2022-2023学年河南省开封市五校高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年河南省开封市五校高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z1=−1+3i,z2=a+bi3(a,b∈R)且z1=z2，其中i为虚数单位，则ba=( )
A. 0B. −3C. −2D. −13
2.在连续六次数学考试中，甲、乙两名同学的考试成绩情况如图，则( )
A. 甲同学最高分与最低分的差距低于30 分B. 乙同学的成绩一直在上升
C. 乙同学六次考试成绩的平均分高于120分D. 甲同学六次考试成绩的方差低于乙同学
3.已知向量a=(1,1),b=(−2,1)，则向量a与b夹角的余弦值为( )
A. 1010B. − 1010C. 3 1010D. −3 1010
4.盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，已知某盲盒产品共有2种玩偶.假设每种玩偶出现的概率相等，小明购买了这种盲盒3个，则他集齐2种玩偶的概率为( )
A. 34B. 14C. 13D. 12
5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=2 2,b=4,A=π6，则此三角形( )
A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 解的个数不确定
6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱D1C1的靠近D1上的三等分点，设AE与BB1D1D的交点为O，则( )
A. 三点D1，O，B共线，且OB=2OD1
B. 三点D1，O，B共线，且OB=3OD1
C. 三点D1，O，B不共线，且OB=2OD1
D. 三点D1，O，B不共线，且OB=3OD1
7.如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C，D，B在同一直线上，在C，D两点用测角仪器测得A点的仰角分别是45∘和75∘，CD=10，则建筑物AB的高度为( )
A. 5 3+5
B. 5( 6+ 2)2
C. 5 3
D. 5 3+52
8.已知a，b是不共线的两个向量，|a|=2，a⋅b=4 3，若∀t∈R，|b−ta|≥2，则|b|的最小值为( )
A. 2B. 4C. 2 3D. 4 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.一组数据3，6，8，a，5，9的平均数为6，则对此组数据下列说法正确的是( )
A. 极差为6B. 中位数为5C. 众数为5D. 方差为4
10.已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )
A. 若m⊥n，m⊥α，n//β，则α⊥β
B. 若m⊥α，n//α，则m⊥n
C. 若α//β，m⊂α，则m//β
D. 若m//n，α//β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等
11.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A. 2张卡片都不是红色B. 2张卡片恰有一张蓝色
C. 2张卡片至少有一张红色D. 2张卡片都为绿色
12.已知圆锥SO的母线长为2 5,AB为底面圆O的一条直径，AB=4.用一平行于底面的平面截圆锥SO，得到截面圆的圆心为O1.设圆O1的半径为r，点P为圆O1上的一个动点，则( )
A. 圆锥SO的体积为16π3
B. PO的最小值为4 55
C. 若r=1，则圆锥SO1与圆台O1O的体积之比为1：8
D. 若O为圆台O1O的外接球球心，则圆O1的面积为36π25
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.甲、乙两组共200人，现采取分层随机抽样的方法抽取40人的样本进行问卷调查，若样本中有16人来自甲组，则乙组的人数为______.
14.
15.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2 2,AB=2，则直线A1B与直线B1C所成角的正切值为______.
16.如图，在Rt△AOC中，AO=CO=3，圆O为单位圆.
(1)若点P在圆O上，∠AOP=60∘，则AP=______.
(2)若点P在△AOC与圆O的公共部分的14圆弧上运动，则PA⋅PC的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知m∈R，复数z=m2−m−6+(m2−11m+24)i(i是虚数单位).
(1)若z是纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围.
18.(本小题12分)
如图1，四边形ABCD是边长为2的正方形，将△ACD沿AC折叠，使点D到达点E的位置(如图2)，且EB= 6.
(1)求证：AC⊥EB；
(2)求二面角E−AC−B的大小.
19.(本小题12分)
某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分．上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[0,20),第二组[20,40),第三组[40,60),第四组[60,80),第五组[80,100]，得到频率分布直方图如图所示．
(1)估计所打分数的众数，平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)
(2)该部门在第一、二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率．
20.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是棱B1C1，AC，BC的中点.
(1)证明：AD//平面C1EF；
(2)若2AA1=3AB=3，求三棱锥A−C1DE的体积.
21.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在BC边上，AD是角平分线，sin2C+sin2B+sinC⋅sinB=sin2A，且△ABC的面积为2 3.
(1)求A的大小及AB⋅AC的值；
(2)若c=4，求BD的长．
22.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2.M是棱PD上一点，且CM=2 3,AM⊥平面PCD.
(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：z1=−1+3i,z2=a+bi3=a−bi,z1=z2，
则a=−1−b=3，解得a=−1，b=−3，
故ba=(−3)−1=−13.
故选：D.
根据已知条件，结合复数相等的条件，求出a，b，即可求解．
本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对于A，由图可知，甲同学在第四次考试取得最高分，大约为140分，在二次考试取得最低分，大约为105分，140−105=35分，故A错误；
对于B，乙同学的成绩在第二、三、四次考试呈下降趋势．故B错误；
对于C，由图可知，乙同学只有第一次考试成绩低于120分，且非常接近120分，第六次考试成绩明显高于120分，所以其平均分高于120分，故C正确；
对于D，由图可知，甲同学的成绩波动明显大于乙同学，
所以甲同学的考试成绩方差大于乙同学．故D错误．
故选：C.
根据统计图中的信息，逐个分析各个选项即可．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵a=(1,1),b=(−2,1)，
∴cs=a⋅b|a||b|=−1 2× 5=− 1010.
故选：B.
根据向量a,b的坐标即可求出a⋅b，|a|和|b|的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cs的值．
本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：假设两种玩偶分别记为A，B，则买3个盲盒，所有的情况为AAA，BBB，AAB，ABA，BAA，BBA，BAB，ABB，共八种，
则他集齐2种玩偶的概率为68=34.
故选：A.
根据列举法列出所有情况，再根据古典概型概率公式，计算即可．
本题考查古典概型概率公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由a=2 2,b=4,A=π6，
结合正弦定理可得2 2sinπ6=4sinB，
可得sinB=4×122 2= 22