故A正确；
对于选项B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故B错误；
对于选项C，甲的数学运算指标值为4，甲的直观想象指标值为5，所以甲的数学运算指标值低于甲的直观想象指标值，故C错误；
对于选项D，甲的六维能力指标值的平均值为16×(4+3+4+5+3+4)=236，乙的六维能力指标值的平均值为16×(5+4+3+5+4+3)=4，236<4，故D正确．
故选：AD.
利用雷达图对每一个选项的命题逐一分析推理得解．
本题主要考查雷达图的识别和平均数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：f(x)=cs2x−sin2x=cs2x，选项A正确；
所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，选项B正确；
根据余弦函数图像性质，x∈(0,π3),2x∈(0,2π3)⊂(0,π)(余弦函数对应的单调递减区间)，函数单调递减，选项C正确；
根据余弦函数图像性质，x∈(−π3,π6),2x∈(−2π3,π3)⊄(−π,0)(余弦函数对应的单调递增区间)，函数不单调，选项D错误；
故选：ABC.
首先根据三角函数二倍角化简，然后利用整体代入法研究函数图像即可．
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
12.【答案】CD
【解析】解：因为 3(acsC+ccsA)=2bsinB，
由正弦定理得 3(sinAcsC+sinCcsA)=2sinBsinB，
即 3sin(A+C)=2sin2B，因为sin(A+C)=sinB≠0，
所以sinB= 32，又B∈(0,π)，且a=b，所以B=π3.
所以△ABC是等边三角形，故C正确，
由于无法得到AC的值，故无法判断A；
对于B：
若AB=3，则AC=3，
在△ACD中，由余弦定理得csD=32+12−322×3×1=16，则D≠2π3，
即B+D≠π，所以A，B，C，D四点不共圆，故B错误；
对于D：
设∠ADC=α，0<α<π，
由余弦定理得AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcsα
=32+12−2×3×1×csα=10−6csα，
所以四边形ABCD面积SABCD=S△ADC+S△ABC=32sinα+ 34(10−6csα)，
即S=5 32+3(12sinα− 32csα)=5 32+3sin(α−π3)，
因为0<α<π，所以S=4πR2=12π，
所以当α−π3=π2，即α=2π3时，SABCD取得最大值5 32+3，故D正确．
故选：CD.
利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sinB，再利用a=b，可知△ABC是等边三角形，从而判断A、C；利用四点共圆，四边形对角互补，从而判断B；由余弦定理可得AC2=10−6csα，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换可求四边形ABCD的面积，由正弦函数的性质求出最值，判断D.
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】52
【解析】解：因为a⊥b，所以a⋅b=0，
所以−2(λ+2)+3×3=0,λ=52.
故答案为：52.
根据向量数量积运算法则计算即可．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】3π2
【解析】解：根据题意，若一个圆锥的轴截面是边长为 3的等边三角形，
则该圆锥的底面半径r= 32，母线l= 3，
则圆锥的侧面积S侧=πrl=32π.
故答案为：32π
根据题意，求出圆锥的底面半径和母线长，进而计算可得答案．
本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的侧面积计算，属于基础题．
15.【答案】34
【解析】解：设事件A=“甲购买到”，事件B=“乙购买到”，事件C=“丙购买到”，
由于A、B、C相互独立，所以A−、B−、C−相互独立，
事件D=“甲、乙、丙3人中至少有1人购买到”，
则D−=“甲、乙、丙3人都没买到”，
则P(D)=1−P(D−)=1−P(A−B−C−)=1−P(A−)P(B−)P(C−)=1−(1−12)×(1−13)×(1−14)=34.
故答案为：34.
利用对立事件概率求法，和相互独立事件概率公式求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了对立事件的概率关系，属于基础题．
16.【答案】13
【解析】解：依题意，EH=EA+AA1+A1H=−12AB+AA1+12AD，FG=FC+CC1+C1G=12AB+AA1−12AD，
又AB⊥AA1,AB⊥AD,AA1⊥AD，
则AB⋅AA1=0,AB⋅AD=0,AA1⋅AD=0，
设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则|EH|= (−12AB+AA1+12AD)2= 14AB2+AA12+14AD2= 14+1+14= 62，|FG|= (12AB+AA1−12AD)2= 14AB2+AA12+14AD2= 14+1+14= 62，
所以cs⟨EH,FG⟩=EH⋅FG|EH|⋅|FG|=−14AB2+AA12−14AD2 62× 62=−14+1−1464=13，
所以异面直线EH与GF所成角的余弦值为13，
故答案为：13.
根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可．
本题考查异面直线所成角，考查空间向量的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为a=(1,0)，b=(1,λ)，a与b夹角为30∘，
则a⋅b=|a|⋅|b|cs30∘，
所以1=1× 1+λ2× 32，
解得λ=± 33.
(2)因为|a|= 3，|b|=2，a与b夹角为30∘，
由平面向量数量的定义可得a⋅b=|a|⋅|b|cs30∘= 3×2× 32=3，
所以|a+b|= (a+b)2= a2+b2+2a⋅b= 3+4+2×3= 13.
【解析】(1)利用平面向量数量积的定义和坐标运算可得出关于λ的等式，即可解得λ的值；
(2)利用平面向量数量积的运算性质可计算得出|a+b|的值．
本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)选择条件①：sinA=2sinB，由正弦定理可得a=2b，
由余弦定理知csA=b2+c2−a22bc，
∵csA=−14,c=3，
∴−14=b2+9−4b22×b×3，
化简得2b2−b−6=0，解得b=2或b=−32(舍去)，
所以b的值为2；
选择条件②：sinA+sinB=2sinC，
由正弦定理 asinA=bsinB=csinC，得a+b=2c=6，
由余弦定理知csA=b2+c2−a22bc，
∵csA=−14,c=3，
∴−14=b2+9−(6−b)22×b×3，解得b=2，
所以b的值为2；
(2)∵csA=−14,A∈(0,π)，
∴sinA= 1−cs2A= 154，
∴△ABC的面积S=12bc⋅sinA=12×2×3× 154=3 154.
【解析】(1)选择条件①，利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理即可求解；选择条件②，利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理即可求解；
(2)由csA=−14,A∈(0,π)可得sinA= 1−cs2A= 154，再利用三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图的性质得：10×(0.005+0.02+0.04+a+0.01)=1，
解得a=0.025，
∵10×0.005=0.05，10×0.02=0.2，10×0.04=0.4，10×0.025=0.25，10×0.01=0.1，
∴市民评分的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.4+85×0.25+95×0.1=76.5；
(2)因为[60,70),[70,80)的频率之比为0.2：0.4=1：2，
∴从[60,70)中随机抽取：6×13=2人，从[70,80)中随机抽取6×23=4人，
从[60,70)中抽取的2人记为a，b，从[70,80)中抽取的4人记为1，2，3，4，
所以从这6人中随机抽取2人的样本空间为C52=15个样本点，
设事件A表示“这2人的评分在同一组”，
则A={12,13,14,23,24,34,ab}，共有7个样本点，
∴这2人的评分在同一组的概率为：P(A)=715.
【解析】(1)根据频率之和为1可求得a=0.025，再根据频率分布直方图中平均数的估算公式即可求解；
(2)根据[60,70),[70,80)的频率之比为1：2，可得从[60,70)中抽取2人，记为a，b，从[70,80)中抽取4人，记为1，2，3，4，利用列举法即可求解概率．
本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题．
20.【答案】证明：(1)在三棱台ABC−DEF中，DE=2AB，则DF=2AC且DF//AC，
又G为DF的中点，所以GF=AC且GF//AC，
所以四边形ACFG为平行四边形，
连接AF交CG于点O，连接OH，则O为AF的中点，又H为EF的中点，
所以OH//AE，
又AE⊄平面CGH，OH⊂平面CGH，所以AE//平面CGH；
(2)在三棱台ABC−DEF中，DE=2AB，则EF=2BC且EF//BC，
因为H为EF的中点，所以HF=BC且HF//BC，
所以BCFH为平行四边形，所以BH//CF，又CF⊥EF，所以BH⊥EF，
因为G为DF的中点，所以GH//DE，因为DE⊥EF，所以GH⊥EF，
BH∩GH=H，BH，GH⊂平面BGH，所以EF⊥平面BGH，
又EF⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面BGH.
【解析】(1)根据棱台的性质可得GF=AC且GF//AC，则四边形ACFG为平行四边形，连接AF交CG于点O，连接OH，即可得到OH//AE，从而得证；
(2)首先证明BH//CF、GH//DE，即可得到BH⊥EF、GH⊥EF，从而得到EF⊥平面BGH，即可得证．
本题考查线面平行的证法及面面垂直的证法，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=2 2csxsin(x+π4)=2 2csx( 22sinx+ 22csx)
=2csxsinx+2cs2x=sin2x+cs2x+1= 2sin(2x+π4)+1，
所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.
由x∈[0,π2]，知π4≤2x+π4≤5π4，
令π4≤2x+π4≤π2，解得0≤x≤π8，
所以f(x)在[0,π2]上的单调递增区间为[0,π8].
(2)由题意可得g(x)= 2sin(2(x+π8)+π4)+1−1= 2sin(2x+π2)= 2cs2x，
当x∈[−π6,π3]时，2x∈[−π3,2π3]，
所以当2x=2π3，即x=π3时，g(x)min=g(π3)= 2×(−12)=− 22，
若存在x∈[−π6,π3]，使得g(x)所以a>− 22，即实数a的取值范围为(− 22,+∞).
【解析】(1)利用三角恒等变换可以化简为f(x)= 2sin(2x+π4)+1，从而可求得T=2π2=π；由x∈[0,π2]，知π4≤2x+π4≤5π4，从而令π4≤2x+π4≤π2，求解即可得到增区间；
(2)由题意可得g(x)= 2cs2x，由x∈[−π6,π3]可得2x∈[−π3,2π3]，结合余弦函数的性质即可得到最小值，从而可求解．
本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)对于曲线段DBC，易知A=2 3，
且f(0)= 3f(2)=2 3，即2 3sinφ= 32 3sin(2ω+φ)=2 3，
所以sinφ=12，又0<φ<π2，则φ=π6，
所以sin(2ω+π6)=1，又0<ω<1，即π6<2ω+π6<2+π6，
所以2ω+π6=π2，解得ω=π6，
所以曲线段为函数f(x)=2 3sin(π6x+π6)，
所以yC=2 3sin(π6×3+π6)=3，故C(3,3).
又P(6,0)，故|CP|= (6−3)2+32=3 2.
(2)∵∠MCP=θ，∠CMP=120∘，
CP=3 2，∴∠MPC=60∘−θ，θ∈(0∘,60∘)，
由正弦定理可得3 2sin120∘=CMsin(60∘−θ)=MPsinθ，
所以CM=2 6sin(60∘−θ),MP=2 6sinθ，
故折线段道路CMP的距离为：
2 6sin(60∘−θ)+2 6sinθ=2 6[sin(60∘−θ)+sinθ]=2 6sin(60∘+θ)，
因为θ∈(0∘,60∘)，所以θ+60∘∈(60∘,120∘)，
故当θ+60∘=90∘，即θ=30∘时，折线段道路CMP的距离取得最大值为2 6.
【解析】(1)对于曲线段DBC，易知A=2 3，且f(0)= 3f(2)=2 3，求解即可得到f(x)=2 3sin(π6x+π6)，从而求得C(3,3)，再根据两点距离公式即可求得CP两点间的距离；
(2)由正弦定理可得3 2sin120∘=CMsin(60∘−θ)=MPsinθ，从而可得CM=2 6sin(60∘−θ),MP=2 6sinθ，从而可求折线段道路CMP的距离为2 6sin(60∘−θ)+2 6sinθ，再利用三角恒等变换及正弦函数的性质即可求解最大值．
本题考查三角函数的性质，属中档题．