专题1-2 常用逻辑用语（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

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一、充分条件与必要条件
二、充要条件
一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q
三、充分条件、必要条件与充要条件图表：
四、全称量词和存在量词
五、含量词的命题的否定

【题型一】命题真假的判定
【典例分析】
1．（2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于，，的方程没有正整数解”．经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为（ ）
（1）存在至少一组正整数组是关于，，的方程的解；
（2）关于，的方程有正有理数解；
（3）关于，的方程没有正有理数解；
（4）当整数时关于，，的方程有正实数解
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】当整数时方程没有正整数解，（1）错误，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确，当，满足条件，（4）正确，得到答案.
【详解】当整数时，关于，，的方程没有正整数解，故方程没有正整数解，（1）错误；
没有正整数解.即，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确；
方程，当，满足条件，故有正实数解，（4）正确.
故选：C
2．（2023·江苏·高三专题练习）下列命题中真命题有（ ）
①是一元二次方程；
②函数的图象与x轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】对于①，举反例即可判断；对于②，令，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断.
【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误；
②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确；
③中，互相包含的两个集合相等，③正确；
④中，空集不是本身的真子集，④错误．
故选：B
【提分秘籍】
【变式演练】
1（2022秋·重庆·高三校考期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【答案】D
【分析】ABC选项举出反例即可判断，D选项结合不等式的性质即可判断.
【详解】A选项：若，满足，但是，因此是假命题，故A错误；
B选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故B错误；
C选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故C错误；
D选项：因为，则，且，因此，因此是真命题，故D正确，
故选：D.
2．（2022·高三课时练习）给出下列命题：
①空间向量就是空间中的一条有向线段；
②在正方体中，必有；
③是向量的必要不充分条件；
④若空间向量满足，则．
其中正确的命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．0
【答案】B
【分析】对于①，有向线段不是向量，只是可以表示向量；对于②，根据向量相等的定义可知命题正确；对于③，若向量相等，则模一定相等，但若模相等，则方向不一定相同；对于④，当时，不一定平行．
【详解】对于①，有向线段可以表示向量，但不是向量，故①不正确；
对于②，根据正方体中，向量与的方向相同，模也相等，则，故②正确；
对于③，因为可以推出，推不出，故③正确；
对于④，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行．故④不正确.
故选：B.
【点睛】本题考查了命题真假的判断，考查了必要不充分条件，考查了空间向量的有关概念，属于基础题.
3．（2023·高一课时练习）对“是不全相等的正数”，给出下列判断：
①；②与及中至少有一个成立；
③不能同时成立，其中判断正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【详解】试题分析：由“是不全相等的正数”得：①中至少有一个不为0，所以是正确的；
②如：若，满足题意，所以与及中至少有一个成立是不正确的；
③如：若，所以，，能同时成立，所以是不正确的．
故选：B
考点：命题的否定与应用．
【题型二】充分不必要条件的判定
【典例分析】
1．（2023春·湖南·高一校联考期中）已知，为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】由，即成立，故充分性成立；
取，，则成立，但不成立，故必要性不成立.
因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）“ ”是“函数 在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】判断命题“ ”和“函数 在上单调递增”之间的逻辑推理关系，即可判断出答案.
【详解】当时，，对于函数，其图象对称轴为 ，
则函数 在上单调递增，
当时，图象对称轴为，故函数在上单调递增，
即“函数 在上单调递增”推不出“ ”成立，
故“ ”是“函数 在上单调递增”的充分不必要条件，
故选：A.
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2021·全国·高三专题练习）已知a，b∈R，则“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据0≤a≤1且0≤b≤1可以推出0≤ab≤1，当a＝－1，b＝－1时，满足0≤ab≤1推不出0≤a≤1且0≤b≤1，即可得出结论.
【详解】若“0≤a≤1且0≤b≤1”，则“0≤ab≤1”．
当a＝－1，b＝－1时，满足0≤ab≤1，但不满足0≤a≤1且0≤b≤1，
∴“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”成立的充分不必要条件．故选A.
【点睛】本题主要考查了充分不必要条件，属于中档题.
2．（2022秋·河北石家庄·高三石家庄市第十九中学校考阶段练习）设，，三个集合，则是的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由并集的运算可得,则，再取特例，，可得，得解.
【详解】解：因为，但，例如，，，
所以是的充分不必要条件，
故选A．
【点睛】本题考查了充要条件与集合间的包含关系及并集的运算,重点考查了集合思想,属中档题.
3（2023春·江苏常州·高二校考阶段练习）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若，由得出，若，由平行向量的坐标公式得出，从而得出答案.
【详解】若，则，所以；
若，则，解得，得不出．
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
【题型三】充分不必要条件求参
【典例分析】
1．（2022秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）若“-1