2022-2023学年河南省南阳市方城县高一下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年河南省南阳市方城县高一下学期期末数学试题（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算4(1+i)6的结果是( )
A. i4B. −i4C. i2D. −i2
2.如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，已知A′C′//y′轴，B′C′//x′轴且2A′C′=B′C′=2，则△ABC的周长为( )
A. 4+2 2B. 2+2 2C. 2+2 3D. 4+ 3
3.sin210∘cs120∘的值为( )
A. 14B. − 34C. −32D. 34
4.已知sin6π5+α= 33，则cs3π5−2α=( )
A. −23B. −13C. 23D. 13
5.已知向量a=(λ+1,4)，b=(3,λ)，若a与b反向，则向量c=(1,2)在向量a−b上的投影向量为( )
A. 6,−8B. −6,8C. 35,−45D. −35,45
6.下列表述中正确的是( )
A. 若直线a//平面α，直线b⊥a，则b⊥α
B. 若直线a⊄平面α，直线b⊂α，且a⊥b ，则a⊥α
C. 若平面α内有三个不共线的点到平面β的距离相等，则α//β
D. 若平面α,β满足α⊥β，α⊥γ，β∩γ=l，则l⊥α
7.已知函数f(x)=2 3cs2x+(cs x−sin x)2− 3，则( )
A. f(x)的最小正周期为π2B. fx的一条对称轴为x=π6
C. fx 在 [π6,2π3]上单调递减D. fx的图象关于点(π6,1)中心对称
8.如图，在△ABC中，点D ，E 分别在边BC和边AB 上，D ，E 分别为BC 和BA 的三等分点，点D靠近点B ，点E 靠近点A ，AD 交CE 于点P ，设BC=a，BA=b，则BP=( )
A. −17a+37bB. 17a+47bC. 17a+37bD. 27a+47b
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知向量a=csx,1，b=sinx,2，则a⋅b的值可以是( )
A. 1B. 2C. 73D. 3
10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若A=60∘,c=2,a=1.74，则△ABC只有一解
C. 若tanA=ab，则△ABC为直角三角形
D. csA+csB+csC>0
11.设函数f(x)=sin (ωx+φ)+cs (ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)的最小正周期为π，且过点0, 2，则下列说法正确的是( )
A. fx为偶函数
B. fx的一条对称轴为x=π2
C. 把fx的图象向左平移π6个单位长度后得到函数gx，则gx= 2cs2x+π6
D. 若fx在0,a上单调递减，则a的取值范围为0,π2
12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G分别为C1D1,C1B1,A1B1的中点，则以下结论正确的是( )
A. A1E⊥CG
B. 平面GFC∩平面ABCD=AC
C. DE//平面GFC
D. 异面直线A1D与FC所成角的余弦值是3 1010
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知角α的顶点是坐标原点，始边为x轴非负半轴，且终边经过点P(−4,−3)，则cs α−sin α=__________
14.计算：sin 53∘sin 67∘+cs 127∘sin 23∘=__________.
15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=6，a=2c，B=2π3，则△ABC的面积为__________.
16.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，当CQ=23时，S与C1D1的交点为R，则C1R=__________；当S为四边形时，CQ的取值范围为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z=−m2+m+2+(m2+m)i(m∈R)为纯虚数.
(1)求m的值；
(2)若1z1=10z+2−z3，求z1.
18.(本小题12分)
已知向量a与b的夹角为θ=2π3，且a=3，b是单位向量.
(1)分别求a⋅b和a−b的值；
(2)若ka+b与a−2b共线，求k.
19.(本小题12分)
如图，在△OAB中，P为线段AB上的一个动点(不含端点)，且满足AP=λPB.
(1)若λ=13，用向量OA，OB表示OP；
(2)在(1)的条件下，若|OA|=6，|OB|=2，且∠AOB=120∘，求OP⋅AB的值.
20.(本小题12分)
已知α，β为锐角，tanα=43，cs(α+β)=− 55.
(1)求tan2a的值；
(2)求tanα−β的值．
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD,AB⊥平面PAD,PA=AD=DC=2AB=4,PD=2 7,M是PC的中点.

(1)证明：BM//面PAD；
(2)证明：平面ABM⊥平面PCD；
(3)求三棱锥M−PAB的体积.
22.(本小题12分)
已知函数y=fx，若存在实数m、k(m≠0)，使得对于定义域内的任意实数x，均有m⋅fx=fx+k+fx−k成立，则称函数fx为“可平衡”函数；有序数对m,k称为函数fx的“平衡”数对．
(1)若fx=x2，求函数fx的“平衡”数对；
(2)若m=1，判断fx=sinx是否为“可平衡”函数，并说明理由；
(3)若m1、m2∈R，且m1,π2、m2,π4均为函数f(x)=cs2x0B ，有 a>b ，由正弦定理可得 sinA>sinB ，故A选项正确；
对于B选项，由正弦定理可得sinC=csinAa=2× 321.74= 31.74a ，可知 △ABC有两解，故B选项错误；
对于C选项，由 tanA=ab ，得 sinA=sinBtanA ，有 csA=sinB ，可得 A+B=π2 或 B=π2+A ，可知C选项错误；
对于D选项，若 △ ABC为锐角三角形或直角三角形，
有 csA+csB+csC>0 ；
若 △ ABC为钝角三角形，不妨设C为钝角，
有 csC0 ， csB>0 ，
有 csA+csB+csC>csA+csC =cs A−cs (A+B)=cs A−cs Acs B+sin Asin B>cs A(1−cs B)>0 ，
可知D选项正确．
故选：AD.
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查余弦型函数的图象与性质，以及三角函数得图象变换，属于中档题．
利用辅助角公式将函数化简，利用周期及特殊点求出函数解析式，然后利用余弦型函数性质一一判断即可.
【解答】
解： f(x)=sin (ωx+φ)+cs (ωx+φ)= 2sin (ωx+φ+π4) ，
因为函数f(x)最小正周期为π，ω>0，所以ω=2πT=2ππ=2，
则 fx= 2sin2x+φ+π4，
又函数fx 过点 0, 2，所以f0= 2sinφ+π4= 2 ，
即 sinφ+π4=1 ，所以 φ+π4=2kπ+π2,k∈Z ，
所以 φ=2kπ+π4,k∈Z ，又 φ≤π2 ，所以 φ=π4 ，
所以 fx= 2sin2x+π2= 2cs2x ，易知函数 fx 的定义域为R，
且 f−x= 2cs(−2x)= 2cs2x=f(x) ，
所以 fx 为偶函数，故A正确；
令 2x=kπ,k∈Z ，则 x=kπ2,k∈Z ，
当 k=1 时， fx 的一条对称轴为 x=π2 ，故B正确；
令 2x∈2kπ,2kπ+π,k∈Z ，则 x∈kπ,kπ+π2,k∈Z ，
当 k=0 时， fx 在 0,π2 上单调递减，
若 fx 在 0,a 上单调递减，则 a 的取值范围为 0,π2 ，故D正确；
把 fx 的图象向左平移 π6 个单位长度后得到函数 gx ，
则 gx= 2cs[2(x+π6)]= 2cs2x+π3 ，故C错误.
故选：ABD.
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角，线面平行及垂直判断，属于较难题．
由题意可得出 CC1⊥GC1 ，可判断A；因为四点 G,F,A,C 共面，所以平面 GFC∩平面 ABCD=AC 可判断B；由线面平行的判定定理可判断C；由异面直线所成角可判断D.
【解答】
解：对于A，连接GC1，易证A1E//GC1，因为CC1⊥ 平面 A1B1C1D1，
而GC1⊂平面 A1B1C1D1 ，所以 CC1⊥GC1 ，
所以在 △GC1C 中， GC1 与 GC 不垂直，所以 A1E与GC 不垂直，故A不正确；

对于B，连接 AC,A1C1 ，因为 F,G 分别为 C1B1,A1B1 的中点，
所以 A1C1//AC//GF ，所以四点 G,F,A,C 共面，
所以平面 GFC∩ 平面 ABCD=AC ，故B正确；

对于C，连接 GE ，易证 GE//AD,GE=AD ，所以四边形 ADEG 是平行四边形，
所以 ED//GA ，有ED⊄平面 GFCA ， AG⊂ 平面 GFCA ，
所以 DE // 平面 GFC ，故C正确；

对于D，连接 B1C ，易知 A1D//B1C ，异面直线 A1D 与 FC 所成角即直线 B1C 与 FC 所成角，即 ∠FCB1 ，
设正方体的边长为 2 ，
所以 FC= 22+12= 5,B1C= 22+22=2 2,B1F=1 ，
所以 cs ∠FCB1=FC2+CB12−FB122FC⋅CB1=5+8−12× 5×2 2=124 10=3 1010，
所以异面直线 A1D与FC所成角的余弦值是 3 1010，故D正确.

故选：BCD.
13.【答案】−15
【解析】【分析】
本题考查对任意角的三角函数的定义，属于基础题．
根据任意角的三角函数定义进行计算求解.
【解答】
解：已知角α的终边经过点 P(−4,−3) ，根据任意角的三角函数定义有：
cs α=−4 (−4)2+(−3)2=−45 ， sin α=−3 (−4)2+(−3)2=−35 ，
所以 cs α−sin α=−45−(−35)=−15 .
故答案为：−15 .
14.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查两角和与差的正弦公式的逆用，属于简单题．
利用诱导公式及两角和与差的的正弦公式化简求值.
【解答】
解：sin 53∘sin 67∘+cs 127∘sin 23∘
=sin 53∘cs 23∘−cs 53∘sin 23∘
=sin (53∘−23∘)
=sin 30∘
=12 .
故答案为：12.
15.【答案】18 37
【解析】【分析】
本题考查利用正余弦定理求解三角形面积的问题，属于中档题．
先利用余弦定理得到c2，再根据三角形面积公式求解即可．
【解答】
解：由余弦定理，有 b2=a2+c2−2accsB ，
又 b=6 ， a=2c ， B=2π3 ，
则 36=4c2+c2−4c2×−12 ，解得 c2=367 ，
所以 S△ABC=12acsinB=c2× 32=18 37 .
故答案为：18 37.
16.【答案】12 ； 0,12
【解析】【分析】
本题考查平面所截立方体的截面问题，属于难题．
设 S 与 A1D1 的交点为 T ，根据截面的性质可得 △CPQ∼△TA1A ，从而得到 TA1=34 ，再根据 △ABP∼△RD1T 可得 D1R=12 ，从而求得 C1R=12 ；再根据截面的性质可得 S 与平面 AA1D1D 的交线经过 D1D 上求S为四边形时， CQ 的取值范围即可
【解答】
解：如图所示，设 S 与 A1D1 的交点为 T ，根据截面的性质可得 △CPQ∼△TA1A ，故 CPTA1=CQAA1 ，即 12TA1=231 ，从而得到 TA1=34 ，故 TD1=14 .
再根据 △ABP∼△RD1T 可得 ABD1R=BPTD1 ，即 1D1R=1214 ，解得 D1R=12 ，故 C1R=1−12=12；
当S为四边形时，易得S与平面 AA1D1D 的交线经过 D1D ，此时 △CPQ∼△DAI ，故 PCQC=ADID ，即 QC=PC⋅IDAD=12⋅ID ，易得 ID∈0,1 ，故 QC∈0,12.
故答案为： 12 ； 0,12
17.【答案】解：(1)因为 z=−m2+m+2+m2+mim∈R 为纯虚数，
所以 −m2+m+2=0 ，且 m2+m≠0 ，
解得 m=2 ；
(2)由(1)得 z=6i ，
又 1z1=10z+2−z3 ，
所以 1z1=106i+2−6i3 ，
所以 1z1=102−6i40−6i3=12−72i ，
所以 z1=112−72i=21+7i1−7i1+7i=1+7i25 ，
所以 z1= 1252+7252= 25 .

【解析】本题考查复数的概念、运算以及模长求解，属于一般题．
(1)由条件，结合纯虚数的定义列方程求m.
(2)根据复数的运算法则，化简方程求 z1 ，再由模的公式求模.
18.【答案】解：(1)a⋅b=abcsa,b=3×1×−12=−32 ，
a−b= (a−b)2= a2−2a⋅b+b2= 9+3+1= 13 .
(2)若 ka+b 与 a−2b 共线，则存在实数λ ，使得 ka+b=λa−2b ，
即 k−λa+1+2λb=0 ，又因为向量 a 与 b 不共线，
所以 k−λ=01+2λ=0 ，解得 λ=−12k=−12 ，所以 k=−12 .

【解析】本题考查向量数量积运算以及模长的求解，向量平行的表示，属于中档题．
(1)利用数量积的定义求解a⋅b，根据 a−b= (a−b)2 求解 a−b ；
(2)由向量共线，结合平面向量基本定理列出方程组求解.
19.【答案】解：(1)因为 AP=λPB ，所以 AP=λλ+1AB ，
所以 OP=OA+AP=OA+λλ+1OB−OA=1λ+1OA+λλ+1OB ，
当 λ=13 时， OP=34OA+14OB .
(2)由(1)可知 OP=34OA+14OB ，
所以 OP⋅AB=34OA+14OB⋅OB−OA
=−34|OA|2+12OA⋅OB+14|OB|2 .
因为 |OA|=6 ， |OB|=2 ， ∠AOB=120∘ ，
所以 OP⋅AB=−34×36+12×6×2×−12+14×4=−29 ，
即 OP⋅AB 的值为 −29 .

【解析】本题考查平面向量基本定理的应用，平面向量的数量积计算，属于基础题．
(1)以{OA ，OB }为基底，根据向量的线性运算，把 OP 用向量 OA ， OB 表示；
(2)以{OA ，OB}为基底，结合(1)中的结论，求 OP⋅AB 的值.
20.【答案】解：(1)因为tanα=43，
可得tan2α=2tanα1−tan2α=−247.
(2)因为α，β为锐角，所以α+β∈(0,π).
又因为cs(α+β)=− 55，
所以sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=2 55，
因此tanα+β=sin(α+β)cs(α+β)=−2.
由(1)知tan 2α=−247，
所以tan(α−β)=tan[2α−(α+β)]=tan 2α−tan (α+β)1+tan 2αtan (α+β)=−247−(−2)1+(−247)×(−2)=−211.

【解析】本题考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式，属于中档题.
(1)由二倍角公式进行求解即可；
(2)利用同角三角函数的基本关系及两角和与差的三角函数公式进行变换求解即可.
21.【答案】解：(1)取PD中点N，连接 MN,AN ，
∵AB//DC,AB=12DC ， MN//DC,MN=12DC ，
∴MN//AB,MN=AB ，
∴ABMN 为平行四边形，则 BM//AN ，
∵BM⊄ 面 PAD ， AN⊂ 面 PAD ，
∴BM // 面 PAD .

(2)因为 PA=AD ，所以 AN⊥PD ，
由 AB⊥ 平面 PAD,PD⊂ 平面 PAD ，所以 AB⊥PD ，
又由 AN∩AB=A ，且 AN,AB⊂ 平面 ABMN ，
所以 PD⊥ 平面 ABMN ，
又 PD⊂ 平面 PCD ，
所以平面 ABMN⊥ 平面 PCD ，
即平面 ABM⊥ 平面PCD .
(3)由(1)可得 MN//AB ，且 AB⊂ 平面 PAB ， MN⊄ 平面 PAB ，
所以 MN // 平面 PAB ，
所以 VM−PAB=VN−PAB=VB−NAP ，
因为 AB⊥ 平面 PAD ，可得 VB−NAP=13S△NAP×AB ，
又由 AP=4,PN= 7,AN⊥PD ，
所以 AN= 42−7=3,S△NAP=12× 7×3=3 72 ，
所以 VB−NAP=13×3 72×2= 7 ，
即三棱锥 M−PAB 的体积为 7 .

【解析】本题考查线面平行的判定、面面垂直的判定，棱锥体积的求解，属于中档题．
(1)取 PD 中点 N ，连接 MN,AN ，证 BM//AN 即可；
(2)由 PA=AD 得 AN⊥PD ，由 AB⊥ 平面 PAD 得 AB⊥PD ，所以 PD⊥ 平面 ABN ，从而得证；
(3)MN//AB ，所以 MN // 平面 PAB ，根据 VM−PAB=VN−PAB=VB−NAP 求解．
22.【答案】解：(1)根据题意可知，对于任意实数 x ， mx2=x+k2+x−k2=2x2+2k2 ，
即 m−2x2−2k2=0 对于任意实数 x 恒成立，
只有 m=2 ， k=0 ，故函数 fx=x2 的“平衡”数对为 2,0 ；
(2)若 m=1 ，则 m⋅fx=sinx ，
f(x+k)+f(x−k)=sin (x+k)+sin (x−k) =2sinxcsk ，
要使得 fx 为“可平衡”函数，需使 (1−2cs k)⋅sin x=0 对于任意实数 x 均成立，只有 csk=12 ，
此时 k=2nπ±π3 ， n∈Z ，故 k 存在使得fx=sinx 是“可平衡”函数.
(3)假设存在实数 m、k(k≠0) ，对于定义域内的任意 x 均有 m⋅f(x)=f(x+k)+f(x−k)成立,
则 mcs2x=cs2(x+k)+cs2(x−k)
=12[1+cs 2(x+k)]+12[1+cs 2(x−k)]，
∴12m1+cs2x=121+cs2x+k+121+cs2x−k，
∴m1+cs2x=2+2cs2xcs2k,
∵(m1,π2),(m2,π4) 均为函数 f(x)=cs2x0