专题2-5 导数构造函数十二种题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

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知识梳理与二级结论
一、导数的运算
（1）基本初等函数的导数公式
（2）导数的四则运算法则
（3）简单复合函数的导数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝ f(g(x)). 它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系 y′x＝y′u·u′x
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
二、导数构造规律
（1）、关系式为“加”型，常构造为乘法
①，构造，，
②，构造，，
③，构造，；
（2）、关系式为“减”型，常构造为除法
①，构造，，
②，构造，，
③，构造，.
热点考题归纳
【题型一】导数四则运算基础
【典例分析】
1．（2022春·北京·高三模拟）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据乘法的导数的公式即可得到结论．
【详解】.
故选：A
2．（2023春·黑龙江伊春·高三模拟）函数的导数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的求导法则，两函数乘积求导的运算法则求解.
【详解】若，根据复合函数的求导法则，，
根据两函数乘积的求导公式，的导数为.
故选：B
【提分秘籍】
【变式演练】
1（2022春·北京·高三清华附中校考）函数的导数是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【详解】根据导数的运算法则，即可求得答案.
【解答】因为，所以，
故选：D．
2．（2023春·四川资阳·高三联考）已知函数的导函数为（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】先化简函数，再由导数求导公式和运算法则求解即可.
【详解】，
.故选：A.
【题型二】幂函数与f（x）积型
【典例分析】
1.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
令，求导确定函数的单调性，然后不等式化为，由单调性解得不等式．
【详解】
解：令，∴，∵，
∴，在恒成立，∴在为增函数，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，故选：D.
2.（黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高三数学试题）函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
设函数，根据导数的运算和题设条件，求得函数在上为增函数，把不等式转化为，即，利用单调性，即可求解.
【详解】
由题意，设函数，
则，
因为是定义在区间上的可导函数，且满足，
所以，所以函数在上为增函数，
又由，即，
即，所以，解得，
即不等式的解集为.故选：D.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（江西省赣州市八校协作体2020-2021学年高三联考数学（理）试题）已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】
先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可.
【详解】构造函数，则
由题可知，所以在时为增函数；由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数；又，即
即又为开口向上的偶函数所以，解得或故选：D
2.（山西省忻州市岢岚县中学2020-2021学年高三4月数学（理）试题
）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
令，确定在上是减函数，不等式等价为，根据单调性解得答案.
【详解】由，得，即，令，
则当时，得，即在上是减函数，，，
即不等式等价为，在是减函数，由得，
即，又，解得，故.故选:：.
3.（安徽省黄山市屯溪第一中学2020-2021学年高三数学试题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数x，都有x+2f（x）＞0恒成立，且，则使x2f（x）＜2成立的实数x的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据x+2f（x）＞0的特征，构造，研究其单性，又，得到，将x2f（x）＜2，转化为，利用单调性定义求解.
【详解】设，所以，因为时 ，都有x+2f（x）＞0恒成立，所以，所以在上是增函数，又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数
所以也是定义在R上的奇函数所以在上是增函数，
又因为函数f（x）是定义在R上，其导函数为所以函数f（x）是连续函数
所以在R上是增函数，又因为，所以，又因为 x2f（x）＜2，
即.所以故选：C
【题型三】幂函数与f（x）商型
【典例分析】
1.（2022届湖南省衡阳市高三上学期期末考试数学试卷）函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】令，，，∵，，∴，，∴函数在上单调递增，∴，即，，
令，，，∵，，，
∴函数在上单调递减，∴，即，，故选D.
2.（黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高三第一次阶段性测试数学试题）已知偶函数的导函数为，且满足，当 时，，使得的取值范围为____
【答案】
【分析】
利用题目中已知的不等式构造出或的不等式，从而找出新函数的单调性及零点，转而求不等式．
【详解】根据题意，令，，又因为，当时，，所以函数 在为增函数，又因为，所以，
所以当时， ，又因为为偶函数，所以当时，可得，
综上的解集为．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（河南省郑州市示范性高中2020-2021学年高三阶段性考试（三）数学（理）试题）已知函数的导函数为，若，，对恒成立，则下列个等式中，一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
设，，根据题设条件，得到，，得出所以在上单调递减，在上单调递增，结合，，即可求解.
【详解】
设，，，
则，.
因为对恒成立，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，，
即，，即.故选：B.
2.（江西省上高二中2021届高三上学期第四次月考数学试题）已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
构造函数令，依题意知为偶函数且在区间单调递增；不等式，利用单调性脱去“”即可求得不等式的解集．
解：令，则，因为，
所以，当时，，即在区间单调递增；又是上的偶函数，
所以是，，上的偶函数，又；故，
于是，不等式化为，故，解得，又，故选：．
3.设是偶函数的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
设，计算，变换得到，根据函数的单调性和奇偶性得到，解得答案.
【详解】由题意，得，进而得到，令，
则，，.
由，得，即.
当时，，在上是增函数.函数是偶函数，也是偶函数，且在上是减函数，，解得，又，即，.故选：.
【题型四】 指数函数与f（x）积型
【典例分析】
1.（【全国百强校】广东省阳春市第一中学2022届高三第九次月考数学（理）试题）已知函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
分析：构造函数，由可判定在上递增，
原不等式等价于，从而可得结果.
详解：令，则，在上递增，
，，化为，即，，
即不等式的解集为，故选B.
2.（广东省普宁市华美实验学校2020-2021学年高三第一次月考数学试题）已知是上可导的图象不间断的偶函数，导函数为，且当时，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
构造函数，根据，结合题意可知函数是偶函数，且在上是增函数，由此根据结论，构造出的不等式即可．
【详解】
由题意：不等式可化为：，
两边同乘以得：，
令，易知该函数为偶函数，
因为， ，所以
所以在上是单调增函数，又因为为偶函数，
故，解得：．故选：B．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2020届河南省八市重点高中联盟领军考试高三11月数学（理）试题）已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由，可得，令，对其求导可得，可得函数在上单调递增，可得，可得原不等式的解集.
【详解】
解：因为，所以，即.
令，则，所以函数在上单调递增.又因为，不等式，可变形为，即，所以，即不等式的解集为.
故选：C.
2.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有唯一一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
对任意的实数都有,变形得到=
构造函数 对函数进行求导，根据已知条件可以求出函数的表达式，进而可以求出的解析式，求导，求出单调性，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】对任意的实数都有,变形得到=
构造函数 .故根据，得到进而得到，对函数求导得到 根据导函数的正负得到函数在，， 由此可得到函数的图像，不等式的解集中恰有唯一一个整数，则此整数只能为，故 ，解得m的范围是： .
3（河南省平顶山市第一中学2021-2022学年高三下学期开学考试数学（理）试题）.定义在上的函数的导函数为，若，且，则
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
由得，构造函数：，求导判单调性得，进而得则可求
【详解】
因为，所以.构造函数：，所以.所以函数在上单调递增，所以，即，即.故选C
【题型五】指数函数与f（x）商型
【典例分析】
1.定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由给定的不等式构造函数对求导，根据已知条件可判断非得单调性，将所求解不等式转化为有关的不等式，利用单调性脱去即可求解.
【详解】令，则可得所以是上的奇函数，
，
当时，，所以，是上单调递增，
所以是上单调递增，因为，
由可得即，
由是上单调递增，可得 解得：，
所以不等式的解集为，故选：A.
2.已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】从所求解集的不等式入手，令，则原不等式等价转化为，从而构造函数，结合已知条件利用单调性即可求解.
【详解】解：令，则，所以不等式等价转化为不等式，即
构造函数，则，由题意，，所以为R上的增函数，
又，所以，所以，解得，即，
所以，故选：D.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（天一大联考高三毕业班阶段性测试（四）理科数学）定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
令，利用导数说明的单调性，将的解集等价于的解集，最后根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，从而解得；
【详解】
解：因为，所以．令．则，所以在上单调递减，又，，所以的解集等价于的解集，所以有．即．故选：A
2.已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由题设，由已知得函数在R上单调递增，且，根据函数的单调性建立不等式可得选项.
【详解】由题可设，又，则，
所以函数在R上单调递增，，将不等式转化为，所以，即，
有，故得，所以不等式的解集为，故选：D.
3.（贵州省凯里市第三中学2022届高三上学期第二次月考数学（理）试题）已知函数是定义域为，是的导函数，满足，且，则关于不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由及，构造函数，转化为利用单调性解不等式即可求解.
【详解】
结合不等式结构特征，原不等式等价于，令，则，
所以在上为减函数，而，所以，
所以原不等式的解集为，故选：A
【题型六】正弦函数与f（x）型
【典例分析】
1.（【衡水金卷】2021年普通高等学校招生全国统一考试高三模拟研卷卷四数学试题）已知定义在区间上的函数，为其导函数，且恒成立，则
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
分析：结合题中所给不等式的特点构造函数，结合函数的单调性和自变量的范围可得.
详解：恒成立，则构造函数，
据此可得，函数在区间上单调递增，
据此有，即，.本题选择C选项.
2.（【市级联考】广西玉林市2018-2019学年高三上学期考试数学试题）已知为函数的导函数，当是斜率为的直线的倾斜角时，若不等式恒成立，则
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
构造函数g（x），根据函数单调性和三角函数值即可判断．
【详解】∵k＝tanx，f（x）﹣f′（x）•k＜0，x）∴csx•f（x）﹣sinx•f′（x）＜0，设g（x），
∴g′（x），∵不等式f（x）﹣f′（x）k＜0恒成立，
∴g′（x）＞0恒成立，∴g（x）在（0，）上单调递增，∴g（）＞g（1）＞g（）＞g（），
∴，∴f（）f（），2f（），f（）f（），f（）f（）∴A，C，D错误，B正确，故选B．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（贵州省遵义航天高级中学222届高三第五次模拟考试数学试题）已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
令 ,则,所以 在上单调递增,因此 ,
,所以选C.
2.已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
构造函数，由已知可得出在上为增函数，再根据函数的奇偶性的定义得出为偶函数，由此逐一判断选项可得答案.
【详解】构造函数，由在上恒有，
，在上为增函数，
又由，为偶函数，，，，
，故A错误.偶函数在上为增函数，在上为减函数，
，，，，故B正确；
，，，，故C错误；
，，，，故D错误.
故选：B.
3..（广东省七校联合体2021届高三下学期第三次联考（5月）数学试题）设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
令，易得是定义在上的偶函数，因为，可知在上单调递减，在上单调递增，从而可以根据函数的单调性，确定不等式的解.
【详解】
令，∵是定义在上的奇函数，
∴是定义在上的偶函数．
当时，，由，得，
∴，则在上单调递减．
将化为，即，则．
又是定义在上的偶函数．
∴在上单调递增，且．
当时，，将化为，
即，则．综上，所求不等式的解集为．故选：B
【题型七】余弦函数与f（x）型
【典例分析】
1.（2023春·新疆克孜勒苏·高三模拟）已知函数对于任意的x∈满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，，结合导数可判断函数单调性，进而可比较函数值大小．
【详解】设，则，则在上单调递增，
对于A，，化简得，故A错误；
对于B，，化简得，故B错误；
对于C，，化简得，故C正确；
对于D，，化简得，故D错误.故选：C.
2.（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据，构造函数，利用其单调性比较.
【详解】解：令，则，因为，
所以，则在上单调递减.所以，
故，，故选：C
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期10月阶段考试理科数学试题）已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
构造函数，可得是偶函数，求导可得出在上单调递增，在上单调递减，由可得，列出不等式即可求解.
【详解】
令，，则当时，，
所以函数是定义在上的偶函数．
当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
又，，
所以由，可得，
即，所以，所以，解得，
所以实数的取值范围为，故选：C．
2.（四川省南充高级中学2021-2022学年高三考试数学试题）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，求导之后由题可知其在时单调递减，再由偶函数定义证得是的定义域在上的偶函数，进而转化已知不等式，由函数的性质解不等式即可.
【详解】
构造函数，则，即其在时，，函数单调递减，
又因为函数是的定义域在上的偶函数，则，故函数是的定义域在上的偶函数，
故不等3.式，所以故选：D
【题型八】对数与f（x）型
【典例分析】
1.已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意，构造函数，，利用 的导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，分析的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性进而将不等式变形转化求出不等式的解集即可．
【详解】设，，可知函数在时单调递减，
又，可知函数在大于零，且，可知，同理在上，，
可知函数在和均有，又为奇函数，
则在区间和上，都有，由得或，
可知不等式的解集为．故选C．
2.（【全国百强校】重庆市巴蜀中学20-20学年高三下考试理科数学试题）定义在上的函数满足（其中为的导函数），则下列各式成立的是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
构建新函数，根据题设条件有在上为增函数，从而得到，化简后可得.
【详解】
，即
令，则在上为增函数，，即，亦即 ，亦即，故选.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（江西省新余市第四中学202届高三上学期第一次段考数学试题）已知定义在[e，+∞）上的函数f（x）满足f（x）+xlnxf′（x）＜0且f（2018）＝0，其中f′（x）是函数的导函数，e是自然对数的底数，则不等式f（x）＞0的解集为（ ）
A．[e，2018）B．[2018，+∞）C．（e，+∞）D．[e，e+1）
【答案】A
【分析】
由已知条件构造辅助函数g（x）＝f（x）lnx，求导，根据已知求得函数的单调区间，结合原函数的性质和函数值，即可f（x）＞0的解集．
【详解】∵定义在[e，+∞）上的函数f（x）满足f（x）+xlnxf′（x）＜0，设g（x）＝f（x）lnx，
∴g′（x）＝f′（x）lnx0在[e，+∞）恒成立，∴g（x）在[e，+∞）单调递减，
∵f（2018）＝0∴g（2018）＝f（2018）ln2018＝0，要求f（x）＞0，lnx＞0，只需g（x）＞0即可.∵
∴g（x）＞0＝g（2018），∴x＜2018，∴e≤x＜2018，故选A．
2.（山东省招远一中2019届高三上学期第二次月考数学试题）定义在上的函数满足（其中为的导函数），若，则下列各式成立的是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
分析：构造函数,对求导，利用函数单调性可得．详解：构造函数，则由题可知所以在上单调递增.由可得
所以,所以故选D.
点睛：本题主要考查了由条件构造函数和利用导函数判断函数的单调性的应用，解答本题的关键是构造函数,对求导，利用已知得到的单调性，熟练掌握导数判断函数的单调性的步骤，属于较难题型．
3.（2023重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件构造函数，求导后可判断当时，函数单调递减，再由，可得当时，，再由为奇函数，得时，，从而可求得不等式的解集.
【详解】令函数，则，即当时，函数单调递减，
因为，所以当时，，当时，.
因为当时，，当时，，所以当时，.
又，，所以当时，；
又为奇函数，所以当时，，
所以不等式可化为或，解得，
所以不等式的解集为，故选：D.
【题型九】一元二次（一次）与f（x）线性
【典例分析】
1.（2021届云南省昆明第一中学高中新课标高三第三次双基检测数学试题）函数y=f（x）的定义域为R，其导函数为，，有在上，若，则实数t的取值范围为（ ）
A．[-2，2]B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，判断函数的奇偶性和单调性，将问题转化为，利用的单调性即可得到答案.
【详解】令，因为在上，所以，所以函数在上单调递增.又因为，有，所以，
所以为奇函数，所以函数在上单调递增.若,则，
所以，所以即.故选：D
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，属于难题.
2.（2020届黑龙江省实验中学高三上学期期末考试数学（理）试题）设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
构造函数，进而研究其单调性和奇偶性，
将变形为，再利用的单调性解不等式即可.
【详解】令，，有，．
所以为R上的偶函数，又在上有，
所以，即在上单调递增，在上单调递减.
又，所以，
即，，解之得，.故选B.
【提分秘籍】
【变式演练】
1..（江苏省盐城中学2020-2021学年高三上学期第二次阶段性质量检测数学试题）已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先构造函数，求导得到在R上单调递增，根据函数的单调性可求得不等式的解集.
【详解】
构造函数， ， .
又任意都有.在R上恒成立. 在R上单调递增.当时，有，即的解集为.
2.（吉林省蛟河市第一中学校2021-2022学年高三下学期第三次测试数学试题）已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有成立，且当时，都有成立，若，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，可判断出函数g（x）为R上偶函数．由f′（x）＜2x+1成立，可得g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，可得函数g（x）的单调性．不等式f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），利用单调性即可得出．
【详解】令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，则g（﹣x）﹣g（x）＝f（﹣x）﹣x2+x﹣f（x）+x2+x＝0，
∴g（﹣x）＝g（x），∴函数g（x）为R上的偶函数．∵当x∈（﹣∞，0]时，都有f'（x）＜2x+1成立，
∴g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即f（2m）﹣4m2﹣2m＜f（m﹣1）﹣（m﹣1）2﹣（m﹣1），
∴g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），∴|2m|＜|m﹣1|，
化为：3m2+2m﹣1＜0，解得．故选A．
3.（【市级联考】福建省龙岩市2021届高三第一学期期末教学质量检查数学试题）已知定义在上的可导函数、满足，，，如果的最大值为，最小值为，则
A．-2B．2C．-3D．3
【答案】D
【分析】
由已知条件构造出的表达式，得到函数的图象特征，求出最值问题
【详解】，，，则故
，
则，，
故的图象关于(0，)对称，，故选D
【题型十】指数型线性
【典例分析】
1.（安徽省阜阳市第三中学2021-2022学年高三上学期第二次调研考试数学试题）设函数定义域为，其导函数为，若，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
令，利用导数求得在上为单调增，把不等式转化为，即可求解．
【详解】
由题意，令函数，则，
因为，则，所以函数是上的单调递增函数，
又由，则
又由，得，即，所以，
即不等式的解集为，
故选D．
2.（黑龙江省哈尔滨市第六中学2020-2021学年高三3月阶段性测试数学试题）已知函数，其中，为自然对数底数，若，是的导函数，函数在内有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用可将导函数整理为，则，此时讨论的符号.当和时，可求出在上单调，不合题意；当可知在上单调递减；在上单调递增，从而可得不等式组，从而可求得范围.
【详解】由题意知： 又，即
则①当时，，即，此时在上单调递增
在内不可能有两个零点，不合题意
②当时，，即，此时在上单调递减
在内不可能有两个零点，不合题意
③当时，令，则
当时，；当时，
则在上单调递减；在上单调递增，若在内有两个零点
则，，
令，则当时，；当时，
则在上单调递增；在上单调递减，即对恒成立由得：；由得：
综上所述：本题正确选项：
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（金科大联考2020-2021学年高三10月质量检测数学试题）设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
构造函数，通过求导判断函数的单调性,利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】令，则，
因为，所以，化简可得，
即，所以函数在上单调递增，因为，化简得，
因为，，所以，解得，
所以不等式的解集是.故选：A
2.（2023春·福建龙岩·高三联考），，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】注意到常见的导数构造的形式：导数的结果，结合题干条件，可联想到构造：，结合，然后可求出表达式.
【详解】设，则，根据题干条件，，
即，故，为常数，
即，于是，整理可得，
令，整理可得，解得.
故选：D
3.（2023春·四川眉山·高三模拟）函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，则，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价于，结合单调性计算可得.
【详解】令，因为，所以，
又，所以在上单调递增，
不等式即，所以，所以，
即不等式的解集为.故选：A
【题型十一】对数型线性
【典例分析】
1.（2023春·安徽合肥·高三合肥一中校考）已知函数的定义域为，其导函数为，若，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件设，，求出其导数，分析可得在上单调递减，再根据条件，得到，不等式，即可求解.
【详解】设，，则，
因为，所以时，，即在上单调递减，
又，则，所以，
即，则，解得：，所以关于的不等式的解集为，故选：C.
2.．（2022春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考阶段练习）定义在（0，+∞）的函数f（x）满足，，则不等式的解集为（ ）
A．（－∞，0）B．（－∞，1）
C．（0，+∞）D．（1，+∞）
【答案】C
【分析】根据题干条件构造函数，，得到其单调递减，从而求解不等式.
【详解】设，则，所以在上单调递减，
因为，所以，且，
所以由得：结合单调性可得：，解得：，故选：C
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）若函数满足：，，其中为的导函数，则函数在区间的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】变换得到，代入数据计算得到，求导得到函数单调性，计算最值得到答案.
【详解】由有，
可得：，故有：，得（为常数），得，由，解得：.故，∴，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
则当时，，，，
由，
故所求取值范围为：.故选：D.
2.（2021年全国高中名校名师原创预测卷新高考数学（第八模拟））已知函数的定义域为，且是偶函数，（为的导函数）.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
设函数，求得时，，得到当时，，得到函数的单调性，把任意的，恒成立，
转化为，即可求解.
【详解】由为偶函数，得函数的图象关于直线对称.
设函数，则，
当时，，函数在上单调递增，
可得当时，，所以当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
设函数，则当时，因为，
所以由对任意的，恒成立，
可得，即，解得或，即实数的取值范围是.
【题型十二】综合构造
【典例分析】
1.（河北省沧州市沧县中学2020-2021学年高三数学）已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，不等式的解集是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
构造函数，利用导数和已知条件判断出在上递增，由此求解出不等式的解集.
【详解】
要求解的不等式等价于，令，，所以在上为增函数，又因为是奇函数，故，所以，所以所求不等式等价于，所以解集为，故选A.
2.（江西省吉安市重点高中2020-2021学年高三5月联考数学试题）已知函数是定义域为，是函数的导函数，若，且，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
令，，则．因为，所以，所以函数在上单调递增．易得 ，因为函数的定义域为，所以，解得，所以不等式等价于，即．又，所以，所以等价于．因为函数在上单调递增，所以，解得，结合可得．故不等式的解集是．故选C．
【变式演练】
1.（2022·高三测试）已知定义在上的函数的导函数是，若对任意成立，．则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，时，得；时，得，令，求导，利用的单调性求解.
【详解】由，时，得；时，得，令，则，故在上递增，又，，故时，，解得：；
时，，解得：，舍去，综上，不等式的解集是.故选：D．
2.（2023·四川·校联考模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且，若，，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，求导得出函数在上单调递减，得出，代入，，得出相应的不等关系，逐一进行判断选项即可.
【详解】由已知得，设，则，
所以在上单调递减，因为，，所以，，
则，即，
因为，所以，所以，
因为，，的符号不确定，所以不一定成立，故A，C不正确；
因为，所以，故B正确；
由，得，即，故D错误；
故选：B.
3.（2023春·江西吉安·高三模拟）若定义在上的可导函数满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式构造函数，利用导数判断其单调性，利用单调性比较大小可得答案.
【详解】因为，所以构造函数，
所以
，则在上单调递减，又，
所以，即，故A错误；
，即，故B正确；
，即，故C错误；
，即，故D错误. 故选：.
【点睛】关键点点睛：根据不等式构造函数，利用函数的单调性比较大小是解题关键.
高考真题对点练
一、单选题
1．（浙江·高考真题）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数的单调性即可判断.
【详解】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选：C.
2．（江西·高考真题）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.
【详解】由题给函数的图象，可得
当时，，则，则单调递增；
当时，，则，则单调递减；
当时，，则，则单调递减；
当时，，则，则单调递增；
则单调递增区间为，；单调递减区间为
故仅选项C符合要求.
故选：C
3．（陕西·高考真题）是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若，则必有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，再分类讨论即可求解.
【详解】解：令，，所以在上为常函数或递减,
若在上为单调递减，所以，即①，②
①②两式相乘得：所以，若在上为常函数，且，则，即③，④，③④两式相乘得：
所以，综上所述，故选：A
4．（湖南·高考真题）设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．
【详解】令，则，因此函数在上是奇函数．
①当时，，在时单调递增，
故函数在上单调递增．
，
，
．
②当时，函数在上是奇函数，可知：在上单调递增，且（3），
，的解集为．
③当时，，不符合要求不等式的解集是，，故选：D
5．（2015·福建·高考真题）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：令，则，因此，所以选C.
考点：利用导数研究不等式
【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
6．（2013·辽宁·高考真题）设函数满足则时，
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【详解】函数满足，
，令，则，由，得，令，则
在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.
又在单调递增，既无极大值也无极小值，故选D.
7．（2015·全国·高考真题）设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】构造新函数,，当时.
所以在上单减，又，即.
所以可得,此时，
又为奇函数，所以在上的解集为：.
故选A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.
8．（辽宁·高考真题）函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.
【详解】依题意可设，所以.
所以函数在上单调递增，又因为.
所以要使，即，只需要，故选B.
【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
最新模考真题
一、单选题
1．（2023·西藏日喀则·统考一模）如图，已知函数的图象在点处的切线为直线，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义可得出，求出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，可求得的值，即可求得的值.
【详解】由导数的几何意义可得，切线的斜率为，
则直线的方程为，
又因为点在直线上，所以，，
因此，.
故选：D.
2．（2023·陕西榆林·统考三模）定义在上的函数，的导函数都存在，，则曲线在处的切线的斜率为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】，设函数，则有，可求曲线在处的切线的斜率.
【详解】，
设函数，
则，所以．
即曲线在处的切线的斜率为1.
故选：B
3．（2023·四川成都·统考模拟预测）已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，求导可得的单调性，进而可求解.
【详解】设，则，
因为，所以，即，
所以在R上单调递减.
不等式等价于不等式，
即.因为，
所以，
所以.因为在R上单调递减，
所以，解得.
故选:B
4．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数 是定义在上的可导函数， 其导函数记为， 若对于任意实数， 有， 且， 则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导函数讨论其单调性，根据单调性解不等式.
【详解】令 ，则，因为，所以， 即为减函数，又 ， 故，则不等式 等价，
即， 解得，故不等式的解集为．故答案为: .
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数的定义域为 为函数的导函数，当时， ，且，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性求解.
【详解】令，则，
因为当时， ，所以 ，所以在上单调递增，
又，
所以，即为奇函数，在上单调递增，
所以对于A，，即，
，A错误；
对于B， ，即 ；，B正确；
对于C，，即，C错误；
对于D，，D错误；
故选：B.
6．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，为函数的导函数，若，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的导数运算性质及函数的单调性即可求得结果.
【详解】由题意得，，即，所以，即，又，所以，故 ，，可得，
在上，，单调递增；在上，，单调递减，
所以的极大值为.简图如下：
所以，，.故选：D.
7．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数的定义域为R，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先由题中条件求出，根据不等式可构造，利用为偶函数且在区间上单调递增可解.
【详解】由得，即，可设，
当时，因得，所以，可化为，
即，设，因，故为偶函数
，当时，因，，
故，所以在区间上单调递增，因，
所以当时的解集为，
又因为偶函数，故的解集为.故选：C
8．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数、是定义域为的可导函数，且，都有，，若、满足，则当时下列选项一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，求出新函数导数，根据题意可知新函数为单调递减函数，由此可知，即可判断出A、B选项；构造和可判断出C、D选项.
【详解】由题意：，
设，则，
由得，
因为，所以，
又、是定义域为的恒大于0的可导函数，
故，B错误，，A错误；
，
因为，不知道正负，所以C不一定成立；
，
即，D正确.
故选：D.
二、多选题
9．（2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据条件构造，求函数导数，利用单调性比较大小及可.
【详解】令，
对于任意的，，所以在上单调递增，所以，A不对；
，B正确；
，C正确；
，D不对.
故选：BC.
10．（2020·山东泰安·校考模拟预测）定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】构造函数，结合已知条件判断的单调性，由此确定正确答案.
【详解】依题意，由，得.
构造函数，，
所以在上递减.，，，
所以，.故选：CD
11．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据题意令，利用导数及题干所给条件求得的单调性，利用函数的对称性，可得，对其进行比较即可判断各选项.
【详解】令，则 ，
因为函数满足，
当时 在上单调递增，
当时在上单调递减，
又由，
所以关于对称，从而，
即，，，故A正确；
由，，，故B错误；
由，即，，故C正确；
由，即，，故D错误；
故选：BD.
12．（2023·辽宁锦州·校考一模）定义在上的函数满足，则的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据已知，令，可得，即函数的图象过点，当时，变形为，根据导数的运算法则可得，即，即可得出原函数（为常数），即，即可对选项进行判断.
【详解】当时，由，得；
当时，可得，则，所以（为常数），
所以，选项A，C，D分别符合，
故选：ACD.
三、填空题
13．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为 .
【答案】
【分析】构造函数，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】依题意令，，则，
因为当时，，所以当时，，
∴在上单调递减，则等价于，即，
∴，解得，所以所求不等式的解集为.故答案为：
14．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数且，若，则的解集为 .
【答案】
【分析】构造函数，求导得函数的单调性，即可由单调性求解.
【详解】令，则 ，
由于，所以，故在上单调递减，又是定义在上的偶函数且，故，所以，
等价于，因此，
故的解集为，
故答案为：
15．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上.若.则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】构造，确定函数为偶函数，确定函数的单调区间，变换得到，即，解得答案.
【详解】设，则，
，即，
故，函数为偶函数，
当时，，函数单调递增，故当时，函数单调递减，
，即，
即，故，解得.
故答案为：.
16．（2023·山东·模拟预测）定义在上的可导函数的值域为，满足，若，则的最小值为 .
【答案】
【分析】化简条件式得，构造函数及，判断其单调性即可.
【详解】∵，∴，则化简得：，
令，则，
即，
令，则，故在上单调递增，
则，
故答案为：
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】 导数四则运算基础
【题型二】 幂函数与f（x）积型
【题型三】 幂函数与f（x）商型
【题型四】 指数函数与f（x）积型
【题型五】 指数函数与f（x）商型
【题型六】 正弦函数与f（x）型
【题型七】 余弦函数与f（x）型
【题型八】 对数函数与f（x）型
【题型九】 一元二次（一次）与f（x）线性
【题型十】 指数型线性
【题型十一】对数型线性
【题型十二】综合构造
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
原函数
导函数
f(x)＝c（c为常数）
f′(x)＝0
f(x)＝xα（α∈Q，且α≠0）
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sinx
f′(x)＝ csx
f(x)＝csx
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax（a>0，且a≠1）
f′(x)＝axlna
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax（a>0，且a≠1）
f′(x)＝
f(x)＝lnx
f′(x)＝
法则
和差
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
积
[f(x)g(x)]′＝，
特别地，[cf(x)]′＝ cf′(x)
商
′＝（g(x)≠0）
基础求导公式：
；
；
；
；
若已知分析问题；
.


，

二次构造：

y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果逆向思维