2022-2023学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数z=2−i，则z−的虚部为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
2.已知向量|a|= 3，|b|=1，且|a−b|=2，则cs⟨a,a+b⟩=( )
A. 12B. 13C. 32D. 33
3.当今世界面临着百年未有之大变局，中美关系健康稳定发展对维护世界和平、经济复苏等起到积极作用，如图展示了2007年−2022年中国和美国自对方国家的进口额占本国总进口额的比重变化情况，从图中得出如下结论最准确的是( )
A. 在2007年到2022年期间，中国对美国的出口占比相对较高，中国对美国的出口占美国全部进口总额的比例一直保持在15%以上
B. 在2007年到2022年期间，中国从美国进口额占中国总进口额之比出现了大幅波动，在2015年时，这一比例达到峰值，但在2019年和2021年时则分别下降至最低点
C. 美国自中国进口额占比逐年下降，2018年后美国自中国的进口额占比下降速度加快
D. 中国市场对美国的依赖度正在降低，从长期趋势来看，中国从美国进口所占比例在2015年达到峰值后开始逐渐下降
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=4，b=2 7，B=π3，则c=( )
A. 2B. 2或6C. 6D. 6
5.已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列说法正确的是( )
A. 若α∩β=l且α⊥β，m⊂α，m⊥l，则m⊥β
B. 若m//n，则α//β
C. 若α∩β=l且m⊥l，n⊥l，则α⊥β
D. 若α//β，则m//n
6.已知cs(α+π6)=13，α∈(0,π2)，则sin(π6−2α)=( )
A. 79B. −79C. −4 29D. 4 29
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则下列结论不正确的是( )
A. f(x)=f(π6−x)
B. f(x)图像关于(−π12,0)对称
C. f(x)在区间(π6,2π3)上单调递减
D. f(x)在区间(5π12,11π12)上无最大值
8.在等腰直角三角形△ABC中，∠A=90∘，AE=λAB，AF=μAC，M为EF的中点，满足|AM|=12|AB|，则λ2+μ2的值为( )
A. 23B. 1C. 12D. 13
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.进入五月中旬以来，我州连续出现极端高温天气，其中连续8天每天的最高气温分别为38，39，39，41，40，39，37，37，(单位 ℃)，则( )
A. 该组数据的平均数为38.75B. 该组数据的方差为2716
C. 该组数据的第75百分位数为39D. 该组数据的极差为4
10.复数z1=a+i，z2=1−i，a∈R，则下列说法一定正确的是( )
A. |z1+z2|= (z1+z2)2
B. 若z1⋅z2为纯虚数，则a=−1
C. 当a=1时，z1与z2互为共轭复数
D. |z1−z2|表示复平面内点(a,1)与(1,−1)两点间的距离
11.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是( )
A. cs(A+B)=csC
B. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
C. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
D. 若a2+b2−c2=2absinC，则△ABC为等腰三角形
12.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点，点F是正方形A1B1C1D1内一动点(含边界)，则下列说法中不正确的是( )
A. BC1⊥AC
B. 存在点F使得D1F//平面BC1E
C. 存在点F使得DF⊥平面BC1E
D. 平面BC1E截正方体所得的两部分体积比为7：17(或17：7)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.向量a=(2,1)，b=(x,−1)，且a//b，则x=______.
14.复数z=i2023，则1z=______.
15.
16.在△ABC中，G为△ABC的重心，S△ABC=9 3，cs∠BAC=12，则GB⋅GC的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
若复数z=(m2−m−2)+(m2−1)i，i为虚数单位，m为实数.
(1)若z为纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围.
18.(本小题12分)
今年因干旱西昌邛海水位比常年下降约一米，某校校本课程安排同学制定合理的节水方案，对西昌市城区常住居民用水情况进行了抽样调查，该同学获得了西昌市城区常住属民去年100个家庭的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[1.0,1.5),[1.5,2.0),[2.0,2.5),⋯,[4.0,4.5)分成7组，制成了如图的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值；
(2)估计西昌市城区常住居民家庭月均用水量的中位数；
(3)若西昌市城区常住居民有15万个家庭，估计全市常住居民中月均用水量不低于3吨的家庭数，并说明理由.
19.(本小题12分)
如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中每条棱都相等，E、F分别是BC、AC1的中点.
(1)证明EF//平面ABB1A1；
(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
20.(本小题12分)
请从下列条件①csinB=bcs(C−π6)；②csB=2a−b2c；③(a2+b2−c2)tanC= 3ab中选取一个作为已知条件，补充在横线上，并做出解答.
已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，满足____.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分
(1)求sinC的值；
(2)若c= 3，a=3b，求△ABC的面积
21.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD为等腰梯形，AD//BC，∠ABC=60∘，PA=AD=AB=12BC=1.
(1)求证PB⊥AC；
(2)求二面角A−PB−C的余弦值.
22.(本小题12分)
已知向量a=( 2sinx, 2csx)，b=(sinx,2csx−sinx)，设函数f(x)=a⋅b−3 22.
(1)求f(π4)的值；
(2)当x∈(−π4,π8)时，g(x)=sin4x+ 2mf(x)−3有零点，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：复数z=2−i，则z−=2+i，
所以z−的虚部为1.
故选：C.
利用共轭复数的意义，结合复数的概念求解作答．
本题主要考查了共轭复数的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意得|a−b|2=4，即a2−2a⋅b+b2=4，
∵|a|= 3，|b|=1，
∴3−2a⋅b+1=4，
∴a⋅b=0，
∴|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 3+1=2，
则cs⟨a,a+b⟩=a⋅(a+b)|a||a+b|=a2+a⋅b 3×2=32 3= 32.
故选：C.
根据向量数量积的运算律得a⋅b=0，再利用向量夹角公式即可得到答案．
本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：在2007年到2022年期间，中国对美国的出口占比相对较高，中国对美国的出口占美国全部进口总额的比例，2008年为15%，2022年为14.2%，故A错误；
美国自中国进口额占比，2019年为16.3%，2020为16.5%，故C错误；
在2007年到2022年期间，中国从美国进口额占中国总进口额之比出现了大幅波动，在2015年时，这一比例达到峰值10.05%，但2022年时下降至最低点6.5%，故B错误；
中国市场对美国的依赖度正在降低，从长期趋势来看，中国从美国进口所占比例在2015年达到峰值后开始逐渐下降，故D正确．
故选：D.
根据图中信息逐项分析即可．
本题考查统计图表相关知识，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，a=4，b=2 7，B=π3，由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
得28=16+c2−4c，即c2−4c−12=0，而c>0，解得c=6，
所以c=6.
故选：C.
根据给定条件，利用余弦定理求解作答．
本题考查的知识要点：余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：若α∩β=l且α⊥β，m⊂α，m⊥l，由面面垂直性质定理得出m⊥β，故A正确；
若m//n，且m⊂α，n⊂β，则α//β或α与β相交，故B错误；
若m⊂α，n⊂β，α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α与β相交，可能垂直，也可能不垂直，故C错误；
由m⊂α，n⊂β，α//β，得m//n或m与n异面，故D错误．
故选：A.
根据线线、线面的位置关系，结合平面的基本性质即可判断空间中线线、线面、面面的位置关系．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：sin(π6−2α)=cs[π2−(π6−2α)]=cs(2α+π3)=cs2(α+π6)
=2cs2(α+π6)−1=2×19−1=−79.
故选：B.
根据诱导公式和倍角公式进行求解．
本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由图可知f(0)=sinφ=12，又|φ|<π2，
∴φ=π6，又T2<2π3∴πω<2π3<2πω，∴32<ω<3，
又f(2π3)=−1，且有7π6<2π3ω+π6<13π6，
∴2π3ω+π6=3π2，∴ω=2，
∴f(x)=sin(2x+π6)，
对于A选项，∵f(π6−x)=sin[2(π6−x)+π6]=sin(π2−2x)=cs2x≠f(x)，∴A选项错误；
对于B选项，∵f(−π12)=sin[2(−π12)+π6]=0，函数f(x)的图象关于点(−π12,0)对称，∴B选项正确；
对于C选项，∵当x∈(π6,2π3)时，2x+π6∈(π2,3π2)，而正弦函数y=sinx在(π2,3π2)上单调递减，
∴f(x)在区间(π6,2π3)上单调递减，∴C选项正确；
对于D选项，∵当x∈(5π12,11π12)时，2x+π6∈(π,2π)，而正弦函数y=sinx在(π,2π)上无最大值，
∴f(x)在区间(5π12,11π12)上无最大值，∴D选项正确．
故选：A.
根据给定的函数图象，求出φ，ω，再逐项判断作答．
本题考查三角函数的性质，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：依题意，在△ABC中，∠A=90∘，
则|AC|=|AB|，AB⋅AC=0，
由AE=λAB，AF=μAC，M为EF的中点，
得AM=12(AE+AF)=12(λAB+μAC)，
因此AM2=14(λ2AB2+μ2AC2+2λμAB⋅AC)=λ2+μ24AB2，
而|AM|=12|AB|，
即AM2=14AB2，
所以λ2+μ2=1.
故选：B.
根据给定条件，利用AB,AC表示AM，再利用数量积的运算律求解即可．
本题考查了平面向量基本定理，重点考查了平面向量数量积运算，属基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，该组数据的平均数x−=18(37×2+38+39×3+40+41)=38.75，A正确；
对于B，该组数据的方差s2=18[(74)2×2+(34)2+(14)2×3+(54)2+(94)2]=2716，B正确；
对于C，该组数据由小到大排列为：37，37，38，39，39，39，40，41，由75%×8=6，
所以该组数据的第75百分位数为39+402=39.5，C错误；
对于D，该组数据的极差为41−37=4，D正确．
故选：ABD.
根据给定的数据，利用平均数、方差、第p百分位数、极差的定义依次判断各选项作答．
本题主要考查统计的知识，属于基础题．
10.【答案】ABCD
【解析】解：复数z1=a+i，z2=1−i，a∈R，
对于A，z1+z2=(a+i)+(1−i)=a+1∈R，|z1+z2|=|a+1|= (z1+z2)2，A正确；
对于B，z1z2=(a+i)(1−i)=(a+1)+(1−a)i，由z1z2为纯虚数，得a+1=01−a≠0，解得a=−1，B正确；
对于C，当a=1时，z1=1+i，z1与z2互为共轭复数，C正确；
对于D，|z1−z2|表示复平面内复数z1对应点(a,1)与z2对应点(1,−1)两点间的距离，D正确．
故选：ABCD.
根据给定条件，利用复数加法及模的意义判断A；利用复数乘法运算及纯虚数的意义判断B；利用共轭复数的意义判断C；利用复数的几何意义判断D作答．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于选项A，cs(A+B)=cs(π−C)=−csC，即选项A错误；
对于选项B，因为△ABC为锐角三角形，所以A,B∈(0,π2)，且A+B>π2，
所以0<π2−B而正弦函数y=sinx在(0,π2)上单调递增，
所以sinA>sin(π2−B)=csB，即选项B正确；
对于选项C，由正弦定理及acsA=bcsB，得sinAcsA=sinBcsB，即tanA=tanB，
又A，B∈(0,π)，所以A=B，即△ABC为等腰三角形，故选项C正确；
对于选项D，由余弦定理得a2+b2−c2=2abcsC=2absinC，
所以csC=sinC，即tanC=1，
因为0所以C=π4，不能确定△ABC的形状，即选项D错误．
故选：BC.
选项A，利用诱导公式，即可判断；
选项B，结合诱导公式与正弦函数的单调性，可得解；
选项C，利用正弦定理化边为角，再由同角三角函数的商数关系，可得A=B；
选项D，结合余弦定理与同角三角函数的商数关系，推出C=π4，不能确定△ABC的形状．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，正弦函数的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：对于A中，连接A1C1，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，可得AC//A1C1，
所以异面直线与BC1与AC所成的角即为直线A1C1与BC1所成的角(或其补角)，
不妨设正方体的棱长为2，则A1B=BC1=C1A1=2 2，
则△A1BC1为平行四边形，则∠A1C1B=π3，所以A错误；
对于B中，取AD的中点G，连接EG，AD1，BG，C1E，
因为E为DD1的中点，可得EG//AD1，又因为AD1//BC1，所以EG//BC1，
所以平面BC1E即为平面BC1EG，
再取B1C1，BB1的中点，分别连接AN，MN，D1M，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，由N为BB1的中点，且E为DD1的中点，可得AN//C1E，
因为AN⊄平面BC1EG，C1E⊂平面BC1EG，所以AN//平面BC1EG，
同理可证AD1//平面BC1EG，
又因为AD1∩AN=A且AD1，AN⊂平面AD1MN，所以平面AD1MN//平面BC1EG，
所以只需点F在线段D1M上，则D1F//平面BC1E，所以B正确；
对于C中，取BC1的中点P，连接EP和D1M，可得EP//D1M，
若存在点F使得DF⊥平面BC1E，且EP⊂平面BC1E，所以DF⊥EP，
因为EP//D1M，所以DF⊥D1M
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，可得DD1⊥平面A1B1C1D1，
又因为D1M⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥D1M，
因为DF∩DD1=D且DF，DD1⊂平面DD1F，所以D1M⊥平面DD1F，
又因为D1F⊂平面DD1F，所以D1M⊥D1F，
在正方形A1B1C1D1中，D1M与D1F不垂直，所以不存在点F使得DF⊥平面BC1E，
所以C错误；
对于D中，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，可得正方体的体积为8，
由平面BC1E即为平面BC1EG，所以截得的棱台DEG−BCC1的体积为：
V1=13⋅(S△DEG+ S△DEG⋅S△BCC1+S△BCC1)⋅CD=13⋅(12+1+2)×2=73，
所以两部分的体积比为V18−V1=738−73=717，所以D正确．
故选：AC.
根据直线A1C1与BC1所成的角为π3，可判定A错误；
取AD的中点G，取B1C1，BB1的中点，分别证得AN//平面BC1EG和AD1//平面BC1EG，得到平面AD1MN//BC1EG，可判定B正确；
取BC1的中点P，连接EP和D1M，证得D1M⊥平面DD1F，得到D1M⊥D1F，结合D1M与D1F不垂直，可判定C错误；
求得截得的棱台DEG−BCC1的体积，进而可判定D正确．
本题考查线线垂直的判断，线面平行的判断，线面垂直的判断，正方体中的截面问题，属中档题．
13.【答案】−2
【解析】解：向量a=(2,1)，b=(x,−1)，且a//b，
所以x=2×(−1)=−2.
故答案为：−2.
根据给定条件，利用共线向量的坐标表示计算作答．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
14.【答案】i
【解析】解：∵z=i2023=i4×505+3=i3=−i，
∴1z=1−i=i.
故答案为：i.
根据i的周期性求出z，然后根据复数的除法运算即可求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
15.【答案】

【解析】
16.【答案】−6
【解析】解：延长AG交BC于点D，因为G是△ABC的重心，则D为BC的中点，
AG=23AD=13(AB+AC)，GB=AB−AG=23AB−13AC，
GC=GB+BC=23AB−13AC+(AC−AB)=23AC−13AB，
由cs∠BAC=12，∠BAC∈(0,π)，得sin∠BAC= 32，
由三角形面积公式得12|AB|⋅|AC|⋅ 32=9 3，解得|AB|⋅|AC|=36，
则GB⋅GC=(23AB−13AC)⋅(23AC−13AB)=19(5AB⋅AC−2AB2−2AC2)
≤19(5AB⋅AC−4|AB|⋅|AC|)=19(5|AB|⋅|AC|⋅csπ3−4|AB|⋅|AC|)
=−16|AB|⋅|AC|=−6，
当且仅当|AB|=|AC|=6等号成立，此时△ABC为等边三角形．
故答案为：−6.
由平面向量的线性运算将GB,GC用AB,AC表示出来，再利用三角形面积公式得|AB|⋅|AC|=36，再根据向量数量积的运算律结合基本不等式即可得到最值．
本题考查平面向量的线性运算和数量积，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由z为纯虚数得m2−m−2=0m2−1≠0，解得m=2.
(2)由z在复平面内对应的点位于第三象限，
所以m2−m−2<0m2−1<0，即−1所以m的取值范围是(−1,1).
【解析】(1)根据纯虚数的概念得出关于m的等式与不等式，求解即可；
(2)根据条件得出该复数的实部和虚部都为负数，得出关于实数m的不等式组，解不等式组即可．
本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)由题意知：0.5×[0.10+a+0.40+0.50+0.40+0.30+0.10]=1，
所以a=0.20；
(2)因为0.5×[0.10+0.20+0.40+0.50]=0.60>0.50，
所以月均用水量中位数在2.5到3之间，设中位数为x，
则0.5×0.10+0.5×0.20+0.5×0.40+(x−2.5)×0.50=0.5，
解得x=2.8，
故西昌市城区常住居民家庭月均用水量的中位数为2.8吨；
(3)由题意知：月均用水量不低于3吨的频率为0.5×[0.40+0.30+0.10]=0.4，
月均用水量不低于3吨的家庭数为15×0.4=6(万).
【解析】(1)根据小矩形面积为1得到关于a的方程，解出即可；
(2)首先分析出均用水量中位数在2.5到3之间，设中位数为x，得到方程解出即可；
(3)计算相对应的频率，最后乘以总家庭数．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
19.【答案】(1)证明：如图，取AC中点M，连接ME，FM，
在直三棱柱ABC−A1B1C1，AA1//CC1，AA1=CC1，
又F为AC1中点，M为AC中点，∴FM//CC1，则FM//AA1，
∵AA1⊂平面ABB1A1，FM⊄平面ABB1A1，∴FM//平面ABB1A1，
又E为BC中点，M为AC中点，∴ME//AB，
∵AB⊂平面ABB1A1，ME⊄平面ABB1A1，∴ME//平面ABB1A1，
又FM∩ME=M，FM，ME⊂平面EFM，所平面EFM//平面ABB1A1，
∵EF⊂平面EFM，∴EF//平面ABB1A1；
(2)解：连接AE，C1E，
直三棱柱ABC−A1B1C1中每条棱都相等设为a，即AB=AC=a，
又E为BC中点，∴AE⊥BC，且AE= 32a，
又CC1⊥平面ABC，AE，AC⊂平面ABC，
∴CC1⊥AE，CC1⊥AC，则AC1= CC12+AC2= 2a，
∵BC∩CC1=C，BC，CC1⊂平面BCC1B1，∴AE⊥平面BCC1B1，
∴∠AC1E即为直线AC1与平面BCC1B1所成角，
∴sin∠AC1E=AEAC1= 32a 2a= 64，则直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 64.
【解析】(1)构造面面平行，由面面平行的性质证明线面平行即可；
(2)根据线面角的定义可得∠AC1E即为直线AC1与平面BCC1B1所成角，再计算长度即可得所成角的正弦值．
本题主要考查线面平行的证明，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)选条件①，在△ABC中，由正弦定理及csinB=bcs(C−π6)，
可得sinCsinB=sinBcs(C−π6)，
而sinB>0，
则sinC=csCcsπ6+sinCsinπ6，
即sinC= 32csC+12sinC，
整理得tanC= 3，
而0于是C=π3，
所以sinC= 32.
选条件②，在△ABC中，由正弦定理及csB=2a−b2c，
可得csB=2sinA−sinB2sinC，
即2sinCcsB=2sinA−sinB，
则2sinCcsB=2sin(B+C)−sinB，
整理得2sinBcsC=sinB，
又sinB>0，
于是csC=12，
而0可得C=π3，
所以sinC= 32.
选条件③，在△ABC中，由余弦定理及(a2+b2−c2)tanC= 3ab，
可得2abcsCtanC= 3ab，
所以csC⋅sinCcsC= 32，
所以sinC= 32.
(2)由(1)知，选条件①，②，C=π3，
而c= 3,a=3b，
由余弦定理a2+b2−c2=2abcsC，
得9b2+b2−3=3b2，
解得b2=37，
所以△ABC的面积S△ABC=12absinC=32b2× 32=9 328.
选条件③，由sinC= 32，0可得csC=12或csC=−12，
又c= 3,a=3b，
由余弦定理a2+b2−c2=2abcsC，
可得9b2+b2−3=3b2或9b2+b2−3=−3b2，
解得b2=37或b2=313，
所以△ABC的面积S=12absinC=32b2× 32=9 328或S=9 352.
【解析】(1)选①，利用正弦定理边化角，再利用差角的余弦求解作答；选②，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解作答；选③，利用余弦定理求解作答．
(2)选①或②，由(1)中C=π3，利用余弦定理、三角形面积公式计算作答；选③，由(1)求出csC，再利用余弦定理、三角形面积公式计算作答．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：在△ABC中，AB=12BC=1,∠ABC=60∘，
则AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcsB=1+4−2×1×2×12=3，
即AC2+AB2=4=BC2，
因此AC⊥AB，又PA⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，
则AC⊥PA，而PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，
于是AC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，
所以PB⊥AC；
(2)取PB中点M，连接AM、CM，如图，
由(1)知AC⊥PA，AC= 3，而PA=1，则PC=2=BC，又AB=1，
于是AM⊥PB，CM⊥PB，且AM=12PB= 22,CM= BC2−(12PB)2= 142，
因此∠AMC是二面角A−PB−C的平面角，由(1)知AC⊥平面PAB，而AM⊂平面PAB，
因此AC⊥AM，cs∠AMC=AMCM= 22 142= 77，
所以二面角A−PB−C的余弦值为 77.
【解析】(1)利用余弦定理结合勾股定理的逆定理证明AC⊥AB，再利用线面垂直的性质、判定推理作答；
(2)取PB中点M，作出二面角的平面角，再在直角三角形中求解作答．
本题考查了面面垂直的证明和线面角，二面角的计算，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意知：f(x)=a⋅b−3 22= 2sin2x+2 2cs2x− 2sinxcsx−3 22
= 2cs2x− 2sinxcsx− 22= 22cs2x− 22sin2x=cs(2x+π4)，
∴f(π4)=− 22；
(2)由(1)知 f(x)= 22cs2x− 22sin2x，
∴g(x)=sin4x+ 2mf(x)−3=2sin2xcs2x+m(cs2x−sin2x)−3有零点，
令t=cs2x−sin2x= 2cs(2x+π4)，
因为x∈(−π4,π8)，所以2x+π4∈(−π4,π2)，
则cs(2x+π4)∈(0,1],则t∈(0, 2],2sin2xcs2x=1−t2,
所以h(t)=1−t2+mt−3=−t2+mt−2在t∈(0, 2]上有零点，
即−t2+mt−2=0在t∈(0, 2]上有解，即m=t+2t在t∈(0, 2]有解，
显然t+2t≥2 2，当且仅当t= 2时等号成立，
故m的取值范围为[2 2,+∞).
【解析】(1)利用向量数量积坐标公式结合二倍角公式和辅助角公式即可得到f(x)的解析式，代入x=π4即可；
(2)化简g(x)=2sin2xcs2x+m(cs2x−sin2x)−3，利用整体换元法结合对勾函数性质即可得到答案．
本题主要考查三角恒等变换，函数的零点与方程的根的关系，属中档题．