2022-2023学年重庆市长寿区高一（下）期末数学试卷（B卷）（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年重庆市长寿区高一（下）期末数学试卷（B卷）（含详细答案解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若向量a=(3,2)与b=(x,−6)共线，则x的值为( )
A. −4B. 4C. −9D. 9
2.设i为虚数单位，已知复数z=1−i，则( )
A. z的虚部是iB. z的模为1
C. z的共轭复数是−1+iD. z在复平面内对应的点位于第四象限
3.某校高一(1)班有30名男生和20名女生，采用分层随机抽样的方法从中抽取10名学生进行学习习惯调查，则抽取的男生人数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
4.在已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a2+b2A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
5.投掷两颗质地均匀的正方体骰子，点数之和为“11”的概率是( )
A. 16B. 118C. 19D. 124
6.某圆柱的底面直径和高都等于4，则该圆柱的内切球的表面积为( )
A. 64πB. 16πC. 323πD. 1283π
7.已知|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为π6，则|a−2b|=( )
A. 13B. 17−4 3C. 13D. 17−4 3
8.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为xA−和xB−，标准差分别为sA和sB，则( )
A. xA−>xB−，sA>sBB. xA−sB
C. xA−>xB−，sA9.设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中真命题的个数是( )
(1)若m//n，n⊂α，则m//α；
(2)若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n；
(3)若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β；
(4)若n//α，m⊥n，则m⊥α；
(5)若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，BC= 3，点E是AA1的中点，则异面直线A1C与BE所成角的余弦值为( )
A. 24
B. 34
C. 22
D. 32
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若复数z=21+i，其中i为虚数单位，则z=______.
12.某高三学生近5次数学考试的成绩茎叶图如图所示，则这组数据第80百分位数是______.
13.半径为3，弧长为2π的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为______.
14.已知向量a,b在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则向量a+b在向量a方向上的投影向量的坐标为______.
15.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2,csB=79，则△ABC的面积S=______.
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，b=2,C=π3.
(1)若a=3，求c；
(2)若c= 6，求A.
17.(本小题15分)
已知甲、乙两个盒子都装有4个外形完全相同的小球.甲盒中是3个黑色小球(记为A1，A2，A3)和1个红色小球(记为B)，乙盒中是2个黑色小球(记为a1，a2)和2个红色小球(记为b1，b2).
(1)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，共有多少种不同的结果？请列出所有的结果；
(2)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，求取出的2个小球中至少有一个是黑色的概率.
18.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F分别为棱DD1、BB1的中点，求证：
(1)CE//平面A1C1F；
(2)求三棱锥E−ABC的体积.
19.(本小题15分)
为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，长寿区政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,1),[1,2),⋯,[8,9]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)直方图中a的值；
(2)由频率分布直方图估计长寿区居民月用水量的平均数是多少？(每组数据用该组区间中点值作为代表)；
(3)若长寿区政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，求x的估计值.
20.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90∘，平面PAD⊥底面ABCD，Q、M分别为AD、PC的中点.PA=PD= 2,BC=12AD=1，CD= 3.
(1)求证：直线PQ⊥平面ABCD；
(2)求二面角M−BQ−C的平面角的大小.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意，向量a=(3,2)与b=(x,−6)共线，
则有2x=3×(−6)=−18，解可得x=−9，
故选：C.
根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于x的方程，解可得答案．
本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为z=1−i，所以z的虚部是−1，
|z|= 1+1= 2，z的共轭复数是1+i，
z在复平面内对应的点为(1,−1)，位于第四象限．
故选：D.
由复数的相关概念逐项判断即可求解．
本题主要考查复数的相关概念，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：抽取的男生人数为10×3030+20=6人．
故选：D.
由分层抽样的特点按比例求解即可．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab<0，
则C为钝角，即△ABC是钝角三角形．
故选：C.
由余弦定理求解即可．
本题主要考查三角形形状的判断，余弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：列表如下：
从列表中可以看出，所有可能出现的结果共有36种，这些结果出现的可能性相等．
∵点数的和为“11”的结果共有2种．
∴点数的和为“11”的概率P=236=118.
故选：B.
利用列举法列出所有可能出现的情况，求出所求点数之和为“11”的情况数目，利用概率公式进行计算．
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn.
6.【答案】B
【解析】解：因为该圆柱的底面直径和高都等于4，
所以该圆柱的内切球的半径等于该圆柱的底面半径，
则该圆柱的内切球的表面积为4π×22=16π.
故选：B.
由底面直径和高相等得出该圆柱的内切球的半径，进而得出内切球的表面积．
本题主要考查了圆柱的内切球问题，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意可得：
(a−2b)2=|a|2−4a⋅b+4|b|2=1−4×1×2×csπ6+4×4=17−4 3，
所以|a−2b|= 17−4 3.
故选：D.
根据向量数量积的性质与定义，即可求解．
本题考查向量数量积的基本运算，属基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由折线图得：
A中的数值总体上小于B中的数值，故x−AA中的数值相对分散，B中的数值相对集中，故sA>sB，
故选：B.
利用折线图的性质、平均数、方差的定义直接求解．
本题考查平均数、标准差的运算，考查折线图、平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】A
【解析】解：对于(1)，若m//n，n⊂α，则m//α或m⊂α，故(1)错误；
对于(2)，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n或m，n异面，故(2)错误；
对于(3)，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，不一定能得到m⊥β，所以无法得到α⊥β，故(3)错误；
对于(4)，若n//α，m⊥n，不一定能得到m⊥α，故(4)错误；
对于(5)，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，可以得到m⊥n，故(5)正确．
故选：A.
根据线面平行的判定可判断(1)；根据面面平行的定义可判断(2)；根据线面垂直和面面垂直的判定及性质可判断(3)、(4)、(5).
本题考查空间中直线与平面的位置关系的判断，属中档题．
10.【答案】B
【解析】解：如图所示，取DD1中点为F，并连接FE、FC、FA1，
在矩形ADD1A1中，E、F分别为AA1、DD1的中点，
所以EF//AD，EF=AD，
在矩形ABCD中，AD//BC、AD=BC，
所以EF//BC，EF=BC，
所以四边形BCFE为平行四边形，所以BE//CF，
所以∠A1CF为异面直线A1C与BE所成角，
又A1C= 12+22+( 3)2=2 2，FC= 12+12= 2，A1F= ( 3)2+12=2，
所以cs∠A1CF=FC2+A1C2−A1F22FC×A1C=2+8−42× 2×2 2=34，
所以异面直线A1C与BE所成角的余弦值为34.
故选：B.
取DD1中点为F，易证∠A1CF为异面直线A1C与BE所成角，分别求出A1C，FC，A1F的值，再利用余弦定理求出答案．
本题主要考查异面直线所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】1−i
【解析】解：由z=21+i可得：
z=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，
故答案为：1−i.
利用复数的除法运算性质化简即可求解．
本题考查了复数的运算性质，涉及到复数的除法运算，考查了学生的运算能力，属于基础题．
12.【答案】87
【解析】解：由茎叶图可知数学考试的成绩为(按升序排列)：75，78，81，84，90，
因为5×0.8=4，所以这组数据第80百分位数是84+902=87.
故答案为：87.
根据题意结合百分位数的概念运算求解．
本题考查百分位数的概念，属于基础题．
13.【答案】2 2π3
【解析】解：如下图所示，
若用半径为3，弧长为2π的扇形作为侧面围成一个圆锥，
则圆锥底面周长为2π，圆锥母线长为3，
则圆锥底面周长2πr=2π，得r=1，
所以圆锥底面面积为S=πr2=π，
因为OB=1，BS=3，
所以圆锥的高h=OS= BS2−OB2=2 2，
所以该圆锥的体积为13Sh=2 2π3.
故答案为：2 2π3.
根据圆锥体积公式和图形关系直接计算求解．
本题主要考查圆锥体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】(5,0)
【解析】解：由题意得，a=(3,0),b=(2,2)，
所以a+b=(5,2)，
又因为向量a方向是x轴正方向，
所以向量a+b在向量a方向上的投影向量的坐标为(5,0).
故答案为：(5,0)
根据向量加法的运算法则和投影向量的概念求解．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
15.【答案】2 2
【解析】解：因为a+c=6，b=2，
所以csB=a2+c2−b22ac=(a+c)2−2ac−b22ac=79，
解得ac=9，
所以sinB= 1−cs2B=4 29，
所以△ABC的面积S=12acsinB=12×9×4 29=2 2.
故答案为：2 2.
由题干所给数据结合余弦定理可先求出ac的值，再由sin2B+cs2B=1求出sinB的值，再代入面积公式S=12acsinB求出答案．
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)在△ABC中，由余弦定理得，c2=a2+b2−2abcsC，
则c2=9+4−2×3×2×12=7，
所以c= 7；
(2)在△ABC中，由正弦定理得，bsinB=csinC，
所以sinB=bsinCc=2× 32 6= 22，
又因为0所以A=π−(B+C)=π−(π4+π3)=5π12.
【解析】(1)根据余弦定理直接解三角形即可；
(2)根据正弦定理得到sinB= 22，进而得到B=π4，从而求A.
本题主要考查了余弦定理，正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)共16种不同结果，总体记为Ω，
则Ω={A1a1,A1a2,A1b1,A1b2,A2a1,A2a2,A2b1,A2b2,A3a1,A3a2,A3b1,A3b2,Ba1,Ba2,Bb1,Bb2}.
(2)记A=“取出的2个小球中至少有一个是黑色”，
则ΩA={A1a1,A1a2,A1b1,A1b2,A2a1,A2a2,A2b1,A2b2,A3a1,A3a2,A3b1,A3b2,Ba1,Ba2}，
故P(A)=n(A)n(Ω)=1416=78.
【解析】(1)用列举法列出所有可能结果；
(2)利用古典概型的概率公式计算可得．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
18.【答案】解：(1)证明：取AA1中点G，连接EG，BG，
因为E为DD1的中点，所以GE=AD且GE//AD，
因为AD=BC且AD//BC，所以GE=BC且GE//BC，
所以四边形BCEG为平行四边形，故CE//BG，
因为G为AA1的中点，F为BB1中点，所以A1G=BF
因为A1G//BF，所以四边形A1FBG为平行四边形，故A1F//BG，
所以CE//A1F，
因为A1F⊂平面A1C1F，CE⊄平面A1C1F，
所以CE//A1C1F；
(2)因为S△ABC=12AB⋅BC=2，
又ED⊥平面ABC，且ED=1，
则VE−ABC=13S△ABC⋅ED=13×2×1=23.
【解析】(1)作出辅助线，证明出线线平行，得到线面平行；
(2)利用锥体体积公式进行求解．
本题考查线面平行的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题．
19.【答案】解：(1)由0.04+0.08+a+0.20+0.26+a+0.06+0.04+0.02=1，
解得：a=0.15.
(2)长寿区居民月用水量的平均数
x−=(0.5+7.5)×0.04+1.5×0.08+(2.5+5.5)×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+6.5×0.06+8.5×0.02
=4.07(吨).
(3)因[0,5)的频率为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，
[0,6)的频率为0.73+0.15=0.88>0.85，
故x的估计值为5+0.85−×(6−5)=5.8(吨).
所以有85%的居民每月的用水量不超过标准5.8(吨).
【解析】(1)结合图中数据，由直方图中所有长方形的面积之和为1列出等式，即可求出答案；
(2)由频率分布直方图中平均数的求法，直接计算即可；
(3)结合图中数据易知标准x在[5,6)中，由此即可求出x的估计值．
本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题．
20.【答案】解：(1)证明：由PA=PD，Q为AD中点，可得PQ⊥AD.
因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，PQ⊂平面PAD，
所以直线PQ⊥平面ABCD.
(2)连接QC，过点M作MH⊥QC于点H，过H作HG⊥QB于G，连接MG.
又M为PC中点，PQ⊥平面ABCD，所以MH//PQ，MH⊥平面ABCD，
因为QB⊂平面ABCD，所以MH⊥QB.
因为MH∩GH=H，MH，GH⊂平面GMH，所以QB⊥平面GMH.
因为GM⊂平面GMH，所以GM⊥QB，
则∠MGH为二面角M−BQ−C的平面角，大小记为θ.
点M到平面BQC的距离MH=12PQ=12，
H为QC中点，H到BQ距离HG=12，则tanθ=1，即θ=π4.
故二面角M−BQ−C的平面角的大小为π4.
【解析】(1)由等腰三角形的性质结合面面垂直的性质得出线面垂直；
(2)作辅助线，由线面垂直的判定证明GM⊥QB，结合二面角的定义、锐角三角函数求解即可．
本题考查线面垂直的证明，二面角的求解，属中档题．