专题3-1 三角函数与弧度制14种题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

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知识梳理与二级结论
1．正角、负角、零角
我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做正角，如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个负角.
2．象限角、轴线角的概念
（1）象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角.
（2）轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限.
3．弧长公式和扇形面积公式
（1）；
（2）；（为扇形圆心角的弧度数）
4．角度与弧度制的换算
5．三角函数线
设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为，其中 OM，MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则AT．我们把有向线段OM、MP、AT叫做的余弦线、正弦线 、正切线．
6．比值叫做的正弦，记作：；
比值叫做的余弦，记作：；
比值叫做的正切，记作：.
7．任意角的三角函数的定义
8.象限角：
9.轴线角
10.常见角度与弧度对应三角函数值
热点考题归纳
【题型一】角基础1：象限角
【典例分析】
1．（2023秋·江西·高三宁冈中学校考开学考试）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·高三单元测试）若为第二象限角，则的终边所在的象限是（ ）
A．第二象限B．第一、二象限
C．第一、三象限D．第二、四象限
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023春·广西钦州·高三模拟试卷）若是第二象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
2．（2023·全国·高三假期作业）若角是第二象限角，则角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2021秋·高三课时练习）若是第四象限角，则一定是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【题型二】角基础2：角的范围
【典例分析】
1．（2021·高三课时练习）．若α是第四象限角，则下列角中是第一象限角的是（ ）
A．α＋180°B．α－180°C．α＋270°D．α－270°
2．（2023·全国·高三专题练习）若α是第四象限角，则180°－α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）若是第三象限角，则的终边所在的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2022·高三课时练习）已知是第四象限角，则是第象限角.
A．一B．二C．三D．四
3．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型三】角基础3：不等式与角域
【典例分析】
1．（2023·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校联考期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·全国·高三假期作业）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·广西钦州·高三浦北中学校考期中）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·高三课时练习）集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（ ）
A．B．C．D．
【题型四】角基础4：终边相同角关系
【典例分析】
1．（2023·全国·高三专题练习）如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·高三课时练习）若角与角的终边相同,角与角的终边相同,则与之间的关系2
A．B．
C．D．
【变式演练】
1．（2022秋·四川攀枝花·高三攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）已知集合，，，则A，B，C之间的关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021秋·高三课时练习）已知集合，则M，P之间的关系为（ ）
A．M=PB．
C．D．
3．（2023秋·四川眉山·高三仁寿一中校考期末）已知集合，.则集合M，P之间的关系为（ ）
A．M=PB．C．D．
【题型五】角度之间对称关系
【典例分析】
1．（2023春·四川南充·高三校考阶段练习）是一个任意角，则的终边与的终边（ ）
A．关于坐标原点对称B．关于轴对称
C．关于轴对称D．关于直线对称
2．（2022春·陕西铜川·高三铜川市第一中学校考阶段练习）平面直角坐标系内，角，的顶点均在坐标原点，始边均与x轴非负半轴重合，其终边在同一直线上，则角与的关系为（ ）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1．（2021春·陕西宝鸡·高三统考期中）若角与角的终边关于轴对称，则（ ）.
A．()B．()
C．()D．()
2．（2022·高三课时练习）在直角坐标系中，若角与角的终边关于轴对称，则与的关系是（ ）.
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）若,,其中,则角与的终边（ ）.
A．关于原点对称B．关于轴对称
C．关于轴对称D．关于对称
【题型六】最小角
【典例分析】
1．（2021·高三课时练习）把表示成的形式，使最小的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）表示成（）的形式，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2021·高三单元测试）把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是（ ）
A．－πB．－2π
C．πD．－π
2．（2021秋·高三课时练习）把表示成的形式，使最小的的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·江西南昌·高三南昌十五中校考阶段练习）与角终边相同的最小正角是（ ）
A．B．C．D．
【题型七】弧长与扇形面积最值
【典例分析】
1．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学期中）已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（ ）
A．1B．2C．4D．5
2．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2020·全国·高三专题练习）在面积为定值的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径是（ ）.
A．B．C．D．
2．（2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考期末）已知扇形的周长为20cm，当扇形面积的最大值时，扇形圆心角为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
3．（2021·江苏·高三专题练习）已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（ ）
A．B．C．D．
【题型八】单位圆
【典例分析】
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三模拟试卷）已知角的终边与单位圆的交点，则（ ）
A．B．C．D．
2（2022秋·广东东莞·高三模拟试卷）如图，质点在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为2，则点到轴距离关于时间的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1．（2023·全国·高三专题练习）设，角的终边与圆的交点为，那么
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为的圆相交于点则，则 （ ）
A．B．C．D．
3．（2021春·浙江·高三期末）在单位圆中，已知角的终边上与单位圆的交点为，则位于第几象限（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【题型九】三角函数线应用比大小
【典例分析】
1．（2023春·高三课时练习）利用正弦线比较的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）以下命题正确的是（ ）
A．都是第一象限角，若，则
B．都是第二象限角，若，则
C．都是第三象限角，若，则
D．都是第四象限角，若，则
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·高三单元测试）在上，利用单位圆，得到成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏·高三专题练习）设，和分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型十】三角函数线解三角不等式
【典例分析】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
2．（2023春·湖北·高三校考阶段练习）若0