2022-2023学年青海省西宁市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年青海省西宁市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(2,1),b=(1,−1)，则a+b=( )
A. (3,0)B. (3,1)C. (−1,2)D. (1,2)
2.复数z在复平面内对应的点是(0,1)，则复数11−z=( )
A. 1+i2B. −1+i2C. −1−i2D. 1−i2
3.如表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据，则该队员得分的第40百分位数是( )
A. 6B. 7C. 8D. 10
4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中错误的是( )
A. 若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥β
B. 若α//β，m⊂α，则m//β
C. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D. 若m//n，α//β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等
5.管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘．10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条．根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是( )
A. 2800B. 1800C. 1400D. 1200
6.已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A. 2B. 2 2C. 4D. 4 2
7.如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.8，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为( )
A. 0.504
B. 0.964
C. 0.994
D. 0.996
8.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的正弦值为( )
A. 25B. 55C. 105D. 155
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A. 2张卡片都不是红色B. 2张卡片恰有一张红色
C. 2张卡片至少有一张红色D. 2张卡片都为绿色
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若A=60∘，a=b=2，则△ABC有两解
B. 若A=30∘，a=1，b=4，则△ABC无解
C. 若A=150∘，a=3，b=4，则△ABC有一解
D. 若A=45∘，a= 2，b= 3，则△ABC有两解
11.下列关于复数的说法，其中正确的是( )
A. 复数z=a+bi(a,b∈R)是实数的充要条件是b=0
B. 复数z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条件是b≠0
C. 若z1，z2互为共轭复数，则z1⋅z2是实数
D. 若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i
12.在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，N在该正方体的棱上运动(异于点M)，则下列说法正确的是( )
A. 存在点N，使得MN//BC
B. 三棱锥M−A1BC1的体积等于94
C. 有且仅有两个点N，使得MN//平面A1BC1
D. 有且仅有三个点N，使得N到平面A1BC1的距离为 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.欲利用随机数表从00，01，02，…，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为__________.
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 19 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
14.已知向量a=(3,−4)，b=(−2,1)，则向量a在b方向上的投影数量为__________.
15.如图所示，要在两山顶M、N间建一索道，需测量两山顶M、N间的距离.已知两山的海拔高度分别是MC=100 3米和NB=50 2米，现选择海平面上一点A为观测点，从A点测得M点的仰角∠MAC=60∘，N点的仰角∠NAB=30∘以及∠MAN=45∘，则MN等于__________米.
16.中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.在如图所示的堑堵ABC−A1B1C1中，AA1=AC=5，AB=3，BC=4，则堑堵ABC−A1B1C1的外接球的体积是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量OA=(3,−4)，OB=(6,−3)，OC=(5−m,−3−m).
(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
18.(本小题12分)
某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；
(3)若规定：90分(包含90分)以上为优秀，现从分数在80分(包含80分)以上的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中至少有一份优秀的概率．
19.(本小题12分)
如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2，求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上．
20.(本小题12分)
从①B=π4，②a=3 2sinB这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答.
已知△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.
(1)求角A；
(2)已知b= 6，且____，求sinC的值及△ABC的面积.
21.(本小题12分)
如图，正四棱锥P−ABCD中．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(2)若PA=2AB，求二面角B−PC−A的余弦值．
22.(本小题12分)
已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(b,sinB)，n=(2a, 3)，且m//n.
(1)求角A的大小；
(2)若c=2，BC边上的中线AD长为 3，求b.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了向量加法的坐标表示，属于基础题．
根据向量加法的坐标运算法则求解.
【解答】
解：∵a=(2,1),b=(1,−1)，
∴a+b=(2+1,1−1)=(3,0).
故选：A.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了复数的几何意义与运算问题，是基础题．
根据复数z在复平面内对应的点得到z=i，再计算复数11−z的值．
【解答】
解：复数z在复平面内对应的点是(0,1)，所以z=i，
所以复数11−z=11−i=1+i12−i2=1+i2.
故选：A.
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查百分位数的定义，属于基础题．
利用百分位数的定义计算即可．
【解答】
解：将表中的数据从小到大排序：3，3，6，7，7，10，10，10，11，13，30，共11个数据，11×40%=4.4，
故该队员得分的第40百分位数是第5个数据，为7，
故选：B.
4.【答案】C
【解析】解：若m⊥α，m//n，则n⊥α，又n//β，∴α⊥β，故A正确；
若α//β，则α与β无公共点，又m⊂α，则m与β无公共点，可得m//β，故B正确；
若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α//β或α与β相交，相交也不一定垂直，故C错误；
由m//n，得m、n与α成等角，又α//β，则m、n与β成等角，则m与α所成的角和n与β所成的角相等，故D正确．
故选：C.
由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断A与C；由面面平行与线面平行的定义判断B；由直线与平面所成角的定义判断D.
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，属于基础题．
根据池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条，并且作标记的有40条鱼，即可求解．
【解答】
解：由题意可知，该池塘内鱼的总条数是40÷270=1400.
故选：C.
6.【答案】B
【解析】解：由题意，设母线长为l，
因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，
则有2π⋅ 2=π⋅l，解得l=2 2，
所以该圆锥的母线长为2 2.
故选：B.
设母线长为l，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．
本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，是基础题．
利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出结果．
【解答】
解：A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，
则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为：
P=1−(1−0.9)(1−0.8)(1−0.8)=0.996.
故选：D.
8.【答案】C
【解析】【分析】
考查异面直线所成角的向量求法，基础题．
建立空间直角坐标系，得到PC=(2,2,−2)，DE=(0,−2,1)，利用夹角公式求出csPC,DE，再得出结论．
【解答】
解：根据题意，以A为坐标原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设AB=PA=2，P(0,0,2)，C(2,2,0)，
E(0,0,1)，D(0,2,0)，
PC=(2,2,−2)，DE=(0,−2,1)，
csPC,DE=PC⋅DEPC⋅DE=−62 3× 5=−3 15，
则异面直线PC与DE所成角的余弦值为3 15，
正弦值为 105，
故选：C.
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查互斥而不对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．
【解答】
解：6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：
“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，
选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立有“2张都不是红色”“2张恰有一张红色”“2张都为绿色”，
其中“2张至少一张为红色”包含事件是“2张都为红色”二者并非互斥．
故选：ABD.
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查利用正弦定理判断三角形的个数，属中档题．
A选项，推出△ABC是边长为2的等边三角形，有1解；B选项，由正弦定理得到sinB=2>1，无解；C选项，由大边对大角得到三角形中有2个钝角，无解；D选项，由正弦定理得到B=60∘或120∘，D正确．
【解答】
解：A选项，因为A=60∘，a=b=2，
所以B=A=60∘，故C=60∘，
所以△ABC是边长为2的等边三角形，有1解，A错误；
B选项，若A=30∘，a=1，b=4，
由正弦定理得asinA=bsinB，即1sin30∘=4sinB，
解得sinB=2>1，无解，B正确；
C选项，若A=150∘，a=3，b=4，
由大边对大角可知，B>A，
此时三角形中有2个钝角，不可能，则△ABC无解，C错误；
D选项，若A=45∘，a= 2，b= 3，
由正弦定理得asinA=bsinB，即 2sin45∘= 3sinB，
解得sinB= 32，因为b>a，所以B=60∘或120∘，
所以△ABC有两解，D正确．
故选：BD.
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查复数的概念与分类，以及复数的四则运算，属于基础题．
根据已知条件，结合实数、纯虚数、共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】
解：复数z=a+bi(a,b∈R)是实数，
则b=0，
当b=0时，z=a为实数，
故复数z=a+bi(a,b∈R)是实数的充要条件是b=0，故A正确；
复数z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数，
则a=0，b≠0，故B错误；
若z1=c+di(c,d∈R)，
则z2=z1=c−di，
故z1⋅z2=(c+di)(c−di)=c2+d2∈R，故C正确；
若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i4n⋅i3=−i，故D错误．
故选：AC.
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查正方体的性质，三棱锥的体积的求解，面面平行的判定定理，点面距的求解，化归转化思想，属中档题．
根据三角形中位线的性质，正三棱柱的顶点，面面平行的判定定理，正方体的性质，即可分别判断．
【解答】
解：对A选项，取D1C1的中点N，又M是A1B1的中点，
∴易知MN//BC，∴A选项正确；
对B选项，∵M是A1B1的中点，
∴M到平面A1BC1的距离等于B1到平面A1BC1的距离的一半，
∴三棱锥M−A1BC1的体积为：
VM−A1BC1=12VB1−A1BC1=12VB−A1B1C1=12×13×12×3×3×3=94，∴B选项正确；
对C选项，分别取B1C1，BB1的中点E，F，又M是A1B1的中点，
由面面平行的判定定理易知：平面MEF//平面A1BC1，
又平面MEF与正方体的棱仅有2个交点E，F，
∴且仅有两个点N(即为E，F)，使得MN//平面A1BC1，∴C选项正确；
对D选项，由正方体的性质可知DB1⊥平面A1BC1，DB1⊥平面ACD1，
且DB1=3 3，D到平面ACD1的距离为 3，B1到平面A1BC1的距离为 3，
∴正方体的棱上有四个点(即为B1，A，C，D1)到平面A1BC1的距离为 3，∴D选项错误．
故选：ABC.
13.【答案】50
【解析】【分析】
本题主要考查了简单随机抽样，属于基础题．
根据随机数法的抽取规则求解即可．
【解答】
解：从随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，
则被抽取的符合题意的样本编号依次为：16，55，19，50，12，…，
所以第4个被抽取的样本的编号为50.
故答案为：50.
14.【答案】−2 5
【解析】【分析】
本题主要考查向量的投影，属于基础题．
根据已知条件，结合向量的投影数量公式，即可求解．
【解答】
解：a=(3,−4)，b=(−2,1)，
则a⋅b|b|=−6−4 (−2)2+(−1)2=−2 5.
故答案为：−2 5.
15.【答案】100 2
【解析】【分析】
本题考查余弦定理的应用，属中档题．
利用已知可得AM，AN，再利用余弦定理得MN2=AN2+AM2−2AM⋅ANcs∠MAN，可求MN.
【解答】
解：在Rt△AMC中，∠MAC=60∘，MC=100 3，
∴AM=MCsin∠MAC=100 3 32=200，
在Rt△ABN中，∠NAB=30∘，NB=50 2，
∴AN=2BN=100 2，
在△AMN中，∠MAN=45∘，由余弦定理得
MN2=AN2+AM2−2AM⋅ANcs∠MAN
=(100 2)2+2002−2×100 2⋅200× 22
=20000，
∴MN=100 2.
故答案为：100 2.
16.【答案】125 23π
【解析】【分析】
本题主要考查球的切、接问题，属于中档题．
将该堑堵补充成长方体，求长方体外接球体积即可．
【解答】
解：将该堑堵补充为一个长方体，如图，
则该堑堵的外接球即为长方体的外接球，
设长方体的体对角线为d，则d2=32+42+52=50，
所以d=5 2，所以外接球的体积为43πR3=43π(d2)3=125 23π，
故答案为：125 23π.
17.【答案】解：(1)若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即AB与BC不共线，
由AB=(3,1)，AC=(2−m,1−m)，
知3(1−m)−(2−m)≠0，
解得m≠12，满足条件；
(若根据点A、B、C能构成三角形，必须任意两边长的和大于第三边的长，
即由|AB|+|BC|>|CA|去解答，相应给分)
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则AB⊥AC，
∴AB⋅AC=0，
即3(2−m)+(1−m)=0，
解得m=74.
【解析】(1)根据点A，B，C能构成三角形知这三点不共线，
即AB与BC不共线，由此求出m满足的条件；
(2)根据△ABC为直角三角形得出AB⊥AC，
列方程求出m的值．
本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10=0.08，
由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08=25；
(2)分数在[80,90)之间的频数为25−2−7−10−2=4，
频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10=0.016；
(3)由(2)可知分数分数在[80,100)的人数为4+2=6，设分数在[80,90)的试卷为A，B，C，D，分数在[90,100)的试卷为a，b.
则从6分试卷中任取两份共有15个基本事件，分别是AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab.
其中至少有一份优秀共有9个基本事件，分别是Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab，
∴抽取的试卷中至少有一份优秀的概率P=915=35.
【解析】本题考查了茎叶图与频率分布直方图，古典概型的概率计算，属于中档题．
(1)分数在[50,60)的频率为第一组矩形的面积，全班人数为该组的频数与频率的比值；
(2)用全班人数减去其余组的人数即为[80,90)之间的频数，用该组的频率与组距的比值为矩形的高；
(3)对符合条件的试卷进行编号，使用列举法求出基本事件个数和符合条件的基本事件个数，得出概率．
19.【答案】证明：(1)∵BG：GC=DH：HC=1：2，
∴GH//BD，
∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF//BD，
∴EF//GH，
∴E，F，G，H四点共面．
(2)∵G、H不是BC、CD的中点，
∴EF//GH，且EF≠GH，
∴EG与FH必相交，设交点为M，
∵EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，
∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD，
∵平面ABC∩平面ACD=AC，
∴M∈AC，
∴EG与HF的交点在直线AC上．
【解析】本题考查四点共面的证明，考查两直线的交点在直线上的证明，是基础题，
(1)推导出GH//BD，EF//BD，从而EF//GH，由此能证明E，F，G，H四点共面．
(2)推导出EF//GH，且EF≠GH，从而EG与FH必相交，设交点为M，由此能证明EG与HF的交点在直线AC上．
20.【答案】解：(1)由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
因为sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，
所以a2=b2+c2+bc，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，
因为0(2)选择①时，A=2π3，B=π4，
故sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB= 6− 24，
由正弦定理得asinA=bsinB，
则a=bsinAsinB= 6×sin2π3sinπ4=3，
所以△ABC的面积S=12absinC=12×3× 6× 6− 24=9−3 34.
选择②时，a=3 2sinB，
由正弦定理得asinA=bsinB，
则3 2sinB 32= 6sinB，解得sinB= 22，
所以sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB= 6− 24，
由正弦定理得asinA=bsinB，则a=bsinAsinB= 6×sin2π3 22=3，
所以△ABC的面积S=12absinC=12×3× 6× 6− 24=9−3 34.
【解析】本题考查正、余弦定理的综合应用，三角形面积公式，两角和与差的正弦公式，属于中档题．
(1)由已知条件结合正弦定理可得a2=b2+c2+bc，根据余弦定理求出csA的值，结合0(2)选择①时，由A=2π3和B=π4结合两角和的正弦公式求出sinC的值，根据正弦定理求出a的值，利用三角形面积公式求出△ABC的面积．选择②时，a=3 2sinB，根据正弦定理求出sinB的值，利用两角和的正弦公式求出sinC的值，根据正弦定理求出a的值，利用三角形面积公式求出△ABC的面积．
21.【答案】解：(1)证明：如图，记AC∩BD=O，连接OP，
依题意，OP⊥平面ABCD，OB⊂平面ABCD，
∴OP⊥OB，
又底面ABCD为正方形，则OB⊥AC，
而OP∩AC=O，OP⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴OB⊥平面PAC，
又OB⊂平面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD；
(2)过点O作OM⊥PC于点M，连接BM，
由三垂线定理易知∠OMB为所求二面角，
不妨设PA=2AB=2，
则OB= 22,OP= 22−( 22)2= 142,OM=OP⋅OCPC= 142× 222= 74，
∴BM= OB2+OM2= 12+716= 154，
∴cs∠OMB=OMBM= 74 154= 10515，即二面角B−PC−A的余弦值为 10515.
【解析】本题考查面面垂直的判定定理，考查二面角的定义及其余弦值求解，属于中档题．
(1)结合已知条件及线面垂直的判定定理证明OB⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可得证；
(2)过点O作OM⊥PC于点M，由三垂线定理可得∠OMB为所求二面角，求出各棱长，在Rt△OMB中求解即可．
22.【答案】解：(1)∵m=(b,sinB)，n=(2a, 3)，且m//n，
∴2asinB− 3b=0，即2asinB= 3b，
由正弦定理得：2sinAsinB= 3sinB，
∵sinB>0，∴sinA= 32，又A为锐角，则A=π3；
(2)在△ABC中，AD=12(AB+AC)，
∴AD2=14(AB2+AC2+2AB⋅AC)，
∵AB⋅AC=bccsA=b，∴3=14(4+b2+2b)，整理得b2+2b−8=0，
解得b=−4(舍去)或b=2.
此时，C=B，A=π3，为锐角三角形，符合题意，
故b=2.
【解析】本题考查正弦定理及平面向量数量积的应用，考查运算求解能力，是中档题．
(1)由已知结合向量共线的坐标运算可得2asinB= 3b，再结合正弦定理得到sinA= 32，可得A；
(2)在△ABC中，AD=12(AB+AC)，两边平方后可得关于b的方程，求解得答案．每场比赛得分
3
6
7
10
11
13
30
频数
2
1
2
3
1
1
1