2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市浏阳市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z=m+2i1−i(m∈R)为实数，则|m+i|=( )
A. −2B. 5C. 25D. 4
2.某单位老、中、青人数之比依次为2：3：5.现采用分层随机抽样方法从中抽出一个容量为n的样本，若样本中青年人人数为20，则此样本的容量n为( )
A. 40B. 50C. 70D. 100
3.在锐角三角形ABC中，a=2bsinA，则B=( )
A. π6B. π4C. π3D. 7π12
4.如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是( )
A. 72B. 14C. 142D. 28
5.设a、b、c是空间的三条直线，给出以下五个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；
⑤若a//b，b//c，则a//c；
其中正确的命题的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
6.气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天，每天的日均气温都不低于22”．已知甲，乙，丙，丁四个地区某连续5天日均气温的数据特征如下：
则可以肯定进入夏季的地区是( )
A. 甲地B. 乙地C. 丙地D. 丁地
7.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为( )
A. 13B. 23C. 49D. 59
8.O为三角形内部一点，a，b，c，均为大于1的正实数，且满足aOA+bOB+cOC=CB，若S△OAB，S△OAC，S△OBC，分别表示△OAB，△OAC，△OBC的面积，则S△OAB:S△OAC:S△OBC为( )
A. c:b:aB. c2:b2:a2C. 1a:1b−1:1c+1D. (c+1):(b−1):a
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有( )
A. “恰有1件次品”和“恰有2件次品”
B. “至少有1件次品”和“都是次品”
C. “至少有1件正品”和“至少有1件次品”
D. “至少有1件次品”和“都是正品”
10.设m，n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题正确的有( )
A. 若m//β,n//β,m,n⊂α，则α//β
B. 若m//n,m⊥α，则n⊥α
C. 若α⊥β,m⊥α，则m//β
D. 若m//α,m⊂β,α∩β=n，则m//n
11.下列说法正确的有( )
A. 在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
B. 在△ABC中，a：b：c=sinA：sinB：sinC
C. △ABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件
D. 在△ABC中，若sinA=12，则A=π6
12.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AD，AB的中点，G在线段A1C1上运动(包含两个端点)，以下说法正确的是( )
A. 三棱锥C−EFG的体积与G点位置无关
B. 若G为A1C1中点，三棱锥C−EFG的体积为32
C. 若G为A1C1中点，则过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是92
D. 若G与C1重合，则过点E，F，G作正方体的截面，截面为五边形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面向量a=(2,1)，b为单位向量，且a+2b⊥a−b，则向量b在向量a上的投影向量的坐标为__________.
14.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率为__________.
15.祖暅，南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借助图1运用祖暅原理解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为2的铁球，再注入水，使水面与球正好相切(球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部)，则容器中水的体积为__________.
16.如图，OM//AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP=xOA+yOB，则x的取值范围是__________；当x=−12时，y的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a,b的夹角为120∘，且|a|=1,|b|=2,c=ma+3b.
(1)求|2a−b|；
(2)当b⊥c时，求实数m.
18.(本小题12分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠ADB=45∘，∠BAD=105∘，AD=62，BC=2，AC=3.
(1)求边AB的长；
(2)求ΔABC的面积．
19.(本小题12分)
某校2021年高一年级共有1000名学生，现对高一年级上学期期中考试数学成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
(1)求a的值，并估计该校2021年高一上学期期中考试数学成绩在[110,150)的人数；
(2)估计该校高一上学期期中考试数学成绩的第80百分位数.
20.(本小题12分)
已知函数fx=sinωx+φω>0,φ<π的图象如图所示．
(1)求ω，φ的值；
(2)设Fx=fxfx−π4，求函数Fx的单调递增区间；
(3)设Gx=fx+fx+π2，x∈0,π2，求函数Gx的值域．
21.(本小题12分)
如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4.E，F分别在线段BC和AD上，EF//AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.
(Ⅰ)求证：NC//平面MFD；
(Ⅱ)若EC=3，求证：ND⊥FC；
(Ⅲ)求四面体NFEC体积的最大值．
22.(本小题12分)
有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00ppm(即百万分之一)时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值(单位：ppm)，数据统计如下：
(1)求上述数据的中位数、众数、极差；
(2)有A，B两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼.
(ⅰ)将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和B水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有13的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；
(ⅱ)将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A水池进入B水池且不再游回A水池，求这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的概念与分类，复数的模，复数的除法运算，是较易题.
先化简求出z，根据z是实数可求出m，即可求出|m+i|.
【解答】
解：z=m+2i1−i=(m+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=m−2+(m+2)i2，
因为z为实数，
所以m+2=0，解得m=−2，
∴|m+i|=−2+i= −22+12= 5.
故选B.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查分层随机抽样的方法，属于较易题．
根据老、中、青人数之比及样本中青年人人数，写出比例式，得到样本容量．
【解答】
解：∵某单位老、中、青人数之比依次为2：3：5.
且样本中青年人人数为20，
∴样本容量是2+3+55×20=40.
故选：A.
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属基础题．
已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，再由B∈0,π2即可确定出B的度数．
【解答】
解：∵在锐角△ABC中，a=2bsinA
∴由正弦定理化简得：sinA=2sinBsinA，
∵sinA≠0，∴sinB=12，
又∵B∈0,π2
则B= π 6.
故选A.
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法，属于一般题.
由斜二测画法得原四边形ABCD的形状即可求解.
【解答】
解：因为原图形中与x，y轴平行的直线，在斜二测画法中对应的直线与x′，y′平行，
且原图形中与x轴平行的线段，在直观图中长度不变，与y轴平行的线段，在直观图中变为一半，
所以由直观图得原图形是上底长为2，下底长为5，高为8的直角梯形，
所以原四边形ABCD的面积是S=(2+5)×82=28.
故选D.
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与直线位置关系的判断，主要考查空间想像能力，空间中线线位置关系的判断能力，属于中档题.
由线线垂直、异面、相交、共面不具有传递性，线线平行具有传递性进行判断.
【解答】
解：①垂直于同一直线的两条直线相交、平行、异面皆有可能，故命题不正确；
②与同一直线异面的两直线可能是平行的，即异面关系不具有传递性，故命题不正确；
③相交关系不具有传递性，故命题不正确；
④线线间共面关系不具有传递性，若a//b，则a与b共面，b与c相交，则b与c共面，但a，c可以是异面关系，故命题不正确；
⑤若a//b，b//c，则a//c，此是空间两直线平行公理，是正确命题；
综上，仅有⑤正确
故选B.
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数据的样本特征平均数、中位数、众数、极差、标准差、四分位数等，考查数学计算和数学推理能力，属于一般题.
根据中位数，平均数，百分位数及极差的定义举出反例即可判断甲乙丁三地，根据标准差利用反证法即可判断丙地.
【解答】
解：对于甲地，中位数为 27 ，平均数为 26 ，
若 5 天气温的数据为 21,26,27,28,28 ，则甲地没有进入夏季；
对于乙地，第60百分位数为 24 ，众数为 22 ，
5×60%=3 ，则第60百分位数为第三个数与第四个数的平均数，
若 5 天气温的数据为 21,22,22,26,27 ，则乙地没有进入夏季；
对于丙地，最高气温为 31 ，平均数为 25 ，标准差为 3 ，
设前面四个数据为 x1,x2,x3,x4x1≤x2≤x3≤x4 ，
则 15x1−252+x2−252+x3−252+x4−252+31−252=32 ，
故 x1−252+x2−252+x3−252+x4−252=9 ，
所以 x1−252≤9 ，
若 x1<22 ，则 x1−252>9 ，这与 x1−252≤9 矛盾，
所以 22≤x1≤x2≤x3≤x4 ，所以丙地肯定进入夏季；
对于丁地，下四分位数为 23 ，上四分位数为 28 ，极差为 7 ，
由 5×14=54,5×34=154 ，
得下四分位数为按从小到大排列得第 2 个数据，上四分位数为按从小到大排列得第 4 个数据，
若 5 天气温的数据为 21,23,24,28,28 ，则丁地没有进入夏季.
故选：C.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了互斥事件的概率加法公式，属于较易题.
由已知得P(A)=13，P(B)=13，由事件A与事件B互斥，即可求得事件A或事件B至少有一个发生的概率．
【解答】
解：事件A表示“小于5的偶数点出现”，
事件B表示“不小于5的点数出现”，
则P(A)=26=13，P(B)=26=13，
又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，
所以事件A和事件B为互斥事件，
则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为
P=P(A)+P(B)=13+13=23，
故选：B.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平面向量基本定理的应用，向量的加减和数乘运算法则，属于较难题.
由向量加减运算法则把aOA+bOB+cOC=CB转化为(a+b+c)AO=(b−1)AB+(c+1)AC，可得对应线段的比值，从而得出面积的比.
【解答】
解：由aOA+bOB+cOC=CB，
可得(a+b+c)AO=(b−1)AB+(c+1)AC，
即AO=b−1a+b+cAB+c+1a+b+cAC，
因为a>1,b>1,c>1，
所以a+b+c>3，b−1>0，
所以0记AD=b−1a+b+cAB，AE=c+1a+b+cAC，
则以AD，AE为邻边，AO为对角线做平行四边形，如图所示：
由平行四边形可得OD//AC，OD=AE，
所以S△OAB:S△ABC=ODAC=AEAC=c+1a+b+c，
同理可得S△OAC:S△ABC=b−1a+b+c，
S△OBC:S△ABC=aa+b+c，
所以S△OAB:S△OAC:S△OBC=(c+1):(b−1):a.
故选D.
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了互斥事件的判断方法，不可能同时发生是判断的关键，属于较易题.
根据互斥事件的概念判断即可.
【解答】
解：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生；
“至少有1件次品”含有“都是次品”这种情况，可以同时发生；
“至少有1件正品”和“至少有1件次品”可以同时发生，比如“一件次品一件正品”；
“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生.
故选项AD是互斥事件，选项BC不是互斥事件，
故选AD.
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查线面，面面位置关系，属于基础题.
根据空间中线线、线面、面面间的位置关系逐项判断即可．
【解答】
解：对于A，若m//β,n//β,m,n⊂α，当m、n平行时，得不到α//β，故A错误；
对于B，若m//n,m⊥α，则n⊥α，故B正确；
对于C，若α⊥β,m⊥α，则m//β或m⊂β，故C错误；
对于D，根据线面平行的性质定理得：若m//α,m⊂β,α∩β=n，则m//n，故D正确.
故选BD.
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了正弦定理的应用，属于较易题.
根据正弦定理逐一分析各个选项，即可求解.
【解答】
解：由sin2A=sin2B可得2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，
则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选项A错误；
由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，
可得a:b:c=2RsinA:2RsinB:2RsinC，
即a:b:c=sinA:sinB:sinC成立，故选项B正确；
在△ABC中，由正弦定理可得：
sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，
则sinA>sinB是A>B的充要条件，故选项C正确；
在△ABC中，若sinA=12，则A=π6或A=5π6，故选项D错误.
故选：BC.
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查棱锥的体积，考查空间几何体的截面问题，属于一般题.
利用锥体的体积可判断AB选项；作出截面，并计算出截面的面积，可判断C选项；作出截面，可判断D选项.
【解答】
解：对于A、B选项，S△CEF=S正方形ABCD−S△AEF−S△BCF−S△CDE
=22−12(12+1×2×2)=32，
VC−EFG=VG−EFC=13S△EFC⋅CC1=13×32×2=1.
所以，三棱锥C−EFG的体积与点G的位置无关，所以A正确、B错误；
对于C选项，正方体ABCD−A1B1C1D1中，
由E、F、G分别为AD、AB、A1C1的中点，
则EF//BD，
因为BB1//DD1且BB1=DD1，
所以四边形BB1D1D为平行四边形，
所以B1D1//BD，
且有EF=12BD=12B1D1= 2，
由勾股定理可得D1E=B1F= BB12+BF2= 5，
在梯形EFB1D1中，上底EF= 2，下底B1D1=2 2，腰B1F=D1E= 5，
分别过点E、F在平面B1D1EF内作EM⊥B1D1，FN⊥B1D1，垂足分别为M、N，
∵D1E=B1F，∠ED1M=∠FB1N，∠EMD1=∠FNB1，
所以△ED1M≌△FB1N，
∴D1M=B1N，
因为EF//MN，EM⊥B1D1，FN⊥B1D1，
则四边形EFNM为矩形，
则MN=EF= 2，
∵D1M=B1N=B1D1−MN2= 22，
所以FN= B1F2−B1N2=3 22，
故S梯形EFB1D1=(EF+B1D1)⋅FN2=12×32 2×( 2+2 2)=92，所以C正确；
对于D选项，设直线EF分别交直线CD、CB于点R、S，
连接C1R交DD1于点T，连接C1S交BB1于点P，连接ET、FP，
所以，若G与C1重合，
则过点E、F、G作正方体的截面，截面为五边形C1TEFP，所以D正确.
故选ACD.
13.【答案】(−65,−35)
【解析】【分析】
本题重点考查向量垂直和投影向量，属于较易题.
由(a+2b)⊥(a−b)得a⋅b，进而利用投影向量的定义可求解.
【解答】
解：因为a=(2,1)，所以|a|= 22+12= 5，b为单位向量，|b|=1，
又因为(a+2b)⊥(a−b)，
所以(a+2b)⋅(a−b)
=a2+a⋅b−2b2=5+a⋅b−2=0，
则a⋅b=−3，
b在a方向上的投影数量为a⋅b|a|=−3 5，
所以b在a方向上的投影向量为−3 5a|a|=(−65,−35)
故答案为：(−65,−35).
14.【答案】1316
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.
由题意，可以先求出灯不亮的概率，由此再求出灯亮的概率即可.
【解答】
解：记“ A， B， C， D四个开关闭合”分别为事件 A， B， C， D，可用对立事件求解，
图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P(C)P(D)[1−P(AB)]=12×12×1−12×12=316，
所以灯亮的概率为1−316=1316.
故答案为1316.
15.【答案】12π
【解析】【分析】
本题考查祖暅原理的应用，几何体的体积的求解，化归转化思想，属一般题．
根据条件和图1可得半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积，然后在图2中运用此原理可求得答案．
【解答】
解：如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，设半球中阴影截面圆的半径r，截面到底面的距离为h，球体半径为R，则r2=R2−h2，截面圆面S1=πr2=π(R2−h2)；
圆柱中截面小圆半径DE=h，大圆半径为R，则截面圆环面积S2=S大圆−S小圆=π(R2−h2)，所以S1=S2，又高度相等，
所以半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积．
同理，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积．
如图2，设球体和水接触的上部分为V大半球，没和水接触的下部分为V小半球，
小半球相当于图1半球的截面上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积．
已知球体半径为r=2，△ABC为等边三角形，
OB=2OD=2r=4,OE=EF=12r=1，
根据祖暅原理V小半球=V圆柱−V圆台=π×22⋅1−13π[22+12+ 22⋅12]⋅1=53π，
V大半球=V球−V小半球=43π×23−53π=9π，
设图2中轴截面为梯形AHGC的圆台体积为V圆台′，
所以V水=V圆台′−V大半球=13π[(2 3)2+( 3)2+ (2 3)2⋅( 3)2]⋅3−9π=12π，
故答案为：12π.
16.【答案】(−∞,0) ； (12,32)
【解析】【分析】
本题考查平面向量的基本定理，向量的加法及数乘运算，关键是对向量加法及数乘运算的熟练掌握.
由向量加法的平行四边形法则，知OP为平行四边形的对角线，可得x的取值范围，过点C作CE//BO，交OM于点D，交AB延长线于点E，当x=−12时，由题意可知P点应落在DE上，分当点P与点D重合时和当点P与点E重合时，求出y的取值范围.
【解答】
解：如图，OM//AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP=xOA+yOB，
由向量加法的平行四边形法则，知OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，
∴x的取值范围是(−∞,0).
在OA的反向延长线取点C，使OC=12OA，即|OC|=12|OA|.
过点C作CE//BO，交OM于点D，交AB延长线于点E.
当x=−12时，要使P点落在指定区域内，则P点应落在DE上，
当点P与点D重合时，可得y=12，
当点P与点E重合时，可得y=32，
∴y的取值范围是(12,32).
故答案为(−∞,0)；(12,32).
17.【答案】解：(1)∵向量a,b的夹角为120∘，且|a|=1,|b|=2，
∴|2a−b|2=4a2−4a⋅b+b2
=4−4×1×2×cs120∘+4=12 ，
则|2a−b|=2 3 .
(2)∵b⊥c，
∴b⋅c=ma⋅b+3b2=12−m=0 ，则m=12 .

【解析】本题考查向量的模、数量积，考查了向量垂直的条件，属于一般题.
(1)利用向量数量积的运算律及已知求 |2a−b| ；
(2)由向量垂直可得 b⋅c=0 ，结合数量积的运算律列方程求参数值即可.
18.【答案】解：(1)在 △ABD 中， ∠ABD=180∘−45∘+105∘=30∘ ，
由正弦定理得 AB=AD⋅sin45∘sin30∘= 62× 2= 3 .
(2)在 △ABC 中，由余弦定理得
cs∠ABC=AB2+BC2−AC22AB×BC= 32+22−322 3×2=− 36 .
∴sin∠ABC= 1−cs2∠ABC= 336 .
∴S△ABC=12×AB×BC×sin ∠ABC
=12× 3×2× 336= 112 .

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于较易题．
(1)在 △ABD 中利用正弦定理可得解；
(2)在 △ABC 中，先由余弦定理得 cs∠ABC ，进而得 sin∠ABC ，最后利用面积公式求解即可.
19.【答案】(1)解：由0.005×20+0.005×20+0.0075×20+0.02×20+a×20+0.0025×20=1，得a=0.01，
估计该校2021年高一上学期期中数学考试成绩在[110,150)的人数为1000×(0.01+0.0025)×20=250，
(2)解：由1知样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.1+0.1+0.15+0.4=0.75，
在130分以下所占比例为0.75+0.2=0.95
因此，第80百分位数一定位于110,130内，
由110+20×0.8−−0.75=115，
可以估计样本数据的第80百分位数约为115分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数约为115分.
【解析】本题主要考查频率分布直方图，以及百分位数的求法，属于基础题.
(1)先由频率和为1得出a，再研究[110,150)的频率，可得结果；
(2)由百分位数的求法可直接求得.
20.【答案】解：(1)设函数 fx=sinωx+φ 的最小正周期为 T ，
因为函数 fx=sinωx+φ 的图象过点 π4,0,π2,1 ，
所以 T4=π2−π4=π4 ，所以 T=π ，又 ω>0 ，
所以 2πω=π ，所以 ω=2 ，
因为 sin2×π2+φ=1 ， φ<π ，
所以 2×π2+φ=π2 ，所以 φ=−π2 ；
(2)因为 fx=sin2x−π2 ，化简可得 fx=−cs2x ，
又 Fx=fxfx−π4 ，
所以 Fx=cs2xcs2x−π2
=cs2xsin2x=12sin4x ，
令 2kπ−π2≤4x≤2kπ+π2,k∈Z 可得， kπ2−π8≤x≤kπ2+π8,k∈Z ，
所以函数 Fx 的单调递增区间为 kπ2−π8,kπ2+π8k∈Z .
(3)因为 Gx=fx+fx+π2 ，所以 Gx=−cs2x−csx+π=−2cs2x+csx+1 ，
所以 Gx=−2csx−142+98 ，
因为 x∈0,π2 ，所以 0≤csx≤1 ，所以 0≤csx−142≤916 ，故 −98≤−2csx−142≤0
所以 0≤Gx=−2csx−142+98≤98 ，
所以函数 Gx=fx+fx+π2 ， x∈0,π2 的值域为 0,98 .

【解析】本题考查利用部分三角函数图象求解析式，三角函数的化简求值，正弦型函数的单调区间，考查计算能力，属于一般题．
(1)通过函数的图象求出函数周期，求出ω，利用f(π2)=1求出φ，得到函数的解析式;
(2)函数f(x)可化简为 fx=−cs2x，则Fx=cs2xsin2x=12sin4x，即可求解F(x)的单调增区间；
(3)Gx=−cs2x−csx+π=−2cs2x+csx+1进一步化为Gx=−2csx−142+98，结合二次函数知识即可求解.
21.【答案】(Ⅰ)证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，
所以MN//EF//CD，MN=EF=CD，
所以四边形MNCD是平行四边形，
所以NC//MD，
因为NC⊄平面MFD，MD⊂平面MFD，
所以NC//平面MFD.
(Ⅱ)证明：连接ED，设ED∩FC=O，
因为平面MNEF⊥平面ECDF，平面MNEF∩平面ECDF=EF，且NE⊥EF，NE⊂平面NEFM，
所以NE⊥平面ECDF，
又因为FC⊂平面ECDF，
所以FC⊥NE，
又矩形ECDF中，EC=CD，
所以矩形ECDF为正方形，
所以 FC⊥ED，
又因为FC⊥NE，NE∩ED=E，NE⊂平面NED，ED⊂平面NED，
所以FC⊥平面NED，
又因为ND⊂平面NED，
所以ND⊥FC.
(Ⅲ)解：设NE=x，则EC=4−x，其中0由(Ⅰ)得NE⊥平面FEC，
所以四面体NFEC的体积为：
VN−FEC=13S△EFC⋅NE=12x(4−x)，
所以VN−FEC≤12[x+(4−x)2]2=2，
当且仅当x=2时，等号成立，
故求四面体NFEC体积的最大值为2.
【解析】本题考查线面平行，考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查基本不等式的运用，掌握线面平行，线面垂直的判定方法，正确表示四面体NFEC的体积是关键，属于中档题.
(Ⅰ)先证明四边形MNCD是平行四边形，利用线面平行的判定，可证NC//平面MFD；
(Ⅱ)连接ED，设ED∩FC=O.根据平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，可证NE⊥平面ECDF，从而可得FC⊥NE，进一步可证FC⊥平面NED，利用线面垂直的判定，可得ND⊥FC；
(Ⅲ)先表示出四面体NFEC的体积，再利用基本不等式，即可求得四面体NFEC的体积最大值．
22.【答案】解：(1)由题意知，数据的中位数为0.98+1.022=1，
数据的众数为0.82，
数据的极差为1.68−0.07=1.61，
(2)(ⅰ)记“两鱼最终均在A水池”为事件A，则P(A)=23×13=29，
记“两鱼最终均在B水池”为事件B，则P(B)=23×13=29，
因为事件A与事件B互斥，
所以两条鱼最终在同一水池的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=29+29=49.
(ⅱ)记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件C1，
“两鱼同时从第二个小孔通过”为事件C2，……依此类推．
因为两鱼的游动独立，所以P(C1)=P(C2)=⋯=110×110=1100，
因为事件C1，事件C2，……互斥，
记“两条鱼由不同小孔进入B水池”为事件C，
所以P(C−)=P(C1∪C2∪⋯∪C10)=10×1100=110，
则C与C1∪C2∪…∪C10对立，
所以P(C)=1−P(C1∪C2∪⋯∪C10)=910.
【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率加法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是一般题．
(1)由所给数据求出数据的中位数，数据的众数，数据的极差．
(2)(ⅰ)记“两鱼最终均在A水池”为事件A，记“两鱼最终均在B水池”为事件B，利用相互独立事件概率乘法公式求出P(A)，P(B)，由事件A与事件B互斥，能求出两条鱼最终在同一水池的概率．
(ⅱ)记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件C1，“两鱼同时从第二个小孔通过”为事件C2，……依此类推．由两鱼的游动独立，得到P(C1)=P(C2)=⋯=110×110=1100，由事件C1，事件C2，……互斥，“两条鱼由不同小孔进入B水池”为事件C得到，P(C−)=P(C1∪C2∪⋯∪C10)=10×1100=110，由C与C1∪C2∪…∪C10对立，能求出这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率．甲地
中位数为27，平均数为26.
乙地
第60百分位数为24，众数为22.
丙地
最高气温为31，平均数为25，标准差为3.
丁地
下四分位数为23，上四分位数为28，极差为7.