2022-2023学年陕西省宝鸡教育联盟高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年陕西省宝鸡教育联盟高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=(1−3i)(a−i)为纯虚数，则实数a=( )
A. 3B. 13C. −13D. −3
2.已知向量|a|= 3，|b|=2，它们的夹角为π6，则|a+b|=( )
A. 10B. 10C. 13D. 13
3.下列条件一定能确定一个平面的是( )
A. 空间三个点B. 空间一条直线和一个点
C. 两条相互垂直的直线D. 两条相互平行的直线
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=6，A=π3，则△ABC外接圆的面积为( )
A. 4πB. 12πC. 16πD. 48π
5.从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是( )
A. 恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球B. 至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球
C. 至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球D. 恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球
6.已知4a2+b2=6，则ab的最大值为( )
A. 34B. 32C. 52D. 3
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsC=ccsB，则△ABC为( )
A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
8.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，M为AC的中点N为侧面BCC1B1上的一点，且MN//平面ABC1，若点N的轨迹长度为2，则( )
A. AC1=4
B. BC1=4
C. AB1=6
D. B1C=6
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若复数z=4−2i1−i2023(i为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A. z的虚部为−3iB. z的虚部为−3
C. z−在复平面上对应的点位于第一象限D. z−在复平面上对应的点位于第二象限
10.今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中将的概率为0.2，则( )
A. 小王和小张都中奖的概率为0.08
B. 小王和小张都没有中奖的概率为0.46
C. 小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D. 小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92
11.5月6日，小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图.根据图中的信息可得( )
A. 护士每隔6小时给小明测量一次体温
B. 近三天来，小明所测体温数据的极差为3.7摄氏度
C. 近三天来，小明所测体温数据的中位数是37.5摄氏度
D. 如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，可以出院，那么小明最快5月10日凌晨6时出院
12.如图，正三棱锥P−ABC和正三棱锥Q−ABC的侧棱长分别为2， 2，直线PQ与底面ABC相交于点O，OP=2OQ，则( )
A. PQ= 5
B. AQ，BQ，CQ两两垂直
C. AP与CQ的夹角为45∘
D. 点P，A，B，C，Q不可能同时在某个球的表面上
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=lg(x+1)x−1的定义域是__________.
14.已知圆锥的母线长为1，底面半径为r，若圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的13，则lr=______.
15.从分别写有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为______.
16.已知函数f(x)=x2+(a−2)x−a+3,x<1lg3x,x≥1的最小值为0，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知袋中有8个大小质地相同，颜色不全相同的小球，分别为黑球、白球、红球，从中任意取一球，取到黑球或白球的概率是78，取到白球或红球的概率是38.
(1)从中任取两个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；
(2)若有放回的取球，求取出的两个球一个是白色一个是红色的概率.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求不等式f(x)≤5 22的解集.
19.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为 34(b2+c2−a2).
(1)求角A的大小；
(2)若b=3，c=6，AD是△ABC的一条中线，求线段AD的长.
20.(本小题12分)
居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”.某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)在这100名业主中，求评分在区间[70,80)的人数与评分在区间[50,60)的人数之差；
(2)估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数；
(3)若小区物业服务满意度(满意度=满意度平均分100)低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训.请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由.(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)
21.(本小题12分)
如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，AB=1，AA1=2，∠BAD=60∘，点P为DD1的中点.
(1)求证：直线BD1//平面PAC；
(2)求二面角B1−AC−P的余弦值.
22.(本小题12分)
如图，在边长为4的等边三角形ABC中，P为△ABC内部(包含边界)的动点，且PA=1.
(1)求|AC+AB|；
(2)求PB⋅PC的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为z=(1−3i)(a−i)=(a−3)−(3a+1)i为纯虚数，
所以a−3=03a+1≠0，解得a=3，
所以a=3.
故选：A.
利用复数的四则运算与纯虚数的概念求解即可．
本题主要考查纯虚数的概念，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意可得|a+b|= (a+b)2
= a2+2a⋅b+b2= 3+2× 3×2× 32+4= 13.
故选：C.
根据向量数量积的性质及概念，计算即可得解．
本题考查向量数量积的性质及概念，属基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误；
由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误；
两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误；
由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确．
故选：D.
根据题意，由空间中点线面的位置关系分析选项，综合可得答案．
本题考查平面的基本性质，空间直线、平面的位置关系，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据正弦定理有2R=asinA=6sinπ3=4 3，
则R=2 3，则△ABC外接圆的面积为π⋅(2 3)2=12π.
故选：B.
根据正弦定理可得△ABC外接圆的半径，即可得其面积．
本题考查正弦定理，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误；
至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B错误；
至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C错误；
恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确．
故选：D.
根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案．
本题主要考查了互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为6=4a2+b2≥2⋅2a⋅b，当且仅当2a=b时取等号，
则ab≤32.
故选：B.
由已知结合基本不等式即可直接求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由正弦定理及bcsC=ccsB知，sinBcsC=sinCcsB，
所以sin(B−C)=0，即B=C，
所以△ABC为等腰三角形．
故选：A.
利用正弦定理化边为角，再由两角差的正弦公式，即可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：如图，
取B1C1的中点D，BB1的中点E，连接MD，DE，ME，
由MD//A1B1//AB，DE//BC1，
又MD⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，所以MD//平面ABC1，
同理可得DE//平面ABC1，又MD∩DE=D，MD，DE⊂平面MDE
所以平面MDE//平面ABC1，又MN//平面ABC1，
故点N的轨迹为线段DE，
又由DE=12BC1=2，可得BC1=4.
故选：B.
根据面面平行的判定定理证明平面MDE//平面ABC1，再由MN//平面ABC1可得点N的轨迹为线段DE，据此即可得解．
本题主要考查了线面平行和面面平行的判定定理，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：i2023=(i4)505⋅i3=−i，
z=4−2i1−i2023=2(2−i)1+i=2(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i，z的虚部为−3，故A错误，B正确；
z−=1+3i，
故z−在复平面上对应的点(1,3)位于第一象限，故C正确，D错误．
故选：BC.
根据已知条件，结合复数的四则运算，求出z，再结合共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：A：由题意知：小王和小张都中奖的概率为0.2×0.4=0.08，故A正确；
B：小王和小张都没有中奖的概率为(1−0.2)×(1−0.4)=0.48，故B错误；
C：小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.4×(1−0.2)+(1−0.4)×0.2=0.44，故C正确；
D：小王和小张中至多有一个人中奖的概率为1−0.08=0.92，故D正确．
故选：ACD.
根据相互独立事件和对立事件的概率公式即可求解．
本题考查了互斥事件的概率公式的应用，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由体温折线图得到护士每隔6小时给小明测量一次体温，故A正确；
近三天来，小明的最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度，
故极差为39.5−36.8=2.7摄氏度，故B错误；
近三天小明所测体温数据从小到大排列为36.8、37、37、37.1、37.2、37.5、38、38、39、39.2、39.5，故中位数为37.5，故C正确；
从5月8日18点开始体温不超过37.2摄氏度，按照连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，
可认为基本康复，则小明最快5月10日凌晨6时出院，故D正确．
故选：ACD.
根据体温折线图一一分析即可．
本题主要考查统计图，极差、平均数的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A选项，由正三棱锥的性质知PQ⊥平面ABC，
如图，连接OA，可得PQ⊥OA，有OA= AP2−OP2= AQ2−OQ2，
有 4−4OQ2= 2−OQ2，解得OQ= 63，
可得|PQ|= 6，故A选项错误；
对于B选项，由AO= 2−( 63)2=2 33，
可得BC=3OA2sinπ3=3×2 332× 32=2，又由AQ=BQ=CQ= 2，
可得∠AQB=∠BQC=∠AQC=π2，
易知AQ，BQ，CQ两两垂直，故B选项正确；
对于C选项，由AQ，BQ，CQ两两垂直，AB=BC=AC=AP=BP=CP=2，
把正三棱锥P−ABC和正三棱锥Q−ABC拼成的几何体放入如图所示正方体中，
可知AP与CQ的夹角为45∘，故C选项正确；
对于D选项，由C选项知，点P，A，B，C，Q可以同时在以PQ为直径的球上，故D选项错误．
故选：BC.
根据题意，结合正三棱锥的特征，利用顶点在底面的投影是底面的中心可分析A与B，利用割补法可分析C与D，综合可得答案．
本题考查棱锥的结构特征，涉及空间点线面距离的计算，属于中档题．
13.【答案】(−1,1)∪(1,+∞)
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
【解答】
解：由题意得x+1>0x−1≠0，解得x>−1且x≠1，
∴函数f(x)=lg(x+1)x−1的定义域是(−1,1)∪(1,+∞).
故答案为：(−1,1)∪(1,+∞).
14.【答案】3
【解析】解：圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的13，可知扇形的圆心角为2π3，
由弧长公式可得2πrl=2π3，即rl=13，则lr=3.
故答案为：3.
根据圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的13，得到扇形的圆心角为2π3，然后列等式求解．
本题考查圆锥的侧面展开图，考查弧长公式的应用，是基础题．
15.【答案】37
【解析】解：记“抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字”为事件A，
事件A包括以下21种情况：(7,1)，(7,2)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(7,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，
而有放回地连续抽取2张卡片共有7×7=49(种)不同情况，
则P(A)=2149=37.
故答案为：37.
根据题意写出抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字的所有基本事件，然后代入古典概型的概率计算公式即可求解．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求出能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16.【答案】(−∞,2 2]
【解析】解：∵当x≥1时，则f(x)=lg3x≥0，
∴当x<1时，则f(x)=x2+(a−2)x−a+3≥0恒成立，
∴a≤(x2−2x+31−x)min，x<1，
∵x<1，∴x2−2x+31−x=1−x+21−x≥2 2，
当且仅当1−x=21−x，即x=1− 2时等号成立，
∴(x2−2x+31−x)min=2 2，即a≤2 2，
∴实数a的取值范围是(−∞,2 2].
故答案为：(−∞,2 2].
利用对数函数的单调性求出当x≥1时，f(x)≥0，再利用分离参数求最值即可．
本题考查对数函数的单调性，分离参数求最值，属于中档题．
17.【答案】解：(1)根据题意，设黑球、白球、红球分别为事件A、B、C，
则P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=78P(B)+P(C)=38，
则P(A)=58，P(B)=28，P(C)=18，
则袋中黑球、白球、红球的个数分别为：5，2，1，
则从中任取两个球共有C82=28种取法，
而取出的两个球颜色不相同共有C51⋅C21+C51+C21=17种取法，
则取出的两个球颜色不相同的概率为1728；
(2)若有放回的取球，求取出的两个球一个是白色一个是红色的概率为C218×18+18×C218=116.
【解析】(1)根据题意，设黑球、白球、红球分别为事件A、B、C，从而可建立方程组，分别求出不同颜色球的个数，利用古典概型可解；
(2)利用古典概型可解．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意可知，A=5，34T=π3−(−π24)=3π8，解得T=π2，
故ω=2ππ2=4，
∴f(x)=5sin(4x+φ)，
∵(π3,−5)在f(x)的图象上，
∴5sin(4×π3+φ)=−5，即4×π3+φ=3π2+2kπ，k∈Z，解得φ=π6+2kπ,k∈Z，
∵0<φ<π2，
∴φ=π6，
故f(x)=5sin(4x+π6)；
(2)f(x)≤5 22，即sin(4x+π6)≤ 22，即3π4+2kπ≤4x+π6≤9π4+2kπ,k∈Z，解得7π48+kπ2≤x≤25π48+kπ2,k∈Z，
故不等式f(x)≤5 22的解集为[7π48+kπ2,25π48+kπ2],k∈Z.
【解析】(1)根据图象求出A，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式；
(2)根据已知条件，结合三角函数的有界性，即可求解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为S=12bcsinA= 34(b2+c2−a2)，
所以12bcsinA= 34×2bccsA，
解得tanA= 3，又A∈(0,π)，可得A=π3.
(2)根据余弦定理，a2=b2+c2−2bccsA，
所以，a2=32+62−2×3×6×12=27，解得a=3 3，
因为D为BC的中点，则AD为BC边的中线，
根据平行四边形对角线的平方的和等于四条边的平方和，可得2(9+36)=27+4AD2，
∴AD=3 72.
即线段AD的长度为3 72.
【解析】(1)利用余弦定理和三角形的面积公式以及同角三角函数基本关系式可求tanA的值．
(2)由余弦定理可得a2，根据平行四边形对角线的平方的和等于四条边的平方和，可得AD的长度．
本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)易知评分在区间[50,60),[70,80)的人数分别为100×0.016×10=16，100×0.04×10=40，
所以评分在区间[70,80)的人数与评分在区间[50,60)的人数之差为40−16=24(人)；
(2)易知在频率分布直方图中面积最大的矩形条所在区间为[70,80),
所以业主对物业服务的满意程度给出评分的众数为75(分)，
因为在区间[50,80)的频率为10(0.016+0.03+0.04)=0.86<0.9，在区间[50,90)的频率为10(0.016+0.03+0.04+0.01)=0.96>0.9，
所以业主对物业服务的满意程度给出评分的90%分位数在区间[80,90)内，
不妨设业主对物业服务的满意程度给出评分的90%分位数为x，
此时0.86+(x−80)×0.01=0.9，
解得x=84；
(3)易知业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分x−=10(55×0.016+65×0.03+75×0.04+85×0.01+95×0.004)=70.6，
因为70.6100=0.706<0.8，
故物业公司需要对物业服务人员进行再培训．
【解析】(1)由题意，先求出评分在区间[50,60),[70,80)的人数，进而即可求解；
(2)根据众数和百分位数的定义以及计算方法，列出等式进行求解即可；
(3)先求出业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分，得到小区物业服务满意度，进而即可求解．
本题考查频率分布直方图以及平均数、众数和百分位数的应用，考查了逻辑推理和运算能力．
21.【答案】解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接PO，如图，
则O为BD的中点，
由于P是DD1的中点，故PO//BD1，
∵PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，
所以BD1//平面PAC；
(2)连接B1P，B1O，
因为PA=PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，
因为AA1//BB1，AA1⊥平面ABCD，所以BB1⊥平面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC，
由底面ABCD是菱形，得AC⊥BD，
又BB1∩BD=B，BB1，BD⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1，
又B1O⊂平面BDD1B1，所以B1O⊥AC，
则∠B1OP为二面角B1−AC−P的平面角，
B1O= 22+(12)2= 172，PO= 12+(12)2= 52，B1P= 12+12= 2，
由余弦定理可知cs∠B1OP=174+54−22× 172× 52=7 8585，
∴二面角B1−AC−P的余弦值为7 8585.
【解析】(1)连接BD交AC于点O，连接PO，根据线面平行的判定定理求解；
(2)连接B1P，B1O，可证明∠B1OP为二面角B1−AC−P的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可．
本题考查线面平行的判定定理，二面角的求解，化归转化思想，属中档题．
22.【答案】解：(1)由题意得|AC|=4，|AB|=4，∠BAC=π3，
∴|AC+AB|2=|AC|2+2AC⋅AB+|AB|2=16+2×4×4×12+16=48，
∴|AC+AB|=4 3；
(2)以A为原点建立平面直角坐标系，如图所示：
设∠PAB=α，且α∈[0,π3]，则A(0,0)，B(4,0)，C(2,2 3)，P(csα,sinα)，
∴PC=(2−csα,2 3−sinα)，PB=(4−csα,−sinα)，
∴PB⋅PC=(2−csα)(4−csα)−sinα(2 3−sinα)=−6csα−2 3sinα+9=−4 3sin(α+π3)+9，
∵α∈[0,π3]，∴α+π3∈[π3,2π3]，
∴sin(α+π3)∈[ 32,1]，
∴PB⋅PC∈[9−4 3,3]，即PB⋅PC的取值范围为[9−4 3,3].
【解析】(1)利用向量的线性运算，即可得出答案；
(2)以A为原点建立平面直角坐标系，∠PAB=α，且α∈[0,π3]，利用向量法，可得PC=(2−csα,2 3−sinα)，PB=(4−csα,−sinα)，用α表示出PB⋅PC的函数表达式，结合三角函数的性质，即可得出答案．
本题考查平面向量数量积的性质和两角和差的三角函数，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．