专题2-1 函数性质：中心对称与轴对称九种归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

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一、判定函数的奇偶性的常见方法：
（1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立；
（2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可得函数为偶函数；
（3）性质法：设的定义域分别为，那么它们的公共定义域上，奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇.
抽象函数对称性与周期性的判断如下：
若，则函数关于对称；
若，则函数关于中心对称；
若，则是的一个周期
二、奇偶性主要性质
(1)奇偶函数的性质
①偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反；
②奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同；
③奇函数在x＝0处有意义时，必有结论 f(0)＝0 ；
(2)奇偶性的判定
①“奇±奇”是奇 ，“偶±偶”是 偶 ，“奇×/÷奇”是 偶 ，“偶×/÷偶”是 偶 ，“奇×/÷偶”是 奇 ；
②奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变；③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数．
(2)常见奇函数
①f(x)＝eq \f(ax－1,ax＋1)②f(x)＝lgaeq \f(x－b,x＋b)③f(x)＝g(x)－g(－x) ④f(x)＝lga(eq \r(,x2＋1)＋x)
当然，还有f(x)＝sin x，f(x)＝tan x等等；
三、函数奇偶性的应用:
(1)一般用或;
(2)有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或.
四、周期性：
①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b.
②常见的周期函数有：
f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)或f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a.
五.中心对称结论如下：
（1）若函数满足，则的一个对称中心为
（2）若函数满足，则的一个对称中心为
（3）若函数满足，则的一个对称中心为.
六、轴对称性的常用结论如下：
若函数满足,则的一条对称轴为
若函数满足,则的一条对称轴为
若函数满足,则的一条对称轴为
(4)f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称；
热点考题归纳
【题型一】 奇偶性
【典例分析】
1．（2023·重庆九龙坡·高三重庆市杨家坪中学校考）若，则（ ）
A．2B．1C．0D．
2．（2024·江西·校联考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·全国·高三专题练习）函数是定义域为的奇函数，在上单调递增，且.则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数．若对任意恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·浙江宁波·高三联考）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对于任意，都有，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
【题型二】左右平移还原型“奇偶性”
【典例分析】
1.（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考）已知函数的定义域为，且函数为偶函数，函数为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
2.（2022·全国·高三专题练习）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3.（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）设函数定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列四个结论错误个数是（ ）
（1）
（2）为奇函数
（3）在上为减函数
（4）的一个周期为8
A．1B．2C．3D．4
【题型三】 轴对称函数
【典例分析】
1.（2023·陕西西安·高三西安中学校考）函数在上是增函数，函数是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知是定义在R上的函数，且函数的图象关于直线对称，当时，.若曲线在处的切线与函数的图象也相切，则实数a的值是 .
2.（2023春·江西南昌·高三南昌二中校考）定义在上的函数满足是偶函数，且，若，则
3.（2023春·广东珠海·高三校考）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则不等式的解集为 ．
【题型四】中心对称型函数
【典例分析】
1.对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心______.
2.（福建省泉州市2022-2023学年高三上学期期初数学试题）已知定义在上的奇函数满足，当时，．若与的图象交于点、、、，则（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（广东省深圳市人大附中学深圳学校2022年高三下学期数学试题）已知函数满足，若函数与图像的交点为，则____________.
2.（山西省运城中学校2022届高三冲刺模拟（一）数学（文）试题）定义在上的函数若满足：①对任意、，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当时，的取值范围为
A．B．C．D．
3.（云南省名校联盟2022-2023学年高三上学期9月大联考数学试题）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．2B．0C．D．
【题型五】类比正弦凑周期型
【典例分析】
1.（河北省邯郸市魏县第五中学2021-2022学年高三比下学期）函数的定义域为R，且与都为奇函数，则下列结论错误的是（ ）
A．为奇函数B．为周期函数
C．为奇函数D．为偶函数
2.(四川省资阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试文科数学试题)已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且．则（ ）
A．16B．20C．24D．28
【提分秘籍】
【变式演练】
1.(四川省南充市2022-2023学年高三高考适应性考试（零诊）文科数学试题)设函数是定义在R上的奇函数，满足．当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的图像关于直线对称
B．函数在区间单调递减
C．当时，有1012个零点
D．函数的图像关于点对称
2.(江苏省徐州市第七中学2022-2023学年高三上学期10月学情调研数学试题)已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论错误的是（ ）
A．是奇函数B．
C．的图像关于（1，0）对称D．
3.(江苏省镇江市句容碧桂园学校2022-2023学年高三上学期期中模拟数学试题)设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．为奇函数
C．在上是减函数D．方程仅有个实数解
【题型六】双函数中心与轴对称互化型
【典例分析】
1.(江苏省南通市启东中学2022-2023学年高三预测)已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图象关于轴对称，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．关于点对称D．关于直线对称
2.（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A．-4052B．-4050C．-1012D．-1010
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，，，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．0D．2
【题型七】系数不是1型求中心与轴
【典例分析】
1.（2023春·安徽合肥·高三合肥市第八中学校考）若函数的定义域为，是偶函数，且．则下列说法正确的个数为（ ）
①的一个周期为2； ②；③的一条对称轴为；
④．
A．1B．2C．3D．4
2.（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．的图象关于对称
2.（2023春·新疆·高三兵团二中校考阶段练习）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
3.（2023春·浙江湖州·高三模拟）已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【题型八】中心与对称轴应用：周期型函数求和
【典例分析】
1.（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，且满足，则（ ）
A．B．0C．2D．2023
2.（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数.记函数，则（ ）
A．25B．27C．29D．31
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考）已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（ ）
A．116B．115C．114D．113
2.（2022秋·河南信阳·高三模拟）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A．B．2C．0D．2022
3.（2022秋·辽宁·高三凤城市第一中学校联考）已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（ ）
A．3B．0C．D．2022
【题型九】中心与对称轴应用：倒序求和
【典例分析】
（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）已知，记，，则（ ）
A．B．2023C．D．2022
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）若函数，则的值为（ ）
A．2022B．4042C．4044D．8084
2.（2022秋·山东青岛·高三模拟）已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ）
A．0B．2021C．D．
3.（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）已知，记，，则（ ）
A．B．2023C．D．2022
高考真题对点练
一、单选题
1．（江苏·高考真题）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2023·天津·统考高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
4．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
6．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
、
7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
8．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
9．（全国·高考真题）已知，则 ．
10．（2005·天津·高考真题）定义在上的奇函数的图像关于对称，则
最新模考真题
一、单选题
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知是偶函数，则（ ）
A．B．1C．D．2
2．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广东梅州·统考三模）已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．10B．20C．15D．5
4．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知定义在上的奇函数，满足是偶函数，且当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．1012
5．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，，则（ ）
A．关于直线对称B．关于点中心对称
C．D．
6．（2023·河南·统考三模）已知函数的定义域为R，，，当时，，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
7．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知函数的定义域为，且都有，则下列说法正确的命题是（ ）
①；②；
③关于点对称；④
A．①②B．②③C．①②④D．①③④
8．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知定义在上的函数，分别为函数，的导函数，若为偶函数，且，，则（ ）
A．2023B．4C．D．0
二、多选题
9．（2023·云南·校联考模拟预测）已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．直线为函数图象的一条对称轴
C．函数在区间上存在3个零点
D．若在区间上的根为，则
10．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数的定义域，满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是定义在上的偶函数
B．在上单调递增
C．若，则
D．当是钝角的两个锐角时，
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数的定义域为为奇函数，则（ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数是周期函数
C．
D．
12．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，．下列说法正确的是（ ）
A．3是函数的一个周期
B．函数的图象关于直线对称
C．函数是偶函数
D．
三、填空题
13．（2023·河北衡水·河北枣强中学校考模拟预测）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若函数有唯一零点，则实数λ的值为 ．
14．（2023·山东烟台·统考三模）已知定义在上的偶函数，满足，若，则的值为 ．
15．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，都为偶函数，则 ．
16．（2023·全国·模拟预测）设函数的定义域为，满足，.若，且在单调递增，则满足的的取值范围是 .
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】 奇偶性
【题型二】 左右平移还原型“奇偶性”
【题型三】 周对称函数
【题型四】 中心对称函数
【题型五】 类比正弦凑周期型
【题型六】 双函数中心与轴对称互化型
【题型七】 系数不是1型求中心与轴
【题型八】 中心与轴对称应用：周期求和
【题型九】 中心与轴对称应用：倒序求和
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
常见的函数奇偶性经验结论（在定义域内）：
1.加减型：
奇+奇→ 奇
偶+偶→ 偶
奇-奇→ 奇
偶-偶→ 偶
奇+偶→ 非
奇-偶→ 非
2.乘除型（乘除经验结论一致）
奇X奇→ 偶
偶X偶→ 偶
奇X偶→ 奇
奇X偶X奇→ =偶
简单记为：乘除偶函数不改变奇偶性，奇函数改变
3.上下平移型：
奇+c→ 非
偶+c→ 偶
4.复合函数：
若 f (x) 为奇函数， g(x) 为奇函数，则 f [g(x)]为 奇 函数
若 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，则 f [g(x)]为 偶 函数
图形变换时，对称轴和堆成中心也跟着平移
(1)平移变换：上加下减，左加右减
(2)对称变换
①y＝f(x) eq \(――――――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；②y＝f(x) eq \(―――――――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；
③y＝f(x) eq \(―――――――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)；④y＝ax (a>0且a≠1) eq \(――――――――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(a>0且a≠1)．
⑤y＝f(x) eq \(――――――――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.⑥y＝f(x) eq \(――――――――――→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．



双函数性质：
1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质
2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系
周期型函数求和经验：
1.利用周期函数，求一个周期内对应的函数和为定值
2.如果周期有“剩余”，则从周期“头”重新开始
倒序求和型经验：
1.多为中心对称型函数。
2.求和的倒序“中心自变量”为中心对称函数的对称中心横坐标。函数值则为对称中心纵坐标。
3.可以类比为“中点坐标”